向量组与矩阵的秩课件

1、第三章 向量组与矩阵的秩 第一节n维向量第二节线性相关与线性无关第三节线性相关性的判别定理第四节向量组的秩与矩阵的秩第五节矩阵的初等变换第六节初等矩阵与求矩阵的逆第七节向量空间1 n维向量 返回上一页下一页 定义 1 设P是由一些复数组成的集合, 其中包括0与1. 如果P中任意两个数(这两个数可以相同)的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数， 那么P就称为一个数域. 显然, 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个数域一般分别用字母Q、R、C来表示. 全体整数组成的集合不是数域.用小写的粗黑体字母来表示向量 。返回上一页下一页 定义2 数域P中n个数组

2、成的有序数组（a1,a2,an）称为P上一个n维向量，简称向量。 列向量行向量 数a1,a2,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量都是复数的向量称为复向量。 n维行向量可以看成1n矩阵，n维列向量也常看成n1矩阵。 设k和l为两个任意的常数， 为任意的n维向量，其中返回上一页下一页 定义3 如果 和 对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,n就称这两个向量相等，记为 。 定义4 向量（a1+b1 ,a2+b2 ,an+bn）称为 与 的和，记为 。称向量（ka1,ka2,kan）为 与k（kP）的数量乘积，简称数乘，记为返回上一页下

3、一页 定义5 分量全为零的向量（0，0，0）称为零向量，记为0。 与-1的数乘（-1） =（-a1,-a2,-an）称为 的负向量，记为 。向量的减法定义为返回上一页下一页满足（1）（8）的运算称为线性运算。返回上一页下一页向量的加法与数乘性质2 线性相关与线性无关 矩阵与向量的关系： 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行向量组 可以排列成一个sn分块矩阵 其中 为由A的第i行形成的子块， 称为A的行向量组。 n维列向量组 可以排成一个ns矩阵 其中 为由B的第j列形成的子块， 称为B的列向量组。 返回上一页下一页 定义6 向量组 称为线性相关的，如果有P中不全为零的数k1,k2,

4、ks，使反之，如果只有在k1=k2=ks=0时上式才成立，就称 线性无关。 返回上一页下一页 当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1s矩阵（k1,k2,ks）使 当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s1矩阵 ，使 返回上一页下一页 定义7 向量称为向量组,，t的一个线性组合，或者说可由向量组，t线性表出(示)，如果有P中（经常省略P中）常数k，k,，kt使 kk+ktt. 此时，也记.若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为列向量，则有返回上一页下一页也可用矩阵形式表示：例 判断向量组的线性相关性。解 假设存在一组常数k1 ,k2 ,kn 使得所以 即 k1= k2 = kn=

5、0 因此 线性关。返回上一页下一页称为基本单位向量. 解 对任意的常数k，k， k3都有 k+k+ k33=( k+k3，k+2k+3k3，k+5k+6k3 ). 例 判断向量组 （，），（，），3（，）的线性相关性.所以 k+k+ k33=0当且仅当返回上一页下一页由(1)得将其分别代入(2)和(3)得取定得方程组的一组解为: k1=1，k2=1，k3= -1因此 +1+(-1)3=+-3=0.所以，3线性相关.返回上一页下一页 例 设向量组 线性无关， ， ， ，试证向量组 也线性无关。 证 对任意的常数x1 , x2 , x3 都有由 线性无关，故有 由于上述方程组的解只有 k1=k2=

6、k3=0所以 线性无关。 返回上一页下一页设有k1,k2,k3，使 例 设=(1,1,1,1),=(1,1,-1,-1),3=(1,-1,1,-1),4=(1,-1,-1,1),=(1,2,1,1).试问能否由,3,4线性表出？若能，写出具体表达式. 解 令 =k+k+k33+k44于是得线性方程组因为返回上一页下一页由克莱姆法则求出所以即能由，3 , 4线性表出.返回上一页下一页 例 设=(2,-3,0),=(0,-1,2),=(0,-7,-4),试问能否由,线性表出? 由第一个方程得k=0，代入第二个方程得k=7，但k不满足第三个方程，故方程组无解. 所以不能由,线性表出. 解 设 =k+

7、k于是得方程组返回上一页下一页 定理1 向量组 （s2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。 证 充分性：设 中有一个向量能由其他向量线性表出，不妨设所以 线性相关。 必要性：如果 线性相关，就有不全为零的数k1 ,k2 ,ks，使 设k10,那么 即 能由 线性表出。返回上一页下一页例如，向量组 是线性相关的，因为 返回上一页下一页 显然，向量组，线性相关就表示k或者k. 此时，两向量的分量成正比例. 在三维的情形，这就表示向量与共线. 三个向量，3线性相关的几何意义就是它们共面. 定理2 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组线性表出，且表示式是唯一

8、的。 证 由于 线性相关，就有不全为零的数k1 , k2 , kt , k，使 即 可由 线性表出。 由 线性无关有k0。（否则， 线性相关）因此返回上一页下一页设 为任意两个表达式。 由和 线性无关 得到 l1=h1 , l2=h2 , ，lt=ht 因此表示式是唯一的。 返回上一页下一页 定理 2 若 可由向量组，t 线性表出, 且表示式是唯一的, 则，t 线性无关. 定义8 如果向量组 中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组可由 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价。 如果向量组 可以经向量组 线性表出，向量组 可以经向量组 线性表出，那么向量组 可以经向量组 线性表

