新人教版高中数学必修第二册全书综合测评

1、全书综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数z满足(1-i)z=2+i,则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,若A1C1=2,A1B1C1的面积为22,则AB的长为()A.2B.217C.2D.83.设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC4.我国古代数学名著九

2、章算术中有如下问题:“今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是()A.102B.112C.130D.1365.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个颜色的环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学作为模型进行制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A

3、.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.无法判断6.已知向量a=8,12x,b=(x,1),其中x0,若(a-2b)(2a+b),则x的值为()A.4B.8C.0D.27.在四面体A-BCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,则直线AB与CD所成角的余弦值为()A.-13B.-14C.14D.138.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,且sin A+sin C=1,则ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为56的等腰三角形D.顶角为23的等腰三角形二、多项选择题(

4、本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.给出下列四个命题,其中正确的命题是()A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率10.已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,下列命题是真命题的是()A.若m,m,则B.若m,n,mn,则C.若m,n是异面直线,m,m,n,n,

5、则D.若,则11.已知向量a,b是同一平面内的两个向量,则下列结论正确的是()A.若存在实数,使得b=a,则a与b共线B.若a与b共线,则存在实数,使得b=aC.若a与b不共线,则对平面内的任一向量c,均存在实数,使得c=a+bD.若对平面内的任一向量c,均存在实数,使得c=a+b,则a与b不共线12.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次,甲的成绩分别是8,6,8,6,9,8;乙的成绩分别是4,6,8,7,10,10,则以下说法正确的是()A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲打靶环数的中位数比乙打靶环数的中位数大C.甲打靶环数的众数比乙打靶环数的众数大D.甲打靶的成绩比乙打靶的成绩稳定三、填空

6、题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如下,数据的分组依次是20,40),40,60),60,80),80,100,则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是.14.如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BACA=4,BFCF=-1 ,则BECE的值是.深度解析15.已知圆锥的高是底面半径的3倍,侧面积为,P为圆锥顶点,若正方形ABCD内接于底面圆O,则四棱锥P-ABCD的侧面积为.16.在一次数学考试中,第22题和第23题为选做题,规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设四名考生选做这两

7、题的可能性均为12,则甲、乙两名学生选做同一道题的概率为;甲、乙两名学生都选做第22题的概率为.(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)设甲同学上学期间的三天中,7:30之前到校的天数为X,求X=0,X=1,X=2,X=3时的概率P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3);(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30

8、之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.18.(本小题满分12分)如图,在OAB中,已知P为线段AB上一点,OP=xOA+yOB.(1)若BP=PA,求实数x,y的值;(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA与OB的夹角为60,求OPAB的值.19.(本小题满分12分)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin A=32a.(1)求B的大小;(2)若AB=2,BC=32,点D在边AC上,求BD的长.请在AD=DC;DBC=DBA;BDAC这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(本小

9、题满分12分)在如图所示的几何体中,PBEC,PB=2CE=2,PB平面ABCD,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,BAD=60.(1)求证:AC平面PDE;(2)求CD与平面PDE所成角的正弦值.21.(本小题满分12分)2020年4月23日“世界读书日”来临时,某校为了解中学生课外阅读情况,随机抽取了100名学生,并获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到下表.组号分组频数频率10,5)50.0525,10)a0.35310,15)30b415,20)200.20520,25100.10合计1001(1)求a,b的值,并在下图中作出这些数据的频率分布直方图;(用阴

10、影涂黑)(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数(中位数精确到0.01);(3)现从第4、5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛,经过比赛后,第4组得分的平均数x=7,方差s2=2,第5组得分的平均数y=7,方差t2=1,则这6人得分的平均数a和方差2分别为多少(方差精确到0.01)?22.(本小题满分12分)如图甲,在矩形ABCD中,E是CD的中点,AB=2,BC=2,以AE、BE为折痕将ADE与BCE折起,使D,C重合(仍记为D),如图乙(以ABD所在平面为底面).(1)探索折叠形成的几何体中直线DE的几何性质并证明(写出一条即可,不含DEDA,DEDB);

