现代控制理论知识点总结

1、现代控制理论知识点总结 作者： 日期：第一章 控制系统的状态空间表达式1 状态空间表达式n阶x=Ax+Buy=Cx+Dux=Ax+Buy=Cx+Duu:r1u:r1y:m1y:m1A:nnA:nnB:nrB:nrC:mnC:mnD:mrD:mrA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。2 状态空间描述的特点考虑了“输入状态输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。状态方程和输出方程都是运动方程。状态变量个数等于

2、系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。状态变量的选择不唯一。从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。3 模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起

3、来。4 状态空间表达式的建立1 由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作xixi，输入则为xixi；c由模拟图写出状态方程和输出方程。2 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b模拟结构图的等效。如前馈点

4、等效移到综合反馈点之前。p28c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量pipi的求解：也就是求(iIA)x=0(iIA)x=0的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型（为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设阶系统，1122，33为单根，对特征矢量p1p1，p3p3求法与前面相同，p2p2称作11的广义特征矢量，应满足(1IA)p2=p1(1IA)p2=p1。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模

5、拟结构图状态空间表达式。6由状态空间表达式求传递函数阵W(s)W(s)W(s)=C(sIA)1+B+DW(s)=C(sIA)1+B+Dmrmr的矩阵函数WijWijWijWij表示第j个输入对第i个输出的传递关系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W(s)W(s)是不变的。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵W(s)W(s)。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章控制系统状态空间表达式的解一线性定常系统齐次状态方程（x=Axx=Ax）的解：x(t)=eAtx0 x(t)=eAtx0二矩阵指数函数状态转移矩阵1(t)=eAt(t)=eAt表示x(0

6、)x(0)到x(t)x(t)的转移。5个基本性质。2eAteAt的计算：a定义；b变换为约旦标准型(J)=T1AT(或J)=T1AT,eAt=TetT1TeJtT1eAt=TetT1或TeJtT1c用拉氏反变换eAt=L1(sIA)1eAt=L1(sIA)1记忆常用的拉氏变换对(t)1;1(t)1s;t1s2;eat1s+a;tnn!sn+1;teat1(s+a)2;sints2+2;costss2+2(t)1;1(t)s1;ts21;eats+a1;tnsn+1n!;teat(s+a)21;sints2+2;costs2+2sd应用凯莱-哈密顿定理三线性定常系统非齐次方程（x=Ax+Bux=

7、Ax+Bu）的解：x(t)=(t)x(0)+0t(t)Bu()dx(t)=(t)x(0)+0t(t)Bu()d。可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求(t)=eAt(t)=eAt，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。第三章线性控制系统的能控性和能观性一能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）二线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换x=Ax+Bux=Ax+Buz=T1ATz+T1Buz=T1ATz+T1Bu若A的特征值互异，线性变换（x=Tzx=Tz）为对角线标准型，=T1AT=T1AT，能控

8、性充要条件：T1BT1B没有全为的行。变换矩阵T的求法。若A的特征值有相同的，线性变换（x=Tzx=Tz）为约当标准型，J=T1ATJ=T1AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的T1BT1B中最后一行元素没有全为的。T1BT1B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求TT、T1T1、T1BT1B。判别方法（二）：直接从，判别x=Ax+Bux=Ax+Bu能控的充要条件是能控性判别矩阵M=(B,AB,A2B,An1B)M=(B,AB,A2B,An1B)的秩为n。在单输入系统中，MM是一个nn

9、nn的方阵；而多输入系统，MM是一个nnrnnr的矩阵，可通过rankM=rank(MMT)rankM=rank(MMT)三线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换x=Axy=Cxx=Axy=Cxz=T1ATzy=TCzz=T1ATzy=TCz若A的特征值互异，线性变换（x=Tzx=Tz）为对角线标准型，=T1AT=T1AT，能观性充要条件：TCTC中没有全为的列。变换矩阵T的求法。若A的特征值有相同的，线性变换（x=Tzx=Tz）为约当标准型，J=T1ATJ=T1AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TCTC中第一列元素没有全为的。对应于互异特征根部分，对

10、应的TCTC中各列元素没有全为的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求TT、T1T1、TCTC。判别方法（二）：直接从，C判别能观性的充要条件是能观性判别矩阵N=(CCACAn1)N=CCACAn1的秩为n。在单输入系统中，NN是一个nnnn的方阵；而多输入系统，NN是一个nmnnmn的矩阵，可通过rankM=rank(MMT)rankM=rank(MMT)六能控性与能观性的对偶原理若A2=A1TA2=A1T，B2=C1TB2=C1T，C2=B1TC2=B1T，则1(A1,B1,C1)1(A1,B1,C1)与2(A2,B2,C2)2(A2,B2,C2

