控制工程基础5章

1、第五章 控制系统的稳定性分析 5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据（Routh判据、 Hurwitz判据） 5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性本章主要内容：第一节 系统稳定性的基本概念一、定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐近稳定；若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。稳定性只取决于极点，与零点无关。控制理论中讨论的稳

2、定性是指自由振荡下的稳定性，即输入为零，系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性。激振下系统的稳定性不在此讨论。对于纯线性系统，系统的稳定与否并不与初始偏差的大小有关；非线性系统一般是小偏差稳定，而大偏差不稳定。系统稳定性的基本概念二、线性系统稳定的充要条件 设线性系统初始条件为0，输入一理想脉冲 ，其输出为x0(t),若 ，则系统是稳定的。可以看出，只有才有：也就是说，Re(Sj)0, a1 0, a2 0;三阶系统稳定的充要条件是： a1a2a0a3；四阶系统稳定的充要条件是： a1a2a0a3， a1a2a3-a0a32-a12a40，3、二阶、三阶和四阶系统的劳斯判据4、两种特殊情况如果劳斯

3、阵列表中任一行的第一个元素为0，而其后其它元素并不为0，则在计算下一行第一个元素时，可以用一个很小的正数来代替第一列等于零的元素，然后再计算其它各元素。特殊情况一例4：S5 1 2 1S4 2 4 1S3 0 0S2 1 0S1 0 0S0 1 0 0系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。如果劳斯阵列表中出现全零行。这种情况说明特征方程中存在一些绝对值相等但符号相异的特征根（虚轴上的共轭虚根）。可以用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F（S）=0，并将辅助方程对S求导，用所得导数方程的系数代替全零行的各元素。如果此时第一列的系数均为正，说明系统没有右半S平面的特征根。但是因为

4、有某行元素均为零，说明虚轴上有共轭虚根，系统处于临界稳定。特殊情况二：S6 1 6 9 4S5 1 5 4 0S4 1 5 4 0S3S2 2.5 4 0 0S1 3.6 0 0 0S0 4 0 0 0辅助方程某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定例5： 0 0 0 0 4 10 0 0 例6: 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。()()21+sssK ()sXo()sXi+-例7：单位反馈系统的开环传递函数为：（1）试确定使系统稳定的参数（ Ka， z ）的范围；（2）取z=2，并保证系统极点全部位于s =-1的左面，试确定K的范围。第三节 乃奎斯特稳定判据

5、米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：设n次多项式D（s）有p个根位于复平面的右半面，有q个根在原点上，其余（n-p-q）个根位于左半面，则当以s=j代入D（s）并令从0连续增大到时，复数D（j）的角增量应等于： 米哈伊洛夫（）定理证：（1）设S1为负实根，对于矢量（S-S1）, 当S：0j变化时 S1ImRe2p负实根情况具有负实部的共轭复根情况,因此，（n-p-q） 个左根的总角变化量为:（n-p-q）/2。 Im Re S2 S3设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a0,b0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2）和（S-S3）, 当S：0j

6、变化时 ：设 Sm为正实根，对于矢量（S-Sm）, 当S：0j变化时 Sm Im Re 2-p 正实根情况 具有正实部的共轭复根情况设Sm+1、Sm+2为具有正实部的共轭复根， Sm+1=a+jb (c0,d0) Sm+2=a-jb 对于矢量（S- Sm+1）和（S- Sm+2）,S：0j变化时：因此， p个右根的总角变化量为p(-/2)。另外，原点根不引起角变化量。综上，推论：如果n次多项式D(s）的所有根都位于复平面的左半面，则当以s=j代入D（s）并命从0连续增大到时，复数D（j）的角连续增大 乃奎斯特稳定性判据 设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为 , 则其开环传递函数为:

7、分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故上式多项式中分子分母阶次相同，均为n阶。 （1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有极点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，则:也就是说，如果开环系统是稳定的，那么闭环系统要稳定必须满足这样的条件：1+G(j )不包围原点，或者G(j )的乃氏图不包围（-1，j0）点。曲线对原点的包围，恰等于轨迹对(-1，j0)点的包围。（2）如果开环特征多项式有P个根在s右半平面，q个根在原点，其余（n-p-q）个根在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，

8、这时如果闭环系统是稳定的，即 的所有的根也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论， 即开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为 ，系统闭环后就是稳定的。也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当从0连续增大到时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90。 总结：闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。设开环特征多项式在右半平面有p个根，在原点处有q个根，其余（n-p-q）个根在左半平面，那么乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环频率特性的乃氏图，当从0变化到时，其相对（-1，j0）点的角变化量如果等于：那么闭环系统就是稳定的。