9、出。返回上一页下一页 每一个向量组都可以经它自身线性表出。向量组 中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组 可以经向量组 线性表出。 如果有 返回上一页下一页向量组的等价具有下述性质： (1)自反性：向量组 与它自己等价； (2)对称性: 如果向量组 与 等价，那么 也与 等价； (3)传递性: 如果向量组 与 等价，而向量组 又与 等价, 那么 向量组 与 等价。返回上一页下一页3 线性相关性的判别定理 定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。 设这个部分组为 ，则有不全为零的数k1 , k2 , , kr，使 证 设向量组 有一个部分组线性相关。因此 也线性相关。 推论 含

10、有零向量的向量组必线性相关。 返回上一页下一页 称一个向量组中的一个部分向量组为原向量组的部分组。 定理4 设p1 , p2 , , pn为1，2，n的一个排列， 和 为两向量组，其中 即 是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。 证 对任意的常数k1 , k2 , , ks， 返回上一页下一页上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 当且仅当 所以 和 有相同的线性相关性。 返回上一页下一页(2)如果 线性无关， 那么 也线性无关。 定理5在 r 维向量组 的各向量添上 n - r个分量变成n维向量组 。(1)如果 线性相关， 那么 也线性相关。 证 对列向量

11、来证明定理。返回上一页下一页这里 A1 是列向量 构成的 r s矩阵.利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。因此, 也线性相关,即(1)式成立。如果 线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使 返回上一页下一页 引理1 n阶方阵A的行列式等于零的充分必要条件是A的行(列)向量组线性相关。 定理6 n维向量组 线性无关的充要条件是矩阵 的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也线性无关。返回上一页下一页 例 试证明n维列向量组，n线性无关的充分必要条件是行列式 证 令矩阵 A=，n则向量组，n线性无关行列式|A|0. 由于返回上一页下一页故|A|0在上式两端取行列式，得所以，n线性

12、无关D0.D0,|A|2=|A|A|=D返回上一页下一页定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。推论 当mn时, m个n维向量组线性相关。 返回上一页下一页练习 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性： 由于，因此的行(列)向量组线性无关； 由于，所以C的行(列)向量组线性相关. 定理8 如果向量组 可由 线性表出且 s t ，那么 线性相关。 推论1 如果向量组 可由线性表出，且 线性无关，那么 。 推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。 返回上一页下一页4 向量组的秩与矩阵的秩 定义9 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组

13、中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。 首先，由 与 的分量不成比例， 线性无关。再添入 以后，由 可知所得部分组线性相关，不难验证 也为一个极大线性无关组。 返回上一页下一页 例 在向量组 中， 为它的一个极大线性无关组。 定义9 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。 向量组的极大线性无关组具有的性质： 性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。 性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。 性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。 返回上一页下一页

14、因此 的秩不超过 的秩。 定义10 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。 由 的极大线性无关组线性表出。 线性表出，那么 的极大线性无关组可 如果向量组 能由向量组 定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。 推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。 返回上一页下一页 例 求向量组1(1，-1，0，3) ，2(0,1,-1,2) , 3(1,0,-1,5),4(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩. 解 1是1，2，3，4的一个线性无关的部分组，显然2不能由1线性表示，所以1可以扩充为一个线性无关的部分组1，2，

15、容易证明31+2 , 但4不能由1，2线性表出，所以1 ,2又可扩充为一个线性无关的部分组1 ,2 ,4，从而1，2，3，4的秩为3，1，2，4是它的一个极大线性无关组.返回上一页下一页 定义11 矩阵的行秩是指它的行向量组的秩，矩阵的列秩是指它的列向量组的秩。 定义12 在一个 sn 矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的 k2 个元素按原来的次序所组成的 k k 级矩阵的行列式，称为A的一个k级子式。 引理2 设 ，n维向量组 线性无关的充要条件是矩阵 中存在一个不为零的 r 级子式。返回上一页下一页那么, A中有r1个行向量线性无关, 由引理2, A中有一个r1级子式

16、D不为零,那么 A 中子式 D 所在的 r1个列向量也线性无关;因而 。定理10 矩阵的行秩等于列秩。 由此 A的列秩 ( A的行秩 r1 ) A的行秩 ( A的列秩 r2 ) , 即有 。证 设矩阵A的行秩为 r1 , A的列秩为r2。 统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩, 矩阵A的秩一般记为R(A)。规定零矩阵的秩为0。返回上一页下一页 因此 定理11 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是: 它有一个不为零的 r 阶子式, 而所有 r+1 阶子式全为零,这时, 这个非零的 r 级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。 返回上一页下一页例 求矩阵 A 的秩，其中解 容易看

