二面角的求法

1、面角求法总结.面角的类型和求法可用框图展现如下：厂一定义法可见棱型|解.一三垂线法占 十转一垂面法治化积法一不向棱型I一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱 ，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1:(全国卷I理)如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD , AD J2 ,DC SD 2,点 M在侧棱 SC上， ABM =60(I )证明：M在侧棱SC的中点(II )求二面角 S AM B的大小。变式1:(山东)如图，已知四棱锥 P-ABCD

2、底面ABC型菱形，P平面ABCD ABC 60 ,E , F分别是BC, PC的中点.(I )证明：A已PD;(n)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为Y6,求二面角E- A C的余弦值.2二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜 线垂直.通常当点 P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例2.(山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A1B 1clD1中，底面ABC的等腰梯形，AB/CD,AB=4, BC=CD=2,AA1 =2, E、E1、F分别是棱 AD AA1、AB的中点。证明：直线EE1/平面FCC1

3、;求二面角B-FC1-C的余弦值。变式2：(天津)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形.已知 AB 3, AD 2, PA 2, PD 2& PAB 60 .(I)证明AD(n)求异面直线平面PAB ；PC与AD所成的角的大小;(m)求二面角 P BD A的大小.本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3 (湖南)如图所示，四棱锥 P-ABCD的底面ABCD边长为1的菱形，/ BCD= 60 , E是CD的中点，P屋底

4、面 ABCD PA= 2.(I )证明：平面 PBE1平面PAB;(n)求平面 PA/口平面PBE所成二面角(锐角)的大小变式3-1:已知斜三棱柱 ABC-ABC的棱长都是a,侧棱与底面成60的角，侧面 BCCB底面 ABC(1)求证：ACBC;(2)求平面ABCi与平面ABC所成的二面角(锐角)的大小。Ai变式3-2:在四棱锥 P-ABCC, ABC型正方形，PAL平面 ABCD PA= AB= a,求平面 PBA与平面PDC 所成二面角的大小。四、射影面积法（cosq = )变式4: E为正方体ABCD- AiBCD的棱CC的中点，求平面ABE和底面ABCD所成锐角的余弦值.凡二面角的图形

5、中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用 S射射影面积公式（cos -）求出二面角的大小。S斜例4:（北京理）如图，在三棱锥 P ABC中，AC BC 2, ACB 900,AP BP AB, PC AC .(I)求证：PC AB;(n)求二面角 B AP C的大小;五、向量法1.法向量向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何 图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例5:(天津卷理)如图，在五面体ABCDE冲,FA 平面A

6、BCD, AD/BC/FE , AB AD, M为EC的，1中点，AF=AB=BC=FE= AD2求异面直线BF与DE所成的角的大小；证明平面AMD平面CDE求二面角A-CD-E的余弦值。变式5：(湖北)如图，在直三棱柱 ABC A1BC1中，平面 ABC 侧面AABB1.(I)求证：AB BC；(n)若直线AC与平面ABC所成的角为 关系，并予以证明.2.向量外积法定义：设a, b是2个空间向量，a和b的向量积c a b, c a bsin(a,b),c垂直于a和b并 且a,b,c的方向符合右手法则.定理： 设 aax,ay, az, bbx, by,bz，则 a baybzazby,azb

7、xaxbz,axbyaybx具体步骤：建立空间直角坐标系；取与二面角的棱共线的向量 a,在平面、 内分别取不与a共线的向量b1、b2 (注意方向)；将a放在前面作向量积分别求出平面、 的法向量，即 m a b1 ,n a b2；利用向量夹角公式 cos(m, n)m n ,求出 coSm,n)的值，此时无需再进行判断， coSm n)m n就是所求二面角的余弦值例 6:（全国卷 I 理） 如图，四棱锥 S-ABCD中，SD 底面 ABCD AB/DC, AD DC AB=AD=1 DC=SD=2E为棱SB上的一点，平面 EDC 平面SBC .(I)证明：SE=2EB(n)求二面角 A-DE-C

