矢量微分算子和拉普拉斯算子

1、矢量微分算子和拉普拉斯算子一、矢量微分算子形式定义：V工 i+A j+ k dxdydz我们发现矢量微分算子算子在形式上是个矢量。用法定义1.铺垫定义:9dx J-u(x, y, z) 叱。)，疽(X, y, z).i u (x, y, z) iex JexI j u (x, y, z ) 竺 j ex Jexgk u (x, y, z) uSxk dx Jdxu (x, y, z)dydz J u (x, y, z ) dz其中u (x, y, z )是标量函数，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴方向的单位矢量。f d .d .d(d .)f d .(d AVu =i +一j +ku iu +

2、 j u +1k、dxdyJd Jdx Jdy J 、dz J2.跟标量函数u (x, y, z)相乘du . du . du - u i +j + kdxdydz我们看到这跟普通矢量与标量的乘法形式上一样。3.跟矢量 A = P (x, y, z )i + Q (x, y, z )j + R (x, y, z )k 点乘i + Fj + 9k (P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k)VA =d . d . d 一 TOC o 1-5 h z (dxdydz )d 如 、d/、8如 、dP dQ dR P (x, y, z )+ Q (x, y, z )+ R (

3、x, y, z ) =+dxdydzdx dydz我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的点乘的定义形式上一样。4.跟矢量 A = P (x, y, z )i + Q (x, y, z j + R (x, y, z )k 叉乘(aa8 Vx A= i + j + kay 边)ka8zRia8xp、8x/d8yQdy dzxG G, y, z )i + Q G, y, z )j + R (x, y, z )k )ap _ aR az ax我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的叉乘的定义形式上一样。按照以上定义，我们容易得出:1.根据下图所示梯度定义可知，可以用矢量微分算子表示标量函数u (x, y, z)

4、的梯度，即grad (u ) = Vu梯度的这个定义是与坐标系无关的，它是由数星场中数量 (M)的分布所决定的.上面，我们借助于方向导数的公式找出了 它在直角坐标系中的表示式为(2一8). 如 8比.如grad 功兰三 + J + 弥 ay 如2.根据下图所示散度定理可知，可以用适量微分算子表示矢量函数A = P (x, y, z)i + Q (x, y, z)j + R (x, y, z)k 的散度，即 div (A) = V，A(2)敝度在直角坐相系中的襄示式散度的定义是与坐场系犬关的.下面的定理，给出T它在直角 坐标系中的覆示式一定理 在直角坐标系中矢机场A =尸(工十Me 十&(工序枉

5、一点MJbN)处的散携为div A . +.( 3. 10 V瓦！ 可 在3.根据下图所示旋度定义可知，可以用矢量微分算子表示矢量函数A = P (x, y, z)i + Q (x, y, z)j + R (x, y, z)k 的旋度，即 rot (A) = Vx A1 ） T度的迎义着在矢量场A中的一点MAh存在这样的一个矢量史，矢量场 A在点仙 姓沿其方向的环衰而街度为最大这个最大的致值，正 虾就是tNI ,则称矢最田为矢量场凡在点覆处的就度，记作rolM, 即Et A = Kn而点之,施度矢量在敕值和方向上表出了醒大的环故面瘗度.旋度的上述应又，是与坐标系无关的.上面（4 12）式中的矢

6、 酰代是它在宜伟坐标系中的衰示式，帽是酰,在直角坐标系中有砒 4 =虬 一 Q,）i 4 （P, - K）J + （pc -七）虬 （4. 14） 或V5IL*4二、拉普拉斯算子（一）形式定义:(8 . 8 . u - i + j + k -、8x8y8z )8 88 88882+V 2 = V-V =J . 8 . 8 )i + j +k、8x 8y 8z /+ 8 2 + 8 28x 8x 8y 8y 8z 8z8x 2 8y 2 8z 2我们发现拉普拉斯算子在形式上是个标量。（二）用法定义:1.铺垫定义：)8 2 (x, y, z )8 28x 2 8x 28 2( 8 2u (x, y

7、, z)u (x, y, z ) ! 8y28 2u8z 2,y, z,y, z8y 2 )8 2 G, y, z )8z 22.跟标量函数u G, y, z ）相乘亲+奈喘/ d 2u + d 2u + d 2u dx 2 dy 2 dz 2V 2U =-d 2d 2d 2u du + d- u + du我们发现这个定义形式跟普通标量与标量的相乘形式上满足的相似的规律（分配律）3.跟矢量函数 A = P G, y, z)i + Q G, y, z)j + R G, y, z)k 数乘(P G, y, z )i + Q G, y, z )j + R(x, y, z ) k ) d2d 2 +d

