流体力学-0720量纲分析与相似原理

1、7. 量纲分析与相似原理7. 量纲分析与相似原理直接实验法理论分析法模型研究法物理规律量纲分析相似理论直接(原型)实验：落体实验(1590)；波义耳气压实验(1662)；平板拖曳实验(1784)；直接得出物理现象的规律性结果7. 量纲分析与相似原理理论分析：N-S方程(本构方程)y u uu u 2 u u22up tu xv yw z xy2z22xxo vv 2v2v vvp2v t g uvw y2 z22xyzyxz w w w w w w222wp tu xv yw z zy2z22xuvw连续性方程： x y z 0V fV x0 , y0 , z0 , t V V x, y, z

2、, t0 p f p x0 , y0 , z0 ,t p p x, y, z,t0 边界条件：初始条件：定解条件多功能综合水池非线性波浪水槽系统7. 量纲分析与相似原理从相似的概念入手，引入相似准数；从相似原理和量纲分析出发导出相似准数的结构；分析实际问题与实验模型相似的条件；相似模型的设计7.1 量纲与量纲性7.1.1基本概念任何物理量都包含大小和类别两部分，物理量(单位)的类别称为量纲，也称为因次。基本量纲(独立量纲)：不能由其他的基本量纲推导出来。导出量纲(非独立量纲)：由基本量纲组合而成。7.1 量纲与量纲性基本量纲：质量M，长度L，时间t，温度Tdim A MaLbtcTd物理量A的

3、量纲：量纲只表示该物理量由基本量纲的并不表示其物理含义。dim E dim M ML2t-2形式而7.1 量纲与量纲性SI名称符号量纲表达式m l tTM LtTkg m sKkg m sK质量长度时间温度基本量纲t-1rad辅助量纲平面角Fp EWMLt-2 ML-1t-2 ML-3 ML-1t-1 L2t-1 ML2t-2ML2t-3Nkgm/s2 kg/ms2 kg/m3 kg/ms m2/s kgm2/s2kgm2/s3力压强密度(动力)粘度运动粘度能量功率导出量纲kg/m3s m2/sJW7.1 量纲与量纲性7.1.2量纲性原理自然界的一切物理过程都可以用物理方程来表示。任何一个物理

4、方程中各项的量纲必须相的同，用量纲表示的物理方程必定是量纲性原则物理方程中各项的量纲相同，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可以把该方程转化为无量纲方程。7.1 量纲与量纲性以1kg流体为基准的2方程：gz u p constJ/kg2dim(gz) Lt-2 L=L2t-2 u2ML2 t-2 L2 t-22-2dim 2 =L tM2=L2 t-2ML-37.1 量纲与量纲性以1m3流体为基准的方程：u2J/m3 gz p const2dim( gz) ML-3 Lt-2 L=ML-1t-2ML2 t-2 ML-1t-2 u2=ML-3 Lt-1 2L3 ML-1t-2dim2dim

5、p ML-1t27.1 量纲与量纲性以1N流体为基准的方程：2z up gJ/N const2gdim(z) LML2 t-2 LMLt-2dim ML-1t-2pML-3 Lt-2 =L g 7.2 量纲分析与定理Fourier (1822)：换了，不仅某值的量变了，与该量有关的量的量值也跟着变了。Rayleigh (1877)：利用量纲分析法分析风吹绳弦所发出的声调。Reynolds (1883)：运用量纲分析的原则，认为水管中水流是层流还是湍流，不能只看流速大小，而应该以一个无量纲的数Re=du/为依据。Buckingham (1914). “On physically similar

6、systems:illustrations of the use of dimenPhys. Rev. 4: 345376al equations.7.2 量纲分析与定理瑞利法则7.2.1利用主定量的某种幂次乘积来表示被定量的方法。被定量：y主定量：x1、 x2、 x3、 xny k xana33n量纲a1、 a2、 a3、 an实验k性原理7.2 量纲分析与定理例1：已知矩形堰流，其流量Q主要与堰上水头H、堰宽b和重力加速度g相关。试用瑞利法导出矩形堰流流量的表达式。被定量：矩形堰流流量Q主定量：堰上水头H堰宽b重力加速度g7.2 量纲分析与定理解：按照瑞利法，流量表达式可以表示为：Q kb

