中考数学专题题型讲练过关题型10 类比、拓展探究题

1、类型1图形旋转引起的探究1.2018焦作一模如图(1),在等边三角形ABC中，点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M,N,P分别是BECDBC的中点，连接DE,PM,PN,MN.(1)观察猜想图(1)中MN是(填特殊三角形的名称).探究证明如图(2)仏ADE绕点A按逆时针方向旋转，则PMN的形状是否发生改变?并就图(2)说明理由.拓展延伸若ADE绕点A在平面内自由旋转,AD=1,AB=3,请直接写出APMN的周长的最大值.A.图(1)图(2)2如图(1),在正方形ABCD和正方形ABCD中,AB=2,AB=.二连接CC.CC(1)问题发现:计算诂；的值；(2)拓展探究:

2、将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，记旋转角为0,连接BB.试判断:当CC0W&360时川的值有无变化?请仅就图(2)中的情形给出你的证明；3如图(1),在厶ABC中,ZACB=90,AC=BC,过点A作AE丄AC,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合)，连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM,射线AE于点F,D.问题发现:ZNDE=；拓展探究:如图(2),当ZEAC为钝角时,其他条件不变,ZNDE的大小有无变化?请给出证明.(3)如图(3),若ZEAC=15,BD=：直线CM与AB交于点G,其他条件不变，请直接写出AC的长.NM图(1)图(2)8图

3、(3)4.(1)问题背景:如图(1),ABD和AFOG均为等腰直角三角形,ZBAD=ZFOG=90,AB=AD,点O为BD的中点,OF=OG,点O,A,F三点共线，连接BF,AG,猜想BF和AG的位置关系及数量关系分别类比探索：如图(2),将等腰直角三角形FOG绕点O逆时针旋转a(0a90)后,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请予以证明;否则,请说明理由.拓展延伸:在等腰直角三角形FOG绕点O逆时针旋转a(0aAC,其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.深入研究如图(3),小明在(2)的基础上，又进一步探究:向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变，试

4、判断GMN的形状，并证明.图(1)图(2)图(3)2018南阳一模【问题情境】在四边形ABCD中,BA=BC,DC丄AC,过点D作DE/AB,交BC的延长线于点E,M是边AD的中点，连接MB,ME.【特例探究】如图(1),当ZABC=90。时，线段MB与ME之间的数量关系是，位置关系是；如图(2),当ZABC=120时，试探究线段MB与ME之间的数量关系，并证明你的结论；【拓展延伸】图(2)图(3)如图(3),当ZABC=a时，请直接用含a的式子表示线段MB与ME之间的数量关系.图(1)11.2019原创观察猜想如图(1),在RtABC中,ZBAC=90,AB=AC=3,点D与点A重合，点E在

5、边BC上，连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90得到线段DF,连接BF.BE与BF的位置关系是,BE+BF=;探究证明在(1)中，如果将点D沿AB方向移动，使AD=1,其余条件不变，如图(2),判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸如图(3),在厶ABC中,AB=AC,ZBAC=a,点D在边BA的延长线上,BD=n,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转，得到线段DF,旋转角ZEDF=a,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含n,a的式子直接写出结论.12.在厶ABC中，点D为线段AB上一点，若ZMPN的顶点P为线段CD上任一点，其两

6、边分别与边BC,AC交于点M,N,且ZMPN+ZACB=180.PM(1)如图(1),若AC=BC,ZACB=90,且点D为AB的中点，求的值;PM(2)如图(2),若BC=m,AC=n,ZABC=90,且点D为AB的中点，则；=BDPM(3)如图(3),若.!/；=k(kH1),BC=m,AC=n,请直接写出丄的值(用含k,m,n的式子表示)图(1)图(2)图(3)参考答案(1)等边三角形(2)PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形理由如下:连接BD,CE.由旋转可得ZBAD=ZCAE,ABC是等边三角形，AB=AC,ZACB=ZABC=60,又VAD=AE,.ABD竺AACE,BD=CE,

7、ZABD=ZACE.M是BE的中点,P是BC的中点，.PM是ABCE的中位线，.PM=CE且PMCE.1同理可证PN=：BD且PNBD,.PM=PN,ZMPB=ZECB,ZNPC=ZDBC,：.ZMPB+ZNPC=ZECB+ZDBC=(ZACB+ZACE)+(ZABC-ZABD)=ZACB+ZABC=120,:.ZMPN=60。,:PMN是等边三角形.(3PMN的周长的最大值为6.CC(1)农=.,.：.CC当0WO360。时，舌的值不变.证明:连接AC,AC.四边形ABCD和四边形ABCD是正方形，：.ZBAC=ZBAC=45,:.ZBAC-ZBAC=ZBAC-ZBAC,即ZBAB=ZCAC

8、.ACAC又.T：=,，右=,；ACAC一,.BABsACAC,CC.:蟲=ZCC故当0W0360时八的值不变.以点A为圆心、AB的长为半径画圆，当点B在BA的延长线上时，线段BB最长.此时BB=AB+AB=2+(1)90(2)ZNDE的大小不变.证明：ZACB=ZMCN=90。,:ZMCA=ZBCN.在MAC和厶NBC中，匚=EC.MCJW=丿BCN.,MC=NC.:.MACMNBC,：.ZBNC=ZAMC,又:ZMFD=ZNFC,:.ZMDF=ZFCN=90,即ZNDE=90.AC=2.(1)BF丄AG,BF=AG(2)(1)中的结论仍然成立理由如下：如图，连接OA,延长GA分别交FO,F

