《数学分析》第十五章傅立叶级数课件

1、第十五章 傅立叶级数15.1 傅立叶级数15.2 正弦级数与余弦级数15.3 以 为周期的函数的展开式15.4 收敛定理的证明 第1页，共106页。15.1 傅立叶级数一、问题的提出二、三角级数 三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数第2页，共106页。一、问题的提出非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加第3页，共106页。第4页，共106页。第5页，共106页。第6页，共106页。第7页，共106页。第8页，共106页。二、三角级数 三角函数系的正交性1.三角级数谐波分析三角级数第9页，共106页。2.三角函数系的正交性三角函数系第10页，共106页。第11页，共106页。三、函数

2、展开成傅里叶级数问题:1.若能展开, 是什么?2.展开的条件是什么?1.傅里叶系数第12页，共106页。第13页，共106页。第14页，共106页。傅里叶系数第15页，共106页。傅里叶级数问题:第16页，共106页。2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)第17页，共106页。注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.解所给函数满足狄利克雷充分条件.第18页，共106页。和函数图象为第19页，共106页。所求函数的傅氏展开式为第20页，共106页。注意:对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.作法:第21页，共1

3、06页。解所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于 .第22页，共106页。第23页，共106页。所求函数的傅氏展开式为第24页，共106页。利用傅氏展开式求级数的和第25页，共106页。第26页，共106页。试证明：证例 3第27页，共106页。结论可证.第28页，共106页。播放1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；4.非周期函数的傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义整体逼近四、小结第29页，共106页。思考题第30页，共106页。思考题解答第31页，共106页。15.2 正弦级数与余弦级数第32页，共106页。一、奇函数和偶函数的傅里叶级数定理 一

4、般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.第33页，共106页。证明奇函数第34页，共106页。同理可证(2)定义偶函数定理证毕.第35页，共106页。解所给函数满足狄利克雷充分条件.第36页，共106页。和函数图象第37页，共106页。第38页，共106页。观察两函数图形第39页，共106页。解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.第40页，共106页。第41页，共106页。第42页，共106页。二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓则有如下两种情况第43页，共106页。奇延拓:第4

5、4页，共106页。偶延拓:第45页，共106页。解(1)求正弦级数.第46页，共106页。第47页，共106页。(2)求余弦级数.第48页，共106页。第49页，共106页。三、小结1、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;第50页，共106页。思考题第51页，共106页。思考题解答第52页，共106页。第53页，共106页。15.2 以2L为周期的傅氏级数第54页，共106页。一、以2L为周期的傅氏级数定理代入傅氏级数中第55页，共106页。则有第56页，共106页。则有

6、证明第57页，共106页。第58页，共106页。二、典型例题解第59页，共106页。第60页，共106页。解第61页，共106页。第62页，共106页。另解第63页，共106页。三、小结利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);2.求出傅氏系数;3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于以2l为周期的傅氏系数;第64页，共106页。15.3 收敛定理的证明极限的算术平均值, 即第65页，共106页。. 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 RL定理证明相应积分的极限为零.第66页，共106页。第67页，共106页。于是把问题归结为证明 第68页

7、，共106页。这两式的证明是相同的, 只证第一式.3 为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分 第69页，共106页。于是又把上述1中所指的第一式左端化为第70页，共106页。4 利用所谓Riemann Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立Riemann Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化为5 把上式化为应用R L定理的形式, 即令第71页，共106页。第72页，共106页。第73页，共106页。第74页，共106页。来确定.Dirichlet积分: 证 由三角公式 第75页，共106页。 (1)则若第76页，

8、共106页。对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数 自然应有这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.第77页，共106页。Parseval等式 ( 或称等式 ) 第78页，共106页。第79页，共106页。综上即得所证 .第80页，共106页。 Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数的Fourier级数 ) 的必要条件为:第81页，共106页。傅里叶 ( J.B.J.Fourier 176

9、8.3.21-1830.3.16) 他从1800年开始研究热传导1811年因解答科学院提出的问题而获奖，1822年出版了他的名著热的分析理论，把数学成功地应用于物理，引入了热传导方程，并得到在各种边界条件下的解答；他开创了分析的一个重要分支-傅里叶级数，这在数学、物理、工程技术上有广泛应用，对现代数学产生了重大影响。 法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。1798年参加拿破仑的远征军，回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后，失去职务，转向数学研究1827年当选为法国科学院院士。第82页，共106页。第十五章 习题课第83页，共106页。三角函数系傅里叶级数第84页，共106页。(2) 傅里叶级数定义三角级数第85页，共106页。其中称为傅里叶级数.第86页，共106页。(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)第87页，共106页。(4) 正弦级数与余弦级数第88页，共106页。第89页，共106页。奇延拓:(5) 周期的延拓第90页，共106页。偶延拓:第91页，共106页。第92页，共106页。例1解第93页，共106页。第94页，共106页。第95页，共106页。和函数的图形为第96页，共106页。