三重积分柱球坐标课件

1、第1页，共42页。2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共42页。0 xz yM(r, z)zrNxyz(x, y, z) (r, , z)柱面坐标z = z.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共42页。 z动点M(r, , z)柱面Sr =常数：平面z =常数：MrSz柱面坐标的坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共42页。动点M(r, , z)半平面P柱面S =常数:r =常数：平面z =常数：zx0yzMrSP柱面坐标的坐标面.机动 目录 上页 下页 返

2、回 结束 第5页，共42页。xz y0 drrrddz平面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；柱面坐标下的体积元素机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共42页。柱面坐标下的体积元素xz y0drrrddz底面积 ：r drd半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；dz平面z+dz.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共42页。xz y0drrrddz底面积 ：r drd半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；dzdV =.柱面坐标下的体积元素.dV机动

3、 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共42页。柱坐标计算适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 仍然是“先一后二”化为三次积分。二重积分用极坐标时方程和计算简单， 3) 柱坐标: 当积分域为标准的圆柱面时用柱面坐标化为累次积分的积分限都是常数。第9页，共42页。1.Dxy:z = 0用哪种坐标？.柱面坐标0 xz yDxy例1.计算I =1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共42页。柱坐标下三重积分举例例21xzy02-22第11页，共42页。0 xz y1Dxy.Dxy:z = 1锥

4、面化为: r = z1.用哪种坐标？柱面坐标例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共42页。其中为由例4. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，共42页。例5. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共42页。3. 利用球坐标计算三重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.第15页，共42页。0 xz yM (r, , )rNyxz. .球面

5、坐标3. 利用球坐标计算三重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共42页。 SrMyz x0r =常数: =常数:球面S动点M(r,)球面坐标的坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，共42页。球面坐标的坐标面Cr =常数: =常数:S球面S半平面P动点M(r,)Myz x0P =常数:锥面C.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，共42页。 rdrdrsinxz y0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：drsind球面坐标下的体积元素半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、第19页，共42页。rdrdxz y0 drd元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素.半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dr 2sin drddsin drddr 2rcos )dVdV =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共42页。rR 对r: 从0R积分,得半径任取球体内一点例1. 0 xz y机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，共42页。0 xz yMrR对: 从0 积分，.例1. 对r: 从0R积分,得半径任取球体内一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共42页。R对 : 从0 积分，扫遍球体.例1. 得锥面0

7、xz y对r: 从0R积分,得半径任取球体内一点对: 从0 积分，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，共42页。0 xz yR. 0I=V当 f =1,.例1. 对r: 从0R积分,得半径任取球体内一点得锥面对: 从0 积分，对 : 从0 积分，扫遍球体机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，共42页。球系下确定积分限练习1 为全球体2 为空心球体3 为上半球体4 为右半球体为球体的 第一、二卦限部分.例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，共42页。z 0 xya化为球系下的方程r=2a cos.M.r例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，共42

8、页。例4. 计算三重积分解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共42页。例52yxz6D第28页，共42页。例52yxz6D第29页，共42页。例6.求曲面所围立体体积.解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，共42页。利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页，共42

9、页。解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页，共42页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页，共42页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页，共42页。内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* 说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页，共42页。1. 将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页，共42页。2. 设计算提示: 利用对称性原式 = 奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页，共42页。3. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示:利用对称性用球坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页，共42页。作业P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第39页，共42页。备用题 1. 计算所围成. 其中 由分析：若用“先二后一”, 则有计算较繁