工程硕士(有限元方法)复习题及答案

1、杆件结构1、单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？组装总刚k肘一般规则：1-当kJ中时，该点被哪几个单元所共有则总刚卡矩阵1就是这儿个单元的刚度矩阵子矩阵1啲相加当也订中尸莎时，若TE边是组合休的内边，则思枠刚度矩阵kj就是共用该边的两相哪单元单刚子矩阵的相加。当住中尸和用不同属于任何单元时，则总休刚皮矩阵通常，采用刚度集成法或苣接刚度法来组集整体结构刚度矩阵刚度集成法分两步进行。第一步，把单元刚度矩恤护大成单元的贡献矩阵回；使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列尖空白处作零子块填充“第步，以单元3为例

2、，局部码X2,3对应于总码気4?J,按照这个对应关系扩充心，可得出单元。的贡献矩阵总码I2343X2*_局葡码用同样的方法可得单元的贡献矩阵区L第步，把各单元的贞献矩阵对应行和列的子块相書加,即可得出整体结构的刚度矩阵贋h如（5斗2）式在这里应该指出夬整粹刚度矩跑巧中每个子块畑空阶矩阵，所以若整体结构分为川个节点，则整棒刚度犯阵的阶数x2n整体刚度矩阵的性质：1-刚度矩阵咼中毎一列元索的物理意义为:欲使弹性体的某一节点在坐标轴方向役生单位位移，而其它节点都傑持为零的变形状态，在各节点上所需耍施加的节点力“N刚度矩阵昭中主对角元索总是止的乱刚度矩阵冈是一个对称矩阵，即匹.=虚畀乩刚度矩阵旳是一个

3、稀疏矩阵5刚度矩阵図是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后它是疋定阵.等参数单元证明平面三角形常应变单元为等参数单元。可.见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函数扌甬H公式与该点的位置坐标变换式，都貝有完全相同的形式“它们都是用同样个数的相应结点値（结点位移值或坐标值）作刃参数，并11用完全相同的形函数作为这些舞点值前面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数栩值公式；当参数収为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式或位置坐标变换式）.常应变三角形单元和矩形单元的这种位移函数描值公式均位置坐标变换式之间的对应协调关系，就是等参元的基本特征。所以，等参元的基本概念可简单概括成：一个单元的位移函

4、数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值者称为等参元显然，當.应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的等参元1试证明三角形常应变单元x二xN+xN+xNiijjmmy二yN+yN+yNiijjmm对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u,v表示为坐标x和y的线性函数,(3-2)同时设各节点位移z/二a】+a2xa3y_aA+a5x+a6y式中ava2,a3,a4,a5,a6为待定常数设各节点坐标为(Xi,yi),(Xj,yj),(Xm,ym),为(Ui,Vi),(Uj,Vj),(%,阳)代入式(3-2)得%=

5、tzt+2+tz3vw由上式左边的三个方程可以求得1=2AuiUJXJx用a.X-12AuiIm1七，=2A其中2A=XiXJ式中为三角形面积，为了保证求得的面积为正值，三个节点i,j,m必须按逆时针编排，如图3-2所示。将的心心代入式（3-2）,经整理得其中（3-3）Qj=xjymxmyjbi=y厂ym（i，j，m轮换）同理得二幺（+bix+Civi+（勺+bjx+cj）j+（Q加+bmx+cmy）vm若令（3-4）则得位移模式为3.证明：平面四节点等参数单元为完备的协调单元。二2平面四节点等券单元建K了局部坐标系或决射巨咯和可匸在fF平商匚的矽P元中描述实际|卩元的位務模式和力学特性任直四

6、边形m元在牡中元屮的也移模式插值公式(或者称为芒斤坐标系下的位務模式就是佢琢单元的位楼模式吗为:”=N%+2占空+N占玉+Wfv=N严、+A2v2+V弓片+其屮窸函数为:-y=t+Xl+)0=1.3,4)和为i节点的局部坐标。百墨然该程移複式在良口坐标系下是疏践计位移模式，在x,y坐待茎下不是駅钱性位移棋丸.由于实阵单元恤边界上有一个局部坐标为带数:固此位弼沿单元边界践性黑此，能保证单元的协调性。4.证明：等参数单元的形函数满足N=1,m为单元的结点数。ii一、形函数对于单元形函数的确定，首先假设单元的位移模式，代入结点的位移和坐标，从而推导出单元的任意一点的位移插值函数，即形函数。实际上，形

7、函数是定义在单元内部的、满足一定条件的、坐标的连续函数。形函数不仅可以用于单元位移函数的插值，还可以用于单元形状的变换。形函数应满足的条件是：在结点2处N,=,TOC o 1-5 h z在其他结点处M=o；(6-1)能保证用它立义的未知量(位移或坐标)在相邻单元之间的连续性；:应包含任意线性项，以保证用它定义的单元位移可满足常应变条件；应满足F列等式V=1(6-2)以保证用它定义的单元位移能反映刚体位移。动力1.什么是协调质量阵（一致质量阵）？什么是团聚质量阵（集中质量阵）？他们在形式上和实际上的相同点和不同点是什么？在有限元分析中经常会用到质量矩阵通常有两种形式集中质量矩阵和一致质量矩阵。前

8、者认为结构者则*?=H）川n其中D为质量密度N为形函数矩阵V为单元域。什么是比例阻尼？它有什么特点？其本质反映了阻尼与什么有关？由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系,若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性，这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析，此时称为比例阻尼。阻尼与模态有关。试述振型叠加法的基本思想和求解过程。振型叠加法是一种利用固有频率和振型来计算结构动响应的方法口其基本原理是：对结构自由振动进行模态分析，得到结构的固有频率和固有振型庞，利用固有振型竝组成的模态矩阵0对式（1）进行解耦，将结构的动力学方程转化为各主坐标的非耦合方程口二、振型叠加法计算步骤建立广义坐标系下的运动微分方程申可+町=尸（门给出广义坐标系下初始条件：打。和i0计算固有频率和振型向量计算主质量：Mt=ulA/w；（心1,2,，”）得正则振型向量：卩.=ru.（?=1,