概率统计教学课件ch5大数定律、中心极限定理icrosoftPowerPoint演示文稿

1、5.1 大数定律5.2 中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律 事件发生的频率具有稳定性，即随着试 验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数。一、大数定律引入的客观背景字母使用频率生产过程中的废品率大量测量值的算术平均值也具有稳定性二、频率的稳定性的实质或有频率依概率收敛于概率 设 是n重贝努里试验中事件A发生的次数， p是每次试验中事件A发生的概率，则对任 给的 0，定理1（贝努里大数定律）或贝努里三、贝努里大数定律证明贝努里大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于任给 0,贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，

2、事件A发生的频率n /n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定 事 件概率的方法.蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律 当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得的近似值.针长L线距a思考 ：用蒙特卡洛方法如何计算定积分？（随机投点法） 设0f(x)1,求定积分如何计算a,b上的定积分呢？四、 常用的几个大数定律1.大数定律的一般形式定义 设有一随机变量序列Xn,如果对任 给的 0，则称随机变量序列Xn服从大数定律定理2（切比雪夫大数定律）设 X1,X2, 是一列两两不相关的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共

3、同的上界，即 Var(Xi) c，i=1,2, ，则对任意的0，切比雪夫2.切比雪夫大数定律（1）切比雪夫大数定律表明，两两不相关的随机变量序列Xn，如果方差存在且有共同的上界，则与其数学期望 偏差很小的概率接近于1. 不再是随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述注：（2）切比雪夫大数定律只要求Xn互不相关，并不要求同分布.当Xn独立同分布，且方差有限时， Xn必定服从大数定律.即得以下定理3.定理3（切比雪夫大数定律的特殊情况）设X1,X2, 是独立且具有相同的期望和方差的随机变量序列，即E(Xi)= ，D(Xi)=

4、， i=1,2,则对任给 0,注：贝努里大数定律是定理3的特特情况. 事实上，设n是n重贝努里试验中事件A发 生次数, P是事件A发生的概率，引入i=1,2,n是事件A发生的频率，3.马尔可夫大数定律对随机变量序列Xn,若定理4则随机变量序列Xn服从大数定律，即对任意的0，有马尔可夫条件注:(1)马尔可夫大数定律的条件较弱.它没有独立性、不相关、同分布的假定，容易满足。(2)切比雪夫大数定律可由马尔可夫大数定律推出.4.辛钦大数定律设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给 0 ，定理5（辛钦大数定律）辛钦辛钦大数定律不要求随机变量的方差存

5、在.注: 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值 提供了一条实际可行的途径. 例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.用蒙特卡洛方法计算定积分（平均值法）求的值例因此，当n充分大时， 计算原理：设XU(0, 1)由大数定律均值法步骤：1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数xi,2) 计算f(xi)， n=1,2,Nn=1,2,N即3) 用平均值近似积分值应如何近似计算？请思考. 问：若用上述方法求 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律

6、在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性(一） 依概率收敛的定义定义 设随机变量序列Y1，Y2，Y3，a是一常数，若对于任意正数，有： 五、随机变量序列的依概率收敛 则称随机变量序列Yn依概率收敛于a 记为（二） 依概率收敛的性质见教材P145-146补充性质：设随机变量序列 ，f(x)为直线上的连续函数， 则 5.2 中心极限定理（一）中心极限定理引入的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.如瞄准时的误差、空气阻力所产生的误差、炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 这些随机因素的总影响可表示成独立随机变量

7、之和当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量(随机变量的和）一般都服从或近似服从正态分布.例:20个0-1分布的和的分布X1 f(x)X1 +X2g(x)X1 +X2+X3 h(x)几个(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh总之，在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种随机变量可以表示成相互独立的随机变量的和，中心极限定理将研究这种和当 时的统计规律。

8、为方便起见，研究n个随机变量之和的标准化的随机变量的分布函数的极限.的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布. 考虑中心极限定理这就是下面要介绍的(二)独立同分布的中心极限定理（林德贝尔格勒维（lindeberglevy）极限定理）教材p147定理四 若X1,X2,是一列独立同分布的随机变量，且EXi=,Var(Xi)=2（20）,i=1,2, 则对任给的实数y,有例 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件

9、的寿命的总和为解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100, Var(Xi)=10000依题意，所求为P(Y1920)由于E(Y)=1600,Var(Y)=160000由中心极限定理,近似服从N（0，1）P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119(三)德莫佛拉普拉斯（de Moirre-Laplace）极限定理教材P150定理六 设n是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，则对于任给的实数y例 某厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，各台机器工作相互独立 ，试分别用二项分布