9、B于点H,E.:ABD为等腰直角三角形，点O为BD的中点,：OB=OA,ZAOB=90.:ZBOF+a=ZAOG+a=90,：.ZBOF=ZAOG.又OF=OG,.BOF竺AOG,.BF=AG,ZBFO=ZAGO.；ZAGO+ZGHO=90,ZGHO=ZEHF,:.ZEHF+ZBFO=90,:.ZFEH=90,.BF丄AG.(3)AP长度的最大值为3,最小值为.-1.(1)证明:由旋转可得,ZBCA=ZECF=60,BE=AF,CE=CF,CEF和厶ABC都是等边三角形，:.EF=CEJZCAF=ZABC=60J.DE=EF,ZEAF=ZBAC+ZCAF=120.；ZDBE=180-ZABC=

10、120,ZEAF=ZDBE.易知A,E,C,F四点共圆，ZAEF=ZACF.；ED=EC,ZD=ZBCE.又ZBCE=ZACF,ZD=ZAEF,EDBFEA,.BD=AE,.AB=AE+BE=BD+AF.(2)AB=BD-AF.理由如下:由旋转可得,ZBCA=ZECF=60,BE=AF,CE=CF,CEF和厶ABC都是等边三角形，EF=CE,ZEFC=ZBAC=60,DE=EF.VZECF=ZECD+ZFCD=60,ZBCA=ZACF+ZFCD=60,ZECD=ZACF.VED=EC,ZD=ZECD,ZD=ZACF.易得ZFEA=ZACF,ZD=ZFEA.由旋转知ZCAF=ZCBE=120,Z

11、DBE=ZFAE=60,DEB今FA,BD=AE,BD=AF+AB,即AB=BD-AF.(3)补图如图所示,AF=BD+AB(或AB=AF-BD).(1)ABECBF.证明:ABC,ABEF都是等边三角形,BA=BC,BE=BF,ZABC=ZEBF,:.ZABE=ZCBF,:.ABECBF.(2)S2-S1=.:.理由:ABCHEF都是等边三角形,：BA=BC,BE=BF,ZABC=ZEBF,：ZABE=ZCBF,:.ABECBF,:S=S.ABECBFSCBF-SCBE=S2Sf.S-S=S-S=S=.lS21ABECBEABC-(3)由(2)可知:df-S/cd=又SWABECBF,:AE

12、=CF,ZBCF=ZBAE=60,:.ZABC=ZDCB,7：CFAB,贝OBDF的DF边上的高为可得DF=.7设CE=x,则2+X=CD+DF=CD+:,：CD=X-.CDAB,CDCl:,ACDAE=ABCE,.：(x-)(x+2)=2x,解得x1=1,x2=-(舍去),.CE=1,.AE=3.1(1DE-:AQ,DEAQ.成立.理由:连接PQ,PC,1同中方法可得DEAQ,DE-AQ.(2)AQ=2BPsina.(1)45(2)(1)中结论不成立.如图(1),过点A作CB的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点F,连接EF交AD于点H,则ZFBE-ZAPE,ZFAC-ZC=90,四边形

13、ADBF是平行四边形，.BD-AF,BF-AD.AC-BD,CD-AE,ACCD.占DAE.工BD-AF,ACCD亠I：又VZFAE-ZC-90,.FAEsACD,ACADBP:-ZFEA-ZADC.VZADC+ZCAD-90,:.ZFEA+ZCAD=90=ZEHD.ADBF,:.ZEFB=ZEHD=90.EP；在RtEFB中,tanZFBE=:=,:.ZFBE=30,:.ZAPE=30.图(1)(3)(2)中结论成立.理由:如图(2),过点E作CB的平行线，过点D作BE的平行线，两线交于点F,连接AF交BE于点H,则ZAPE=ZADF,ZFEC=ZC=90,四边形EBDF是平行四边形,:.B

14、E=DF,EF=BD.AC=BD,CD=AE,ACACCD:B)=E!-=;VZFEA=ZC=90,:.ACDFEA,ADACA=：=JZADC=ZFAE.VZCAD+ZADC=90,AZFAE+ZCAD=90,AZFAD=90.AFJ在RtDAF中,tanZADF=:=,AZADF=30,AZAPE=30.(1)MG=NGMG丄NG(2)成立.理由:连接CDBE相交于点H,根据(1)中思路，可得MG=NG,MG丄NG(3)GMN是等腰直角三角形.证明:如图，连接EB,DC并延长，两延长线相交于点H,同(1)中方法，得AABE竺ADC,MG=NG,AZAEB=ZACD,AZCEH+ZECH=Z

15、AEH-ZAEC+180-ZACD-ZACE=ZACD-45+180-ZACD-45=90,AZDHE=90,同(1)中方法，得MG丄NG.(1)MB=MEMB丄ME(2)ME=4MB.证明:如图，延长EM,交BA的延长线于点F,DEBA,.ZFAM=ZEDM.又VAM=DM,ZAMF=ZDME,:.AMFDME,.AF=DE,MF=ME.BA=BC,ZABC=120,:.ZACB=30,:.ZECD=180-ZACB-ZACD=60.DEBA,:.ZDEB=180-ZABC=60,.ECD是等边三角形，.CE=DE,.AF=CE,.BF=BE.又MF=ME,BM丄EF,BM平分ZABC,:.ZMBE=60,.MEUtMSft(S)MEUMBtapz.ZZ.(Z)BEHBFVI(2)BEHBF&E十BFU2d.K田理斗aM专送画处D亠-rrrDauAC空BC41处p田褂旅s番血dehdrkedfh-oo.0.KA