成果大一下高数10

1、1例2. 求曲面S1 : z x2 y 2 1 任一点的切平面与曲面S2 : z x2 y 2所围的体积 V .解: 曲面 S1在点( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为z 2x0 x 2 y0 y 1 x2 y200它与曲面 z x2 y 2 的交线在 xOy 面上的投影为(x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D ) V 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02 x2 y 2d x d yD 1 (x x0 )2 ( y y0 )2 d x d yD令 x x0 r cos , y y0 r sin r 2 r d r d 2 d 1 r 3 d r D002例2

2、. 求曲面S1 : z x2 y 2 1的切平面与曲面S2 : z x2 y 2所围的体积 V .例 1. 求抛物面 x2 y2 2z ，xOy 平面与柱面 x2 y2 4x 所围的体积.例 1. 求抛物面 x2 y2 2z ，xOy 平面与柱面 x2 y2 4x 所围的体积.一、体积柱体的顶为连续曲面 z f (x, y), (x, y) D,则其体积为V D f (x, y)dxd y占有空间有界域 的的体积为V dxd ydz第四节 重积分的应用一、体积 二、曲面的面积2例4. 计算半径为 a 的球的表面积.2、若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x , 则有

3、A 1 ( y )2 ( y )2 d z d xDz x z x3、若光滑曲面方程为隐式 F (x, y, z) 0, 且 Fz 0 , zF zFy则 x , ,(x, y) Dx yxFzyFz2 A z dx d yDx yFz故有曲面面积公式A 1 f x 2 (x, y) f y 2 (x, y) dD即A 1 (z )2 ( z )2 d x d yD x y1、若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有A 1 ( x )2 ( x )2 d y d zDy z y z二、曲面的面积zn设光滑曲面 S : z f (x, y) , (x, y)

4、DM则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z)S处小切平面的面积 d A 无限积累而成.o设它在 D 上的投影为 d , 则xd yd cos d Acos 1nz1 f x 2 (x, y) f y 2 (x, y)d Ad A 1 f x 2 (x, y) f y 2 (x, y) dMd(称为面积元素)例3*. 求半径为a 的球面与半顶角为 的z内接锥面所围成的的体积.2a解: 在球坐标系下空间所占区域为M0 r 2a cosr : 0 oy0 2x则体积为22 a cosV dxd ydz d sin d r 2 d r000 16 a3 cos3 sin d 4 a34 (

5、1 cos)303d v r 2 sin d d drx2y 2z 2例3. 试计算椭球体 1 的体积 V.a2b2c2解法1 利用“先二后一”计算.D : x2 y2 1 z 2z a2b2c2V d x d y d z 2 cd zd x d y0Dz2 cab(1 z ) d z 4 abc0c233作业P175.1,2,3例5. 计算双曲抛物面z xy 被柱面 x2 y 2 R2 所截出的面积 A .解: 曲面在 xOy 面上投影为D : x2 y 2 R2, 则A 1 zx 2 zy 2 dxd yD 1 x2 y 2 dxd yD2R d 1 r 2 r dr00 2 (1 R2 ) 32 1)3例4. 计算半径为 a 的球的表面积.例4. 计算半径为 a 的球的表面积.解: 方法1 利用球坐标方程.z设球面方