7、a1 ga2H a3用基本量纲表示方程中各物理量的量纲：Lt-2 a2L3t1 La1La3由量纲对L：对t：性原则，等号两边量纲应相同3 a1 a2 a31 2a2由实验知道，流量与堰宽成正比：a1=17.2 量纲分析与定理a1 13 aaa123a 1 3321 2a2Q kbg H22aa 1 123Cq kg3Q kbg H2Cq称为堰流流量系数，由实验测定。7.2 量纲分析与定理定理7.2.2(1)若一个方程包含了n个物理量，每个物理量的量纲均由r个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并只可以组成n-r个独立的无量纲参数，称为数。无量纲参数：客观性、不受运动规模的影响，清楚反映问题实

8、质。Re d u du7.2 量纲分析与定理选择r个独立的物理量为基本量，将其(2)余n-r个物理量作为导出量，依次同基本量作组合量纲分析，可求得相互独立的n-r个数。x1 f n 1 2 , 3 , n r 7.2 量纲分析与定理例2：求有压粗糙管管流压强损失的表达式。解：(1) 列举出物理过程所有相关的物理量，组成未知的函数关系：f p, , ,l, d , , v 0n=7流体的物性，运动学和动力学特征，边界几何特征7.2 量纲分析与定理(2) 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量，一般选取几何学量l(d)、运动学量v、动力学量。基本量：d包含长度量纲dim(d)=Lv包含时间量纲dim

9、(v)=Lt-1包含质量量纲dim()=ML-3相互独立，r = 37.2 量纲分析与定理基本量独立条件：指数行列式0MLt00111-30-10dim(d ) L dim(v)=Lt-1dim( ) ML-300111301 1 007.2 量纲分析与定理(3) 将其余的物理量作为导出量，分别与基本量的幂次式组成表达式：总物理量n=7，基本量r =3，则数个数为：7-3=4。f p, , ,l, d , , v 01 v 1 2 1 d3 d1 p24 dabcabc2 v 23 v 3 34 dabcabcl4 v 47.2 量纲分析与定理(4) 用量纲幂次式决定各项基本量的指数，组成 数

10、。 d a1 vb1 c1 p1 Lt1 b1 ML3 c1 ML-1t -2 La1数无量纲：M0L0 t0 1 0M : a1 =c10 L: b 3c 1 0b1 2a11 2 01t: bc 1 11 v2 1p = pv2 17.2 量纲分析与定理2 dv2 abc22 La2 Lt1 b2 ML3 c2 ML-1t -1 M0L0 t0c2 1 0a2 = 1M :L:a b 3c 1 0b2 1222 t: b 1 0c 1 22dv d 1v1 1 =27.2 量纲分析与定理3 3 l3 dvabc3 Lt1 b3 ML3 c3 L La3M0L0 t0c3 0a3 = 1M

11、:L: ba b 3c 1 0 0 03333t: b 0 c33 d 1l= l3d7.2 量纲分析与定理 dv4 4abc44 Lt1 b4 ML3 c4 L La4M0L0 t0c4 0a4 = 1M :L: ba b 3c 1 0 0 04444t: b 0 c44 d 1 = 4d7.2 量纲分析与定理(5) 用数组成新的方程： p l123 4dvv dd2f 2 , 3 ,4 1 f dv ,d 制的影响pv2ld,绝对意义上描述物理过程，不受7.2 量纲分析与定理f dv ,dd l, pv2p ldRe1dv l2p f Re,v l v2d dd2Darcy-Weisbac

12、h公式质量流体因沿程 摩擦而损失的能量pv2l g d 2ghf f Re,d 沿程摩擦系数7.3相似1638年，论两门新的科学在比照相似的小船而建造大船时发现如只按几何尺寸简单放大则强度不够。1686年，三大定律完全是用两个物体作相似的运动来表述和论证的。FV 2l 2提出了数：Ne 1901 年,莱特兄弟首次进行了风洞试了200多个不同的机翼进验，他们行了上千次风洞实验 。7.3化工设备发展的趋势：相似1.大型化、规模化(大宗化工产品)；2.微型化(精细、化工产品)7.37.3.1 相似概念若存在两个点的集，其中一个能透过放大缩小、平移或旋转等方式变成另一个，就说它们相似。(几何学)相似7