8、 2、+P (x, y, z)i + d2d 2 +d 2、+dx 2dy2dz2)dx 2dy2dz2)Q (x, y, z )j +R (x, y, z )k点+舄喔jx+*+含 /=-P(x,y,z)+余，P(x,y,z)+, P(x,y,z) i + W Q(x, y, z )+- Q(x, y, z )+- Q (x, y, z) J+ dx 2dy 2dz 2)二 R (x, y, z)+ 牛 R (x, y, z)+ 二 R (x, y, z) kdx 2dy 2dz 2)82 P (x, y, z ) d 2 P (x, y, z ) d 2 P (x, y, z+dx 28y

9、 2dz 2vd2Q(x, y, z)+ d2Q(x, y,z) + d2Q(x, y,z dx 2dy 2dz 2/d2 R (x, y, z ) d2 R (x, y, z ) d2 R (x, y, z ) +,8y 27).J +dz2)我们发现这个定义形式跟普通标量与矢量的相乘形式上满足相似的规律（三）注意1. V2u = V(Vu)V 2U =d 2u + d 2u + d 2 z dx 2dy 2 dy 2yA-（y ） = （y、）xat4iXQ11dQ dQ dQ（Z2Q zXQ ZXQ + 111dQ dQ dQ）=VAz2Q 2QQ 2。用）（用Y* 1+ f1- -g0

10、QdQ）g0ZQ.QXQ ）（ XQ2Q+ +?d3 J wXQ-Q iXQ、1久 9dQ ）2。X（Q 化 xq+ Qy。de de J（决 % xq+ Qy。3 de J（乓 S xg+de dQ）2。 S xg %一 + t + 一 /（2。化 XQ一+ 一 + T + 一2。, 4+，=， I r，=，q de de） e ye de de= （A）A TOC o 1-5 h z （2。 用）+jiq de de J2gXQ 2gXQ+ + y + 5 + d HQ Gs dQ Q Q Q=VA（y xa） xA=yA-（y ）目（u ）/ gvzc2g zg ixq2gxg2g 2g

11、xg xg| | |nzQ nzQ nzQ （S用） nQ Q nQ Q nQ Q初。混。足F/ 2QXQ:股+ 无+?无J）（乓厂便用）HF iF t nQ .能 , ng）ijkddddxdydzdR dQdP dRdQ dPdy dzdz dxdxdyVx(Vx A)=(A(dQdP jd(dPdR jj(dy(dxdy Jdz(dzdx JJi+(-1)牛-里dx ( dxdy滂-珂dz ( dydz J jd2Pd2Q * d2Rd2Qdydx dx 2dydz dz 2(里*dQ +业(55“ jd2Q d2P d2P d2R(dxdy dy 2 dz 2 dxdz&+m (dx

12、2 dxdy dxdz ?(d2P d2P d2P ). ( d2Q d2Q d2Qd (dP dRdx ( dz dx J(态+函+品?世+理+业(dx2 dydx dzdx /dydx dy 2dydz J/ - -+ (dx 2dy 2dz 2(d2Pd2Qd2R A(dxdydy 2dzdyd2P . d2P . d2P i + ( dQ | 汗一号 dy (dy dz J J.(d 2 P d 2 R d 2 R dQ (dzdx dx 2 dy 2 dzdy, (世+a,酬(dzdx dzdy dz2,kJd 2 R d 2 R d 2 R dx 2dy 2dz 2 ,(d2Pd2

13、Q d2R(dxdz dydz dz 2 jV(V-A) =V -i + j + mk (P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k)J(dxdy -/P dQ dR ( d .=V + 一 + = i + (d 、-d i -(dx JJ dP dQ dRd 一 + 一dx dy dz /(dP dQ dR+-工一(dx(dx、+ dydz+ (dxdy d /dx皈Jd . d j + kdy(d .)+ dy j )Y dPdQdR)L L过+政+(dx 2 dydx dzdx /J (J dP dQ dR)d +i + ( dx dy dz J .+l+ d J

14、+(d2P d2Qd2R )+= dx dy dz J(d + d k -(dz Jdz J(dP dQ dR (dx dy dz jJ dP dQ dRd 一 + 一(dx dydz(m q+迎 (dxdz dydz dz 2,dPdQdR)LL+(dx dy dz J+ 一 上k=、dxdy dy 2 dzdy)(d2 d2 d2 +-(dx2 dy2 dz2 J(B+E+B j(dx2 dy2 dz2 J(P(x, y, zi + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k)=P (x, y, z )i +项土 -P(x, y,z)+d -P(x, y,z)+( dx2dy 2( d2d2d2+(dx 2 dy 2 dz