《立体图形的直观图》教学课件(共两套)

1、8.2立体图形的直观图第八章 立体几何初步学习目标重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.难点：斜二测画法的理解和应用.1.会用斜二测画法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合体）的直观图.2.会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图.3.了解空间几何体的不同表现形式.知识梳理一、 投影与直观图2.直观图（1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.（2）立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.1.投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.二、用

2、斜二测画法画水平放置平面图形的直观图1.斜二测画法斜二测画法的位置关系与度量特征用口诀简记为：九十度，画一半，横不变，纵减半，平行关系不改变，画出图形更直观.点拨：斜二测画法中“斜二测”的意思：斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系xOy，使xOy45（或135）；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半.三、用斜二测画法画空间几何体的直观图1.画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的具体规则3.用斜二测画法画

3、空间几何体的直观图的主要步骤画轴；画底面；画侧棱；连线成图.一.平面图形的直观图的画法常考题型方法归纳：水平放置的平面图形的直观图的画法步骤（1）画轴在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45（或135），它们确定的平面表示水平面.（2）定点根据“已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点.（3）连线成图连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直

4、观图.训练题1.下列叙述中，正确的个数为（）相等的角，在直观图中仍相等；长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行；若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直.A.0 B.1 C.2 D.31. B 解析：由斜二测规则易知，只有正确2. C解析：由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45，故正确.3.B解析：因为ABy轴，所以由斜二测画法可知在原图形中BAAC，故ABC是直角三角形.【名师点拨】1.在已知图形中建立直角坐标系时，尽量利用原图形的对称性和垂直关系.2.画水平放置的平面多边形的关键是确定多边形的顶点位置，顶点位置可分为两

5、类：一类是在坐标轴上或在与坐标轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在坐标轴上且不在与坐标轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与坐标轴平行的线段，将此点转化到与坐标轴平行的线段上的点来确定.二.空间几何体的直观图的画法例2.画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.（底面边长与侧棱长尺寸不作要求）训练题4用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.（P点位置不作要求）解：（1）画出六棱锥P-ABCDEF的底面.如图D-8-8所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y

6、轴，两轴相交于O.方法归纳：画空间几何体的直观图的四个步骤（1）画轴通常以底面上的两条互相垂直的直线为x轴、y轴，高所在直线为z轴建系.（2）画底面根据平面图形的直观图画法确定底面.（3）确定顶点利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.（4）连线成图画图完成后，擦掉辅助线，看得见的部分用实线，被遮挡的部分用虚线（或不画），就得到了几何体的直观图.三.直观图的还原与计算例3. 一个四边形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积. 7.16或64解析：若直观图中横轴上边的长度为4，则正方形边长为4，其面积为16.若直观图中纵轴上边的长度为4，则正方形边长为8，面积

7、为64.【名师点拨】由直观图还原为平面图形的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.四.易错易混问题忽略斜二测画法规则致误【防错有术】求直观图中的垂线段的长度就要在直观图中求，不能受原图形的干扰.8.2. 立体图形的直观图课件新知导入回顾前面我们学习了哪些几何体？问题：这些几何体都是直观图，你知道它们是怎样画出来的吗？直观图又是如何定义的呢新知讲解直观图：表示空间几何图形的平面图形，叫做空间图形的直观图直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，直观图通常是在平行投影下得到的平

8、面图形直观图的画法斜二侧画法观察：矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状呢？平行四边形探究1:水平放置的平面图形的直观图斜二测画法（1）在已知图形中取互相垂直的X轴Y轴，两轴相交于O，画直观图时，把他们画成对应的X轴与Y轴，两轴交于O。且使XOY=45（或135）。他们确定的平面表示水平面。（2）已知图形中平行于X轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X轴或y轴的线段。（3）已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于Y轴的线段，在直观图中长度为原来一半。对于平面多边形，我们常用斜二测画法画出他们的直观图。如图 A

9、BCD就是利用斜二测画出的水平放置的正方形ABCD的直观图。其中横向线段AB=AB，CD=CD；纵向线段AD=1/2AD，BC=1/2BC；DAB=45，这与我们的直观观察是一致的。ADCDBACB例一：用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在直线为X轴，对称轴MN所在直线为Y轴，两轴交于O，使Xoy=45（2）以o为中心，在X上取AD=AD，在y轴上取MN=MN。以点N为中心，画BC平行于X轴，并且等于BC；再以M为中心，画EF平行于X轴并且等于EF。（3）连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABC

10、DEF平面图形的斜二测画法（1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为450或1350；（3）水平线段等长，竖直线段减半；（2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合；简言之：“横不变，竖减半，平行、重合不改变。” （4）整理.步骤：关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版说明：用斜二测画法画边长为2cm的正三角形的直观图练习一ABC解：例二：如何画出长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm的长方体的直观图？探究2:空间几何体的直观图画法（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴交于一点O， 使 ， 。xzyO（2）画底面：以O为中心，在x轴上取线段

11、MN，使MN=3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=1cm。分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面。OMNxyzPQABCD（3）画侧棱：过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段AA，BB，CC，DD。OMNxyzPQABCDABCD（4）成图：顺次连接A，B，C，D，并去掉辅助线和坐标系，将被遮挡的部分改为虚线，即得到长方体的直观图。OMNxyzPQABCDABCDABCDACD（4）成图：顺次连接A，B，C，D，并去掉辅助线和坐标系，将被遮挡的部分改为虚线，即得到长方体