13、.3相似概念的推广：相似t1 t2 tn k现象的时间相似两个tttt12nv1 v2 vn k现象的速度相似两个vvvv12nFn k中力的作用相似两个FFn k k现象的物性相似两个kt、 kV、 kF、 k、 k比例常数7.3相似在两个的相应点上，所有表征状态的相应物理量都各自保持固定的比例关系，则称这两个是相似的对应点(空间)、对应时刻(时间)、对应物理量几何相似、运动相似、动力相似7.3相似(1). 几何相似：两个流场的几何形状相似lm dm m kmlldkl 长度比例系数几何相似所有长度都保持同一比例关系，相应角度均相等。40m4m101m0.1m100.8m8m原型模型7.3相

14、似l 2l3VAk k 2k k3m Am l 2mV ml3AlVl几何相似只有一个长度比例系数。几何相似是力学相似的前提。40m4m101m0.1m100.8m8m原型模型7.3(2). 运动相似：相似观点两个中，相应空间点处在相应时刻具有相似的速度和加速度；日观点两个中，相应的流体质点在相应的时刻进行方向相同、大小成一定比例的位移。u1u2原型模型7.3相似 um vm wmV速度比例系数 kkmVVuvwV tm lmVmklk时间比例系数 ttlVkVk 2kka V kt V kl加速度比例系数 运动相似只引入一个速度比例系数运动相似是实验的目的7.3(3). 动力相似：作用于两个

15、流场中相应点处的各种作用力均互相平行且保持一定的比例关系。相似kF力的比例系数 Fg F ammVmkFkF密度比例系数 k F ak k 3k 2k 2alVlVk kk 2k 2lVF7.3相似F3maF3F2maF1F1F2原型模型F3 ma (ma)mF3m动力相似 对应点上力的多边形相似动力相似是运动相似的保证7.3相似内因，是两个相似的根本外因，是外部条件的相似是相似的结果只有在动力相似和几何相似的条件下才会得到运动相似，而运动相似恰恰反映了动力和几何相似的结果。运动相似几何相似动力相似7.4 动力相似准则7.4.1 相似条件两个相似的条件：相似三原则两个物理体系相似必须由同一方程

16、式表述，各个相同变量之间保持了一定的比例；表述物理体系的方程式可转换为包含若干个无因次的相似准数之间的关系式；如果两体系方程的单值条件及其所含各量组成的相似准数相等，则两体系互为相似。7.4 动力相似准则边界条件：边界的几何尺寸边界的条件起始条件：起始时刻的运动状态介质的、物性条件：u1u2原型模型7.4 动力相似准则7.4.2 相似准则BamcabcmEk mmmAlCabcbamcFa ac cDb l l*m m acbbbbmml*无量纲长度，称为三角形(几何)相似准数 u1m u2m UmkUVuuUm12u1 u1mu2 u2m U * U *12UUUUUmmU*无量纲速度，称为

17、运动相似准数7.4 动力相似准则mak3m m maF3F *mma3mammm以惯性力为特征力，把惯性力与其他作用力相比，得到的无量称为动力相似准数。F3maF3F2maF1F1F2FF7.4 动力相似准则7.4.3 相似准数的确定(1). 量纲分析法f pv2l ,d, dvd 无量纲粗糙度数雷诺数无量纲长度不易选准物理量；相似准数的物理意义不明确。7.4 动力相似准则(2). 方程分析法物理方程的量纲N-S方程x方向：性原理u u u u 1 u u u222p fx u xv yw z xty2z22x引入特征速度V，特征长度l，特征压强p0，特征质量力g，特征时间1/ uv w x

18、lyl z lu*v*w*x*y*z*VfxVpV tf*p*t*xgp07.4 动力相似准则u u u u 1 u u u222pfx u xv yw z xty2z22xu u*Vw w*Vx x*ly y*lz z*lv=v*Vt t*fp p* p* gfxx0u*u*u*u*2Vv*V uwt*x*y*z*lp* 2u* 2u*2* 1pVu f g*0l x*x x*2y*2z*2l7.4 动力相似准则u*u*u*u*2Vv*V uwt*x*y*z*lp* 2u* 2u*2* 1pVu f g*0l x*x x*2y*2z*2l两端同除V 2/l l u*u*u*u* (1) uw

