材料力学第四章扭转

1、材 料 力 学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院顾志荣第四章 扭转材料力学第四章 扭转一 扭转的概念和实例二 外力偶矩、扭矩和扭矩图三 圆轴扭转时的强度计算四 圆轴扭转时的变形计算五 扭转超静定问题六 矩形截面杆的自由扭转七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转一 扭转的概念和实例第四章 扭转/一 扭转的概念和实例对称扳手拧紧镙帽承受扭转变形的构件传动轴汽车传动轴第四章 扭转/一 扭转的概念和实例第四章 扭转/一 扭转的概念和实例mmmm第四章 扭转/一 扭转的概念和实例这些构件的受力特点:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。变形特点:杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。第四章

2、扭转二 外力偶矩、扭矩和扭矩图第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图1 外力偶矩的计算外力偶矩与功率和转速之间的关系第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图2 求扭转内力的方法截面法IIMn3 受扭圆轴横截面上的内力扭矩右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图扭矩符号规定：4 扭矩的符号规定右手螺旋法则mIImIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图例题 已知圆轴受外力偶矩mA 、mB 、mC 作用而处于匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。已知

3、圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则用截面法求内力：11扭矩第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图截面2-2上的内力：第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图（+）5 扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线扭矩图（-）扭矩图第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图ACBD经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为解：IIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外

4、力偶矩、扭矩和扭矩图IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图ACBD（-）扭矩Mn-图（+）（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图将A、D轮的位置更换，则ACBD扭矩Mn-图（-）（AD段）因此将A、D轮的位置更换不合理。IIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。1122轮轴轴承6KNm4KNm第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图第四章 扭转三 圆轴扭转时

5、的强度计算第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算1 受扭圆轴横截面上的剪应力（1）公式推导的思路 应力分布应力公式变 形应变分布平面假定物性关系静力方程MeMe平面假定变形几何1 受扭圆轴横截面上的剪应力（2）公式推导过程dxMnMndxIp截面的极惯性矩dxTTdxIp截面的极惯性矩(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式扭转截面系数(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式:实心圆截面空心圆截面P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/minn3= n1 z3z1=1203612=360r/min例题 已知：P114kW, n1= n2= 120r/min, z

6、1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. P2p3p12。求: 各轴横截面上的最大切应力。解：第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算max(H)=22.69 MPam2Wp2max(C)=21.98 MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54 MPa第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算2 受扭圆轴任意斜截面上的应力分析第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算铸铁低碳钢铸铁试件受扭为什么沿45螺旋面断开？低碳钢试件受扭为什么沿横截面断开？mmAAefef第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算讨论:maxmin第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计

7、算第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算3 圆轴扭转时的强度条件 为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即： 式中的许用扭转切应力 ,是根据扭转试验,并考虑适当的工作安全系数确定的.第四章 扭转四 圆轴扭转时的刚度计算第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算1 扭转角 与剪切角 mm第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算2 圆轴扭转时的变形计算 如图所示阶梯轴。外力偶矩m10.8KNm， m22.3KNm， m31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0m

8、ABC例题 图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩m19KNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为m24KNm，m33.5KNm，m41.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN500500500例题 已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截

9、面相对扭转角。单位长度阻力矩例题 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。因两杆扭转变形时无相对转动例题第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算3 圆轴扭转时的刚度条件 要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴之重量。解：1. 计算外力偶矩 画扭矩图。例1：钢制传动轴已知：n300（r.p.n

10、），dD12，输入功率: NA360kW，输出功率:NBNC110kW，ND140kW； BCADmBmCmAmD70044456xoT/N.m3502TN.mx350270044456危险截面：AC段。2. 选择实心圆轴直径 按强度条件 按刚度条件2. 选择空心圆轴直径 按强度条件 按刚度条件由此应选直径 D=11.6cm，dD25.8cm3. 重量比由此应选直径 解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大剪应力例题2 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，

11、并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径 为？所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而式中解得：实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为 根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用； 从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度和刚度均可提高； 通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。对于轴

12、的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。 例题3 图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, , 。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大剪应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d应为多大？AllBCd1122AllBCd（+）（-）扭矩图解：(1)轴的最大剪应力作扭矩图：2211因此AllBCd（2）扭转角截面B：截面CAllBCd（3）BC段孔径d由得解得：AllBCd例题4 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。Lt xdx解：取微段作为研究对象。Mx(

13、x)Mx(x) L-xtMx(x)根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：微段两端截面的相对扭转角为AB因此LtAB第四章 扭转五 扭转超静定问题扭转超静定问题的解法：（1）建立静力平衡方程；（2）由变形协调条件建立变形协调方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： ，代入变形协调方程，得到补充方程；（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。例题6 一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。要求：1）作扭矩图；2）若m=10KN.m,材料的=60MPa，试选择此等直圆截面杆直径。MABClMDll例题7 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模

14、量为G,试求组合杆承受外力偶矩m以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？12Mn12解：（1）静力学关系（2）变形协调条件（3）物理关系： 代入变形协调方程，得补充方程（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得（5）最大剪应力杆1：管2：第四章 扭转六 矩形截面杆的自由扭转自由扭转：非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。约束扭转：横截面可以自由翘曲。横截面的翘曲受到限制。横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零 边缘各点切应力沿切线方向最大切应力 发生在长边中点T分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：矩形杆：查表：0.801分别计算两杆截面面积圆杆：矩形杆：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。 例题 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。第四章 扭转七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转第四