8、的大小.变式6:(广东卷理)如图， ABC是半彳至为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点.平面 AEC外一点F满足FB DF J5a , FE=J6 a .(1)证明：EB FD;2(2)已知点 Q,R分别为线段 FE,FB上的点，使得 FQ - FE, FR FB ,求平面BED与平面3RQD所成二面角的正弦值.立体几何真题汇编1. (2013山东卷理18)如图所示，在三棱锥P ABQ 中，PB 平面 ABQ , BA BP BQ ,D,C, E,F分别是AQ,BQ, AP,BP的中点，AQ 2BD , PD与EQ交于点G , PC与FQ交于点H ,连接GH

9、。(1)证明：AB / GH ；(2)求二面角D GH E的余弦值。2. (2013陕西卷理18)如图，四棱柱 ABCD AB1c1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心,AO 平面 ABCD , AB AA1 盘。证明：AC 平面 BB1D1D;求平面0cBi与平面BB1D1D的夹角 的大小。3.如图，直三棱柱 ABC AB1C1中，D, E分别AB, BB的中点，AA1 AC CB AB . 2(1)证明：BC1/平面 A1CD;(2)求二面角D A1C E的正弦值。104. (2013新课标1卷18)如图，三棱柱 ABCAB 中，CA CB , ABAA,BAAi600(1)证明：AB

10、 AC；(2)若平面ABC 平面AA1B1B, AB CB ,求直线 AC与平面BB1cle所成角的正弦值5. (2013江西卷理19)如图，四棱锥P ABCD中,中点，DAB DCB, EA EB AB 1 , PA(1)求证：AD 平面CFG;(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值。PA 平面ABCD, E为BD中点，G为PD3,连结CE并延长交AD于点F 。211C6.四棱锥P ABCD中，ABCBAD 900, BC 2AD , PAB和 PAD都是等边三角形。(1)证明：PB CD ；(2)求二面角A PD C的大小。7. (2013辽宁卷理18)如图，AB是圆的直径，PA 圆

11、所在的平面， C是圆上的点。(1)求证：平面PAC 平面PBC;(2)若AB 2, AC 1, PA 1 ,求二面角C PB A的余弦值。12在直柱 ABCD ABiGDi 中，AD / BC , BAD 900 , AC BD , BC 1, AD AA(1)证明：AC B1D；(2)求直线BiG与平面ACDi所成角的正弦值。9. (2013北京卷理17)如图，在三柱 ABCAB1cl中，AA1C1c是边长为4的正方形，平面ABC平面 AA1C1C, AB 3,BC 5.(1)求证：AA 平面ABC；(2)求二面角A BC1 B1的余弦值;(3)证明：在线段 BG上存在点D ,使得ADBDA

12、B,并求生的值。BC113(2013天津卷理17)如图，四棱柱ABCD AB1c1D1中，侧葭AA 底面ABCD , AB / DC ,AB AD, AD CD 1, AA1 AB 2,E为棱人的中点。(1)证明：B1cl CE ;(2)求二面角B1 CE C1的正弦值；(3)设点M在线段CE上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长。底面 ABCD, BC CD 2, AC 4,(2013重庆卷理19)如图，四棱锥P ABCD中，PAACB ACD F 是 PC 的中点，AF PB。 3(1)求PA的长；14B(2)求二面角B AF D的正弦值。AB是圆O的直径，点C是

13、圆O上异于A, B的点，直线PC 平面ABC , E, F分别是PA, PC 的中点.(I)记平面BEF与平面ABC的交线为l ,试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；LUU1 UUU(n )设(I )中的直线l与圆O的另一个交点为 D，且点Q满足DQ CP .记直线PQ与平面ABC2所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为 ，二面角E l C的大小为 ，求证：sin sin sin(2013四川卷理19)如图，在三柱ABC ABC中，侧棱AA, 底面ABC , AB AC 2AA , BAC 120O, D,D1分别是线段BC,BC1的中点，P是线段AD的中点.(I)在平面 ABC