19、*v V x*y*z*t p* 2u* p 2u* 2u* lg *x f0y*2z*2 V 22*2VxVlx7.4 动力相似准则不定常惯性力迁移惯性力 l u*u*u*u* (1) uvw* V x*y*z*t 2u* p p* 2u* 2u* lg *x f0y*2z*2 V 22*2VxVlx重力压力粘性力lV 2不定常惯性力惯性力Sr 2FrVlg迁移惯性力重力Re Vl 粘性力p0V 2压力Eu 惯性力惯性力物理意义明确7.4 动力相似准则(3). 物理分析法：粘性力、压力、重力、弹性力、表面张力 ma A dvx A dvx ma惯性力与粘性力之比dy madym ma 惯性力与

20、压力之比m ma ma惯性力与重力之比 mg mg mam ma 惯性力与弹性力之比 EA mEA ma ma惯性力与表面张力之比 l lm物理意义明确7.5 常用相似准则数7.5.1 粘性力相似准则雷诺准则 FTm FIm*TkFFFTIIIm V uuF mal3l 2u2惯性力Itl 2l / uF = A duullu粘性力Tdyu2l 2luulFul ReI FT粘性力相似准数7.5 动力相似准则Re表示惯性力与粘性力的量级比，是描述流体运动的最重要的无量纲参数。根据Re的大小可以判断粘性流体运动的性质。Re ul = mumlmk kV kl 1=Remkm原型与模型中为同一流体

21、，且温度相同：k=k=1 kl k 1 k 2k k 2k kkkkVltlQlVlVRe FI ul ul FT7.5 动力相似准则：Re=2300为层流、湍流的分界管内平板外流：Re=5105为层流、湍流的分界7.5 动力相似准则Re103Re102Re105Re108Re106Re1097.5 动力相似准则7.5.2重力相似准则准则 FGm FIm*GkFFFGIIIm V ut Vgl 2u2F ma惯性力重力I gl3F=mgGu2l 2 gl3u2FI FglGuFr 重力相似准数gl7.5 动力相似准则1/ 2 FuFr I FG glFr 表示惯性力与重力的量级比。两个流场重力

22、相似，它们的数必定相等；同理，两个流场的数相等，它们的重力相似。ukVFr 1glkgkl一般情况下原型实验和模型实验都是在地面上进行，重力加速度相同：kg=1 kl k1/ 2 k1 / 2k k 2k k 5 / 2kkkVltlQlVlV7.5 动力相似准则Fr 分析水面船舶的运动：Fr1船重与浮力平衡，排水航行1Fr3船重与水动升力平衡，全滑行状态7.5 动力相似准则准则压力相似准则7.5.3 Fpm FImk*pFFFpIIIml 2u2 V utpl 2F ma惯性力IF压力pFppl 2u2l 2pu2FIpu2Eu 压力相似准数7.5 动力相似准则Eu Fppu2FIEu 表示

23、压力与惯性力的量级比，它反映了流场压力降与其动压头之间的相对关系，体现了在过程中动量损失率的相对大小 。kppu2Eu 12k kV若原型实验和模型实验都是在同一介质中进行的，介质密度相同：k=1k k 2pV7.5 动力相似准则在实际问题中起决定性作用的往往不是绝对压强而是相对压强或压强差：pu2Eu p pCp12u2压强系数7.5 动力相似准则准则弹性力相似准则7.5.4 FEm FIm*EkFFFEIIIm V utEl 2l 2u2F ma惯性力IF =EA弹性力pu2l 2u2F CaI 弹性力相似准数El 2FEE7.5 动力相似准则u2FCa I FEECa 表示惯性力与弹性力