11、)对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。11与22对偶，则11能控性等价于22能观性，11能观性等价于22能控性。时变系统的对偶原理？七能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。1 能控标准型（如果已知系统的状态空间表达式）判别系统的能控性。计算特征多项式IA=n+an1n1+a1+a0IA=n+an1n1+a1+a0，即可写出AA。求变换矩阵Tc1=p1p1Ap1An1Tc1=p1p1Ap1An1，p1=0,0,1b,Ab,An1B1p1=0,0,1b,Ab,An1B1。求Tc11Tc11，计算b

12、=Tc11b=001b=Tc11b=001，c=cTc1c=cTc1，也可以验证是否有A=Tc11ATc1A=Tc11ATc1。2 能控标准型1 判别系统的能控性。计算特征多项式IA=n+an1n1+a1+a0IA=n+an1n1+a1+a0，即可写出AA。求变换矩阵Tc2=b,Ab,An1bTc2=b,Ab,An1b。求Tc21Tc21，计算b=Tc21b=100b=Tc21b=100，c=cTc1c=cTc1，也可以验证是否有A=Tc11ATc1A=Tc11ATc1。3 能观标准型判别系统的能观性。计算特征多项式IA=n+an1n1+a1+a0IA=n+an1n1+a1+a0，即可写出AA

13、。求变换矩阵To11=ccAcAn1To11=ccAcAn1。求To1To1，计算b=To11bb=To11b，c=cTo1=100c=cTo1=100，也可以验证是否有A=To11ATo1A=To11ATo1。4 能观标准型判别系统的能观性。计算特征多项式IA=n+an1n1+a1+a0IA=n+an1n1+a1+a0，即可写出AA。求变换矩阵To2=T1,AT1,An1T1To2=T1,AT1,An1T1，T1=ccAcAn11001T1=ccAcAn11001。求T02T02，计算b=T021bb=T021b，c=cT02=001c=cT02=001，也可以验证是否有A=To21ATo2

14、A=To21ATo2。5 如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准型和能观标准型的状态空间表达。W(s)=n1sn1+n2sn2+1s+0sn1+an1sn1+an2sn2+a1s+a0W(s)=sn1+an1sn1+an2sn2+a1s+a0n1sn1+n2sn2+1s+0能控标准型：A=010000100001a0a1a2an1A=000a0100a1010a2001an1b=0001b=0001c=01n1c=01n1能观标准型：A=000a0100a1010a2001an1A=010000100001a0a1a2an1b=01n2n1b=01n2n1c=001c=001八线性系统的结构分

15、解1按能控性分解（状态不完全能控，即rankM=n1nrankM=n1n），通过非奇异变换x=Rcxx=Rcx完成。Rc=(R1R2Rn1Rn)Rc=(R1R2Rn1Rn)，前n1n1个列矢量是M中n1n1个线性无关的列，其他列矢量保证RcRc非奇异的条件下是任意的。2按能观性分解（状态不完全能观，即rankN=n1nrankN=n10V(x)0，则称之为正定；如果V(x)0V(x)0V(x)0或V(x)0V(x)0i0，则PP（V(x)V(x)）正定；若i=i=偶数的i0i0，i=i=奇数的i0i0V(x)0，且满足V(x)0V(x)0V(x)0，且满足V(x)0V(x)0，但除x0 x0外

16、，即x0 x=0，V(x)V(x)不恒等于，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当xx时，V(x)V(x)，则系统是大范围渐近稳定的。设x=f(x)x=f(x)，平衡状态为xe=0 xe=0，如果存在标量函数V(x)V(x)是正定的，即x=0 x=0时，有V(x)=0V(x)=0，x0 x=0时，有V(x)0V(x)0，且满足V(x)0V(x)0，但任意的x0 x=0，V(x)V(x)恒等于，则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。设x=f(x)x=f(x)，平衡状态为xe=0 xe=0，如果存在标量函数V(x)V(x)是正定的，即x=0 x=0时，有V(x)=0V(x)=0，x0 x=0时，

17、有V(x)0V(x)0，且满足V(x)0V(x)0，则称原点平衡状态是不稳定的。需要注意：这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。如果V(x)V(x)是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。V(x)V(x)最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。构造V(x)V(x)需要较多技巧。四李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性定常连续系统渐近稳定判据定理：x=Axx=Ax，若A是非奇异的，原点xe=0 xe=0是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵QQ，李雅普诺夫方程ATp+PA=Q