9、例1：已知某反馈系统的开环传递函数为试绘制系统概略幅相曲线并试用乃式判据判断闭环系统稳定性。试绘制系统概略幅相曲线并判断闭环系统稳定性。例2：单位反馈系统的开环传递函数为解：试判断系统闭环稳定性。例3：某系统的开环传递函数为如果K1，那么：如果K1时，相当于L()=20lg A()0dB, 当A()1时，相当于L()=20lg A()-,不稳定系统的(c)-； 稳定系统在-点处的L(-)=20lg A(-)0dB, （ -)=-。转换成对数曲线时，单位圆相当于伯德图的0dB线，而-点相当于对数相频特性的-轴。1、开环稳定的系统如果开环是稳定的，且在L()0的所有角频率下，相角范围都大于-线，那

10、么，闭环系统是稳定的。试用伯德图判断闭环后的稳定性。例题：已知单位反馈系统的开环传递函数解：稳定。线相交，故系统闭环后）不和（的频率范围内，灯片。可知，在画出的伯德图见下张幻伯德图低频段的斜率为为画伯德图。各转角频率开环稳定。右半平面的根，故系统的特征方程没有pwjwwwww-=0)L(dB/dec.20,200,50.8,0.2,0SG(s)4321 如果系统在开环状态下的特征发成有P个根在右半平面内，它在闭环状态下稳定的充要条件是：在所有L（）0的频率范围内，相频特性曲线（）在-线上的正负穿越次数之差为P/2，即P=2N。2、开环不稳定的系统概念： 正穿越：在对数相频特性曲线中，曲线从-线

11、一侧穿越到另一侧且相角（瞬时值）增加的穿越，N+=1。对应与乃式曲线是逆时针穿越（-1，j0)点左侧的负实轴。 负穿越：在对数相频特性曲线中，曲线从-线一侧穿越到另一侧且相角（瞬时值）减少的穿越，N-=-1。对应与乃式曲线是顺时针穿越（-1，j0)点左侧的负实轴。 半次穿越：在对数相频特性曲线中，曲线从-线上（或渐近式）转到另一侧的穿越，N=（）1/2。正负穿越次数之差等于：N= N+- N-。试用对数频率特性判据判断闭环系统的稳定性。例题：反馈控制系统的开环传递函数为第五节 控制系统的相对稳定性 由乃奎斯特稳定判据可知：系统开环幅相曲线在临界点（-1,j0）点附近的形状，对闭环稳定性影响很大

12、，曲线越是接近临界点，其频率稳定性越差。 系统相对稳定性的定量化可表示为幅值裕量Kg（亦记为h）和相角(位)裕量。 幅值裕量Kg(h)：在为相位交接频率-时（此时乃式曲线与负实轴相交），开环幅频特性A（ ）的倒数，称为幅值裕量Kg(h)， Kg=1/A(- )。含义：如果系统的开环增益增大为原来的Kg倍，闭环系统处于临界稳定状态。相角裕量：在为剪切频率c时，相频特性距-180o线的相位差叫做相角裕量。 =180o+(c)含义：如果系统对频率为c的信号的相位迟后再增大度，则闭环系统处于临界稳定状态。稳定系统的为正，不稳定系统的为负。在乃式曲线上，曲线与负实轴的交点到原点的距离即为1/Kg，它代表

13、在频率- 下开环频率特性的模。当系统稳定时，1/Kg1。在伯德图上，对于稳定的闭环系统，Kg必在0dB线以下，此时具有正幅值裕量。对于不稳定的闭环系统，Kg必在0dB线以上，此时具有负幅值裕量。综上所述，对于开环稳定的系统，当频率特性G(j)具有正幅值裕量和相位裕量时，其闭环系统是稳定的；当频率特性G(j)具有负幅值裕量和相位裕量时，其闭环系统是不稳定的。工程要求：幅值裕量Kg(亦记为h）6dB，即Kg2相角（位）裕量=30o-60o一阶、二阶系统的0，Kg为无穷大，理论上讲系统必然稳定。但实际的系统与理想的数学模型有偏差，故开环放大倍数不能太大，否则系统会不稳定。 试求系统的相位裕度和幅值裕

14、度。例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为画出概略伯德图为。时，伯德图斜率为低频段，转角频率解：由传递函数易知各4020lgK1)L(100,K20dB/dec.-1)(2010214321wwwwww=令L（）=0，求得剪切频率 c=22.4 ()=-180o,求得交接频率 -=10.2Kg=1/|G(j - )|=0.512，在0dB的上部。=180o+(c)= -16.1o所以，系统闭环不稳定。（2）系统幅值裕量为20dB的K值。试求：（1）系统相位裕量为600的K值；例题：设单位反馈系统的开环传递函数为：时系统稳定。所以当取列写劳斯阵列整理后得：方程为：函数得出闭环特征统，可以根据开环传递由于系统为单位反馈系意义。系统稳定的前提下才有指标，因此只有在环系统