24、的量级比，它主要用在研究流体压缩性起主要作用的(water hammer)。过程，如中的水击u22k kVCa 1EkE7.5 动力相似准则E dp c2对于气体：d u 2u2u2c2Ca Ma2E c Ma uc数Ma也表征了惯性力和弹性力的量级比。它反映弹性力对流体的作用，即反映流体的可压缩性。与可压缩性有关的现象由Ma数决定。7.5 动力相似准则Ma0.3 不可压缩0.3Ma1 亚音速 音速 超音速可压缩F-18大黄蜂超音速飞行7.5 动力相似准则其他准数7.5.5数表面张力相似准数 V utl 2u2F ma惯性力IF = l表面张力u2l 2 llu2F WeI FWe表征了惯性力

25、和表面张力的量级比，主要用于分析表面张力起重要作用的两相动、气泡和液滴的运动等。，如液膜流7.5 动力相似准则准数脉动角频率相似准数Sr l 不定常惯性力u迁移惯性力在研究不定常或时Sr为重要的相脉动似准数，如圆柱绕流后部的卡门涡街从圆柱上交替的频率可用Sr数描述。7.5 动力相似准则Fu2l 2Ne 准数：FDF=F阻力系数CDD1 u2l 22FLCF=F升力系数LL1 u2l22M描述力矩作用：C力矩系数M1 u2l32Wu3l 2W D5n3C描述功率：动力系数W7.5 动力相似准则准数浮力相似准数Ar gl l 有效重力（浮力与重力之差）u2惯性力准数Pr Cp 粘性扩散速率k热扩散

26、速传热学努准数Nu hl 对流传热系数k导热传热系数7.6 相似准则的选择1 f 2 , 3 , , n 原型： f 2m , 3m , , nm 2 , 3m 3 , , nm1m2m模型： n当模型设计成：相似条件1m 1相似结果主数：由支配似准数。现象的主要物理法则导出的相7.6 相似准则的选择压降：管内pv2f dv , v mpml ,dlm fmmm,d v 2dddmmmmmdv dmvm mRe dv主数：mdvvmdmmm原型模型7.6 相似准则的选择理论上：保证模型与原型中所有主数相等，则模型与原型达到完全相似。实际上：难以实现同时满足两个以上的准数相等！同时满足Re数和F

27、r数相等：同种介质Re duklkV k1k 1Vkklk 1lkVu 1Fr kkk k1/ 2Vlglgl原型与模型等大，失去模型实验的价值7.6 相似准则的选择同时满足Re数和Fr数相等：不同种介质Re duklkV k kk k 1kVkkk3lllk k2ukFr 1Vkkk k1/ 2Vlglglm=3.210-8m2/skl=1/6原型流体为空气=1.4710-5m2/s模型流体为水m=1.010-6m2/s若原型流体为水=1.00410-6m2/s，kl=0.1比例系数名称雷诺准则准则k=1k1长度比例系数kl速度比例系数kV加速度比例系数ka流量比例系数kQ时间比例系数kt

28、力比例系数kF压强比例系数kp功(能)比例系数kW功率比例系数kNkl kl-1 kl-3 kl kl2 kkl-2 kkl k kl-1 kklkl-1k kl-3 k kl kkl2kklkl1/22kl0kl5/2-1kl1/2k k2klkkl k3kl-2k2kkl k k2klk4kl-1k3kkl7/2k自模区例题例1：某车间长30m，宽15m，高10m，通过直径为0.6m的通风口送风，要求通风口风速为8m/s。如果取kl=0.2，确定模型尺寸及模型实验的通风口风速。解：几何相似模型尺寸 Lm Wm Hm dm 0.2klLWHdLm 6m， Wm 3m， Hm 2m,dm 0.

29、12m例题动力相似 模型风速Re du 相似准数：介质为空气，查取标准状态下 25物性：原型=1.8510-5s，=1.184kg/m3Re du 0.6 8 1.1841.85 105 3.07 105例题(1). 令Rem=Re，模型m=，m=介质仍为25标态空气，Re dmum 3.07 105mRe3.07 105 1.85 105um 40m/s 144km/hmdm 0.12 1.18412级飓风：30m/s例题(2). 选取粗糙度大的管子，提前进入自模区。选/d 0.07，Re50000时便可进入自模区。Re dmum 5 104mRe5 104 1.85 105um 6.5m/smdm 0.12 1.184 um 6.5 0.82kVu8例题例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20、压强为1atm的空气中飞行，用kl=0.05的模型在风洞中