11、(2)求翻折后几何体E-ABD外接球的体积.答案全解全析一、单项选择题1.D(1-i)z=2+i,z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=12+32i,z=12-32i,z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为12,-32,即z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限.故选D.2.B因为A1B1C1的面积为22,所以22=12A1C1B1C1sin 45=122B1C122,解得B1C1=4,所以BC=8,易知ACBC,由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+82=217.故选B.3.AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+4

12、3AC.故选A.4.B因为北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,所以需从西乡征集的人数是3787 2368 758+7 236+8 356112.5.C结合互斥事件和对立事件的概念可知C正确.6.A因为a=8,12x,b=(x,1),所以a-2b=8-2x,12x-2,2a+b=(16+x,x+1).因为(a-2b)(2a+b),所以(8-2x)(x+1)=(16+x)12x-2,即-52x2+40=0,解得x=4,又x0,所以x=4,故选A.7.D因为四面体的对边分别相等,所以该四面体的顶点为长方体的不相邻的四个顶点,如图所示,设长方

13、体的长、宽、高分别为a,b,c,则a2+b2=5,a2+c2=4,b2+c2=3,解得a=3,b=2,c=1.连接DC,交AB于点O,则DCDC,所以AOD是异面直线AB与CD所成的角(或其补角).在AOD中,cosAOD=AO2+DO2-AD22AODO=34+34-223232=-13,所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为13,故选D.8.Dcos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,即1-sin2A-(1-sin2B)+1-sin2C=1+sin Asin C,即sin2A+sin2C-sin2B=-sin Asin C,由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,由余弦

14、定理得cos B=a2+c2-b22ac=-12,因为B(0,),所以B=23,故sin A+sin3-A=1,整理得sinA+3=1,故A=6,所以C=6,故ABC为顶角为23的等腰三角形.故选D.二、多项选择题9.CD对于A,B,混淆了频率与概率的区别,故A,B错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率的定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选CD.10.AC显然A正确;两条在不同平面的直线平行不能说明这两个平面平行,故B错误;由两条分别在不同平面的异面直线分别平行于这两个平面,可得这两个平面平行,故C正确;垂直于同一平面

15、的两平面不一定平行,故D错误.故选AC.11.ACD根据平面向量共线的知识可知A选项正确;当a=0,b为非零向量时,a与b共线,但不存在实数,使得b=a,所以B选项错误;根据平面向量基本定理可知C、D选项正确.故选ACD.12.ABD甲的平均环数为16(8+6+8+6+9+8)=152,乙的平均环数为16(4+6+8+7+10+10)=152,两人的平均环数相等,A正确;甲的中位数是8,乙的中位数是152,甲的中位数比乙的中位数大,B正确;甲的众数是8,乙的众数是10,甲的众数比乙的众数小,C错误;甲的数据比乙的数据集中,更稳定,D正确.三、填空题13.答案65解析由题图得,成绩在20,60)

16、的频率是(0.005+0.010)20=0.3,成绩在20,80)的频率为0.3+0.02020=0.7,故第40百分位数一定位于60,80)内,则这次数学测试成绩的第40百分位数为60+0.4-0.30.420=65.14.答案78解析BACA=12BC-AD-12BC-AD=4AD2-BC24=36FD2-BC24=4,BFCF=12BC-13AD-12BC-13AD=19AD2-14BC2=4FD2-BC24=-1,所以FD2=58,BC2=132,所以BECE=12BC-ED-12BC-ED=4ED2-BC24=16FD2-BC24=78.方法总结研究向量的数量积时,一般有两个思路,一

17、是建立平面直角坐标系,利用坐标研究向量的数量积;二是利用一个基底表示所有向量.两种思路实质相同.对于涉及中线的向量问题,一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解.15.答案7解析设圆锥的底面半径为r,则高为3r,母线长为2r.圆锥的侧面积为,r2r=,即r2=12.设正方形的边长为a,则2a2=4r2,整理得a=2r,易知四棱锥P-ABCD为正四棱锥,其斜高为(3r)2+22r2=72r,正四棱锥的侧面积为4122r72r=27r2=7.16.答案12;14解析设事件A表示“甲选做第22题”,事件B表示“乙选做第22题”,则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“ABAB”,事件A,B相互独立