12、的直观图。画空间几何体直观图的步骤：（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，使xoy=450，xoz=900，把xoy所在平面视为水平面，xoz平面和yoz平面都是竖直面；（3）画侧棱：过下底面多变的顶点分别作z轴的平行线段，长度与几何体中的相应线段长度一样；（2）画底面：在xoy平面上用斜二测画法作出几何体的下底面；（4）成图：连接侧棱的上端点，去掉辅助线和坐标系，并把遮挡的部分改为虚线。简言之：先轴，后底，再侧棱，横纵不变，竖折半，平行、重合不改变。例三已知圆柱的底面半径为1cm,侧面母线长3cm,画出它的直观图。解（1）画轴，如图画出X轴，Z轴使XOZ=90。（2）画出底面，以0为中点，在X轴上

13、取线段AB，使OA=OB=1cm.利用椭圆模板画椭圆。使其经过A、B两点。这个椭圆就是圆柱的下底面ABAB（3）画上底面。在oz上截取o,使oo=3cm。过o作平行于轴ox的ox.类似下底面的作法作出圆柱上底面。oxAB（4)连接AA,BB得到圆柱直观图oxBA说明：对于圆锥的直观图，一般先画圆锥底面，再借助圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。如图画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，他是一个圆。同时还经常画出经过球心的截面圆，他们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。练习二：画出棱长为2cm的正方体的直观图。ABDCABDC例4：某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是

14、一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体直观图。解：如图先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱圆锥的母线。一、如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.ABCDABCD解:根据斜二测画法知原图如图，且AD=2，根据图一可知AB= =AB 所以 课堂练习二、已知某图形的直观图如图,BA=BC=2,请画出原图，并计算原图的面积。BAC解：由斜二测画法知原图为直角三角形如图，且AB=2AB=4，BC=BC=2所以原图面积为4课堂总结1、直观图的画法（1）用斜二测画法画平面图

15、形的直观图（2）空间几何体的直观图画法步骤2、直观图中的计算板书设计 目标1、直观图的画法（重）2、直观图中的计算问题（难）精讲 习题平面图形直观图画法空间图形直观图画法立体图形的直观图同步练习【思考】直观图与立体图形之间有什么关系？提示：直观图与立体图形的形状往往不完全相同。在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的平面图形。1.直观图的概念把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图。2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观

16、图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴交于O，且使xOy=45（或135），它们确定的平面表示水平面。（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段。（3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。【思考】用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线还平行吗？原来长度相等的线段长度还相等吗？提示：用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线仍然平行；原来长度相等的线段长度不一定相等，因为与x轴平行的线段，长度不变，与y轴平行的线段，长度减半。3.空间几何体直观图的画法（1）画轴：与平

17、面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z轴。（2）画底面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面。（3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变。（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。【思考】空间几何体的直观图中实虚线表示什么意思？提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直。（）（2）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍

18、平行。（）（3）正方形的直观图为平行四边形。（）（4）梯形的直观图不是梯形。（）提示：（1）。由直观图的性质知，原来垂直的不一定垂直。（2）。斜二测画法中平行关系不变。（3）。利用斜二测画法，原来平行的线段仍然平行，所以正方形的直观图为平行四边形。（4）。利用斜二测画法所得梯形的直观图仍是梯形。2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（）【解析】选A。由直观图可知，该平面图形为两腰不平行且不与底边垂直的梯形。3.用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边分别平行于x轴、y轴，且A=90，则在直观图中A=（）A.45B.135C.45或135D.90【解析】选C。在画直观

19、图时，A的两边依然分别平行于x轴、y轴，而xOy=45或135。4.水平放置的ABC的直观图如图所示，已知AC=3，BC=2，则AB边上的中线的实际长度为_。【解析】由于在直观图中ACB=45，则在原图形中ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，AB边上的中线为2.5。答案：2.5类型一平面图形的直观图【典例】1.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是（）角的水平放置的直观图一定是角；相等的角在直观图中仍相等；相等的线段在直观图中仍然相等；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。A.0B.1C.2D.32.画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图。【思维引】1.按照用斜

20、二测画法画水平放置的平面图形的要求逐个判断。2.按步骤画直观图。【解析】1.选C。由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以对，对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，所以错。2.画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy=45。（2）以O为中点在x轴上取AB=AB，在y轴上取OE= OE，以E为中点画线段CDx轴，并使CD=CD。（3）连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图。【内化悟】画直观图时怎样建系，建系时应注意哪些问题？提示：建系时，要让尽可能多的点在坐标系上，另外还

21、要注意对称原则。【类题通】画平面图形的直观图的关键点及对策（1）关键点：画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置。（2）对策：首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。【习练破】用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图。【解析】（1）如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴。（2）画对应的x轴、y轴，使xOy=45。在x轴上截取OB=OC=OB=OC=2cm，在y轴上取OA= OA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示。

22、类型二空间几何体的直观图的画法【典例】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图。【思维引】本题所要画的是四棱锥的直观图，所以要先画轴，再画水平放置的正方形的直观图，再画侧棱，最后成图。【解析】画法：（1）画轴。画Ox轴，Oy轴，Oz轴，xOy=45（或135），xOz=90，如图。（2）画底面。以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD。（3）画顶点。在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高。（4）成图。顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图。【内化悟】画立体图形的直观图时，要注意哪些问题？提示：画立体图形时，我们一般从一个底面开始建系，作图，画完底面后再画侧棱，全部画完后，把画图所作的辅助线擦掉，把遮挡住的部分改为虚线。【类题通】1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可。2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变。”【习练破】画底面半径为2，高为5的圆柱的直观图。【解析】画法：（1）画轴。画出x轴，y轴，z轴。（2）在z轴上取点O，使OO等于5个单位长度，过O作x轴的平行线Ox，过O作y轴的平行线Oy。在x轴，x轴上分别取点A，B，A，B