第3.4节 向量组的极大线性无关组(修改)

1、第3.4节 向量组的极大 线性无关组线性代数1主要内容:一等价向量组二向量组的极大线性无关组三 向量组的秩与矩阵秩的关系2一、等价向量组定义1：如果向量组 中的每一个向量 都可以由向量组线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即3（1）自反性：一个向量组与其自身等价；（2）对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价；（3）传递性： 与 等价, 与 等价，则 与 等价。向量组的等价关系具有以下三个性质：4定理1： 设与 是两个向量组，如果(2)则向量组 必线性相关。推论1： 如果向量组 可以由向量组线性表示，并且线性无

2、关，那么(1) 向量组线性表示；可以由向量组 推论2 推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。任意m(mn)个n维向量必线性相关.5二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：线性无关。（1）那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（2）A中的任一向量都能由 线性 表示。6例1：在向量组 中， 首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。7基本性质：一个向量组的任

3、意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理2：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。性质1：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。性质2：8例1：在向量组 中， 首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。（1）（2）9三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作例如： 向量组 的秩为2。1. 向量组的秩10注：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则11 定理3 等价的向量组有相同的秩。该逆命题不成立。但不等价。122. 矩阵的秩2

4、.1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4： 矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩。13例2：讨论矩阵矩阵A的行向量组是的行秩和列秩（1）矩阵A的行秩为314是A的行向量组的一个极大无关组因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。（1）矩阵A的行秩为3可证 15矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是

5、3。（2）矩阵A的列秩是316问题：矩阵的行秩 矩阵的列秩引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 17定理4：矩阵的行秩矩阵的列秩证：任何矩阵A都可经过初等变换变为形式，而它的行秩为r，列秩也为r。又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以，A的行秩rA的列秩定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。18推论1： 矩阵A的初等行变换不改变矩阵A的列向量组的线性相关性和线性组合。推论2： 19n阶方阵A，即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）

6、A的n个行（列）向量线性无关A的n个行（列）向量线性相关推论3： 201.求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例3:求A的秩。2.2 矩阵的秩、向量组的秩、极大线性无关组的求法.21由阶梯形矩阵有三个非零行可知222.求向量组的秩、极大线性无关组的步骤.（1）向量组作列向量构成矩阵A。（2）初等行变换（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。（根据见引理2）23例4：向量组求向量组的秩和一个极大无关组。解：24又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，是的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？与25例5：求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设则B的1，2列为极大无