18、,P(ABAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=1212+1-121-12=12.甲、乙两名学生选做同一道题的概率为12.P(A)P(B)=1212=14,甲、乙两名学生都选做第22题的概率为14.四、解答题17.解析(1)由独立事件的概率乘法公式可得P(X=0)=1-233=127,P(X=1)=3231-232=29,P(X=2)=32321-23=49,P(X=3)=233=827.(4分)(2)设乙同学上学期间的三天中,7:30之前到校的天数为Y,则P(M)=P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=1)=P(X=2)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)=49127+82729=2

19、0243.(10分)18.解析(1)BP=PA,BO+OP=PO+OA,即2OP=OB+OA,(2分)OP=12OA+12OB,即x=12,y=12.(4分)(2)BP=3PA,BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,(6分)OP=34OA+14OB,(8分)OPAB=34OA+14OB(OB-OA)=14OB2-34OA2+12OAOB=1422-3442+124212=-9.(12分)19.解析(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB及bsin A=32a,得sin Bsin A=32sin A.(2分)因为ABC为锐角三角形,所以A0,2,所以sin A0,(3分)

20、所以sin B=32,(4分)又因为B0,2,所以B=3.(5分)(2)若选,在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=22+322-2232cos 3=134,所以AC=132(负值舍去),所以AD=DC=134.(7分)在ABD中,由余弦定理,得AB2=BD2+DA2-2BDDAcosADB,即4=BD2+1316-132BDcosADB.(9分)在DBC中,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosCDB,即94=BD2+1316-132BDcosCDB.因为ADB+CDB=,所以cosADB+cosCDB=0.所以4+94=2BD2+138,

21、所以BD=374(负值舍去).(12分)若选,在ABC中,SABC=SABD+SCBD,(7分)即12BABCsin 3=12BABDsin 6+12BDBCsin 6,(9分)即1223232=122BD12+12BD3212,解得BD=637.(12分)若选,在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=22+322-2232cos 3=134,所以AC=132(负值舍去),(8分)因为SABC=12BABCsinABC=334,又SABC=12BDAC=134BD,所以134BD=334,解得BD=33913.(12分)20.解析(1)证明:如图,连接BD,交

22、AC于O,取PD的中点F,连接OF、EF,O、F分别为BD、PD的中点,OFPB,且OF=12PB.又PBCE,且CE=12PB,OFCE,且OF=CE,(2分)四边形OCEF为平行四边形,OCEF,即ACEF,又AC平面PDE,EF平面PDE,AC平面PDE.(4分)(2)连接PC,BE.在ABD中,AB=1,AD=2,BAD=60,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcosBAD=4+1-2=3,(5分)AB2+BD2=AD2,ABBD.(6分)ABCD,CDBD.PB平面ABCD,PBBD,PD=PB2+BD2=7.PBCE,CE平面ABCD,CEBD,CECD,DE=CD2+

23、CE2=2.(8分)又CDCE=C,BD平面DCE,又易得PB平面DCE,P到平面DCE的距离为BD,PE=BC2+(PB-CE)2=5,PD2=DE2+PE2,PEDE,SPDE=12PEDE=102,SDCE=12CDCE=12.(10分)设点C到平面PDE的距离为h,则由VP-DCE=VC-PDE,VP-DCE=VB-DCE,得VB-DCE=VC-PDE,13BDSDCE=13hSPDE,即312=h102,h=3010,CD与平面PDE所成角的正弦值为hCD=3010.(12分)21.解析(1)5+a+30+20+10=100,a=35.(1分)0.05+0.35+b+0.20+0.10=1,b=0.30.(2分)频率分布直方图如下.(4分)(2)该组数据众数的估计值为7.50.(5分)易知中位数应在10,15)内,设中位数为x,则0.05+0.35+(x-10)0.06=0.5,解得x11.67,故中位数的估计值为11.67.(7分)(3)因为第4组和第5组的频数之比为21,所以从第4组抽取4人,第5组抽取2人.(8分)所以这6人得分的平均数a=4x+2y6=47+276=7,(10分)方差2=4s2+(x-a)2+2t2+(y-a)26=4(2+0)+2(1+0)61.67,即这6人得分的平均数