14、内，试作出过点P与平面ABC平行的直线l ,说明理由，并证明直线 l平面ADD1A ；(n)设(I)中的直线 l交AB于点M ,交AC于点N ,求二面角 A A1M N的余弦值.15（2013广东卷理18）如图5,在等腰直角三角形 ABC中，ZA 90 , BC 6 , D, E分别是AC,AB上的点，CD BE J2,O为BC的中点.将 ADEgDEW起，得到如图6所示的四棱椎 A BCDE ,（1）证明：AO 平面BCDE；（2）求二面角A CD B平面角的余弦值.（2013安徽卷理19）如图，圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5 0,AB和CD是底面圆O上的两条平行

15、的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60,证明：平面PAB与平面PCD勺交线平彳T于底面；（2）求cos COD.16如图，在四面体 A BCD中，AD 平面BCD,BC CD,AD 2,BD 2J2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ 3QC .(1)证明：PQ 平面BCD;(2)若二面角C BM D的大小为60O,求 BDC的大小.AC(2013福建卷理19)如图，在四柱ABCD AiBCQi中，侧程AA 底面ABCD , AB / DC ,AA 1, AB 3k, AD 4k, BC 5k, DC 6k,(k 0)。(1)求证：CD 平面 ADD1A1；(2)若直线A

16、A1与平面AB1c所成角的正弦值为 6 ,求k的值；7(3)现将与四棱柱 ABCD AB1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的的表面积为f (k),写出f(k)的解析式(直接写出答案，不必说明理由)17如图，在直 柱 ABC AB1cl 中，BAC 900, AB AC J2 , AAi J3 , D 是 BC 中点,点E在BBi上运动。(1)证明：AD C1E；(2)当异面直线AC,CE所成的角为60时，求三棱锥C1 ABE的体积。AC1BEB1

17、A118(2013新课标2卷文18)如图，直三棱柱 ABC AB1cl中，D,E分别ABBB4)中点。(1)证明：BC/平面 A1CD;(2)设AA AC CB 2, AB 2 J2,求三棱锥C ADE的体积。2,（2013 江西卷文 19）如图，直四棱锥 ABCD AB1c1D1 中，AB / CD, AD AB, ABAD 匹,AA 3, E 为 CD 上一点，DE 1,EC 3(1)证明：BE 平面BB1cle(2)求点B1到平面EA1C1的距离19(2013辽宁卷文18)如图，AB是圆O的直径，PA 圆所在的平面， C是圆O上的点。(1)求证：BC 平面PAC;(2)若Q为PA的中点，

18、G为 AOC的重心，求证： QG /平面PBC（2013大纲卷文 19）如图，四棱锥 P ABCD 中， ABC BAD 90, BC 2AD, PAB和 PAD都是边长为2等边三角形。(1)证明：PB CD ;(2)求点A到平面PCD的距离(2013陕西卷文18)如图，四棱柱 ABCD- A1B1CD的底面ABC虚正方形，0为底面中心，A 平面 ABCD, AB AA2 .(I )证明：A 1BD / 平面 CDB1；(II )求三棱柱 ABD- A1B1D的体积.20ACi24.(2013 山东卷文 19)如图，四棱锥 P ABCD 中，AB AC , AB PA, AB / CD , A

19、B 2CD ,E,F,G,M ,N 分别为 PB,AB, BC, PD,PC 的中点。(1)求证：CE/平面PAD；(2)求证：平面EFG，平面EMN25.(2013 北京卷文 17)如图，四棱锥 P ABCD 中，AB / CD , AB AD, CD 2AB,平面 PAD底面ABCD, PA AD, E和F分别是CD和PC中点。求证：PA 底面 ABCD；BE /平面 PAD ;(3)平面BEF 平面PCD21PDC26. （2013 重庆卷文 19）如图，四棱锥 P ABCD 中，PA 底面 ABCD , PA 23 , BC CD 2,ACB ACD 一。 3(1)求证：BD 平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF 7FC ,求三棱锥P BDF的体积27.如图，在三柱ABC AB1C中，侧棱AA底面 ABC,AB AC 2AAi 2, BAC 1200,22D, Di分别是线段BC, B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点。(I)在平面 ABC内