17、出二阶子式A 的三阶子式只有| A |，经计算可得| A |=0，因此 R(A)=2.例 已知矩阵的秩为3，求a的值.解 R（A）=3，即A中非零子式的最高阶数为3，因为=(a+3)(a-1)2=0由此得 a =- 3 或 a =1.返回上一页下一页而当 a = - 3 时，A的左上角的3阶子式为 即A中存在非零的 3 阶子式，且不存在更高阶的非零子式，故当且仅当 a =-3 时，R（A）=3.当a=1时， , 显然有R（A）=1；返回上一页下一页5 矩阵的初等变换 矩阵的初等行变换都是可逆的, 且其逆变换也是同类的初等行变换。定义13 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对换矩阵两

18、行的位置(对换第i行和第j行的位置, 记为 r(i,j) ). (2) 矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数(第 i 行乘以 k , 记为 r(i(k) ). (3) 把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去 ( 第 i 行的k倍加到第 j 行上去, 记为r(j+i(k) ).返回上一页下一页 定理12 如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变为B , 则A的行向量组与 B 的行向量组等价, 而 A 的任意k 个列向量与 B中对应的k个列向量有相同的线性关系。例 求下列向量组 的一个极大线性无关组与秩。 解 作 返回上一页下一页所以 为一个极大线性无关组，且秩等于3。返回上一页下一页 同理

19、，可得 或 或 均为该向量组的极大线性无关组。返回上一页下一页 从每一行的第一个元素到第一个非零元素下面全为零，这些零的排列像一个阶梯，每个阶梯都只有一行，它称为一个行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1，且这些元素所在的列的其他元素都为0，这个矩阵称为矩阵的行最简形. 行阶梯形矩阵的特点是：）若有零行，则零行全部在矩阵的下方。 ）从第一行起。每一行第一个非零元前面的零的个数逐行增加。 对于这样的矩阵，可画出一条阶梯线，线的下方全为，每个台阶只有一行，台阶数就是非零行数。 返回上一页下一页事实上，对行阶梯形矩阵，它的秩就是非零行的个数。例用初等变换求矩阵A的秩。返回上一页

20、下一页因为行阶梯形矩阵B1有个非零行，所以R(A)=。如果继续施行初等变换，还可以化为更简单的形式。 行阶梯形矩阵 B2 的特点是，非零行的第一个非零元素为，且所在的列的其他元素都为，这样的矩阵为行最简形矩阵。返回上一页下一页若在经过列初等变换，还可以化为更简单的形式。 矩阵B3称为A的标准形，其特点是：B3左上角是单位矩阵。返回上一页下一页 由上面讨论可知，对于mn矩阵A，总可以经过初等变换，把它化为标准形，标准形的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为。例 定义14 如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称矩阵A与B等价。 返回上一页下一页矩阵的等价关系具有下列性质： (1) 反身性：A

21、与A等价。 (2) 对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。 (3) 传递性：如果A与B等价， B与C等价， 那么A与C等价。 定理13 如果矩阵A与B等价，那么R(A)R(B) 。 定理14 每个矩阵都有等价标准型，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准型。 推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是：它们的秩相等。 返回上一页下一页 当 A 为 n 阶可逆方阵时，R（）n，所以A的等价标准型为 n 阶单位矩阵. 由于可逆方阵的秩等于阶数，所以可逆方阵又称为满秩方阵，而奇异方阵就称为降秩方阵.返回上一页下一页6 初等变换与求矩阵的逆 定义15 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为

22、初等矩阵。 初等矩阵都是方阵，互换 E 的第 i 行与第 j 行（或者互换 E 的第 I 列与第 j 列）的位置，得 ,返回上一页下一页 用常数k乘E的第i行（或第 i 列），得 把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得 返回上一页下一页这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 定理15 对一个sn 矩阵 A 作一初等行变换, 就相当于在 A 的左边乘上相应的 ss 初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的 nn 初等矩阵。 返回上一页下一页返回上一页下一页 推论

23、1 矩阵A与B等价的充分必要条件是: 有初等方阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使 AP1P2PsBQ1Qt 推论2 nn矩阵A可逆的充分必要条件是：它能表成一些初等矩阵的乘积。 返回上一页下一页 推论3 两个sn矩阵A、B等价的充分必要条件是：存在可逆的ss矩阵P与可逆的nn矩阵Q使 A=PBQ 推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。 设A为可逆矩阵，由推论必存在有限个初等方阵 P1,P2P，使得P1P2PAE（1）所以 P1P2PEA-1（2）（）表明E经过同样有限次初等行变换变成A（）表明A经过有限次初等行变换变成E故可用初等行变换求逆阵：返回上一页下一页 （）（E)=(E）.例 设 求A-1。 解 对(AE)作初等行变换 返回上一页下一页补充：也可用初等列变换求逆阵：返回上一页下一页例用矩阵分块的方法求下面矩阵的逆矩阵解：将矩阵按如下形式进行分块返回上一页下一页返回上一页下一页7 向量空间 定义16 设 V 为数域 P 上 n 维向量组成的集合。如果 V 非空，且对于向量加法及数乘运算封闭，即对任意的 和任意常数 k （kp）都有就称集合 V 为数域 P 上的向量空间。 例 n维向量的全体Rn构成一个向量空间。3