18、ATp+PA=Q，存在唯一的对称正定解PP。该定理等价于的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。步骤：选定正定矩阵QQ，通常为Q=IQ=I，代入李雅普诺夫方程，确定出PP，判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。第五章线性定常系统的综合综合：常规综合，使系统性能满足某种笼统指标要求；最优综合，使系统性能指标在某种意义下达到最优。一线性反馈控制系统的基本结构及其特性1状态反馈将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K称为状态反馈增益阵，rnrn。设原受控系统0=(A,B,C)0=(A,B,C)，=0。状态反馈闭环系统的状态空间表达

19、式x=(A+BK)x+Bvy=Cxx=(A+BK)x+Bvy=Cx 简称K=(A+BK,B,C)K=(A+BK,B,C)与原受控系统0=(A,B,C)0=(A,B,C)比较，状态反馈增益阵的引入，并不增加系统的维数，但可以通过的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。2输出反馈 由输出端y引入输出反馈增益阵H（rmrm），然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。状态空间表达式为x=(A+BHC)x+Bvy=Cxx=(A+BHC)x+Bvy=Cx 简称H=(A+BHC,B,C)H=(A+BHC,B,C)通过的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由

20、度远比小（通常mnmn）。从输出到状态变量导数xx的反馈 从输出y引入反馈增益阵G（nmnm）到状态变量的导数xx，所得状态空间表达式为x=(A+GC)x+Buy=Cxx=(A+GC)x+Buy=Cx 简称H=(A+GC,B,C)H=(A+GC,B,C)通过的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。 闭环系统的能控性与能观性a状态反馈不改变受控系统0=(A,B,C)0=(A,B,C)的能控性，但不保证系统的能观性不变。b输出反馈不改变受控系统0=(A,B,C)0=(A,B,C)的

21、能控性和能观性。二极点配置问题 就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。 只讨论单输入单输出系统采用状态反馈 对系统0=(A,b,c)0=(A,b,c)任意配置极点的充要条件是00完全能控。给定0=(A,b,c)0=(A,b,c)，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法：能控规范型法，适合于n3n3。首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。通过线性变换x=Tc1xx=Tc1x化为能控标准型，得到=(A,b,c)=(A,b,c)。加入状态反馈增益矩阵K=k0,k1,kn1K=k0,k1,kn1,得到闭环系统K=(A+bK,b,c)K=

22、(A+bK,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f()=I(A+bK)f()=I(A+bK)。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f()=(i)f()=(i)。将f()f()与f()f()比较，即可得到K=k0,k1,kn1K=k0,k1,kn1。把对应与的KK，通过K=KTc11K=KTc11=k0,k1,kn1=k0,k1,kn1。进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n3n3，可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反馈增益矩阵K=k0,k1,kn1K=k0,k1,kn1，不通过非奇异变换，使设计工作简单。首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。加入状态反馈增益矩阵K=

23、k0,k1,kn1K=k0,k1,kn1,得到闭环系统K=(A+bK,b,c)K=(A+bK,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f()=I(A+bK)f()=I(A+bK)。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f()=(i)f()=(i)。将f()f()与f()f()比较，即可得到K=k0,k1,kn1K=k0,k1,kn1。进一步画出模拟结构图。注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然后做其他工作。2采用输出反馈不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点。采用从输出到xx的反馈对系统0=(A,b,c)0=(A,b,c)任意配置极点的充

24、要条件是00完全能观。设计00从输出到xx的反馈阵的问题就是其对偶系统00设计状态反馈阵的问题。方法：（）能观标准型法，适合于n3n3。首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈。通过线性变换x=To2xx=To2x化为能观标准型，得到=(A,b,c)=(A,b,c)。加入输出反馈增益矩阵G=g0,g1,gn1TG=g0,g1,gn1T,得到闭环系统G=(A+Gc,b,c)G=(A+Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f()=I(A+Gc)f()=I(A+Gc)。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f()=(i)f()=(i)。将f()f()与f()f()比较，即可得到G

25、=g0,g1,gn1TG=g0,g1,gn1T。把对应与的GG，通过G=TO2GG=TO2G=g0,g1,gn1=g0,g1,gn1。进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n3n3，可直接由反映物理系统的A,c矩阵求状态反馈增益矩阵G=g0,g1,gn1G=g0,g1,gn1，不通过非奇异变换，使设计工作简单。首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈。加入从输出到xx的反馈增益矩阵G=g0,g1,gn1G=g0,g1,gn1,得到闭环系统G=(A+Gc,b,c)G=(A+Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f()=I(A+Gc)f()=I(A+Gc)。由给定的期望极点，求出期望

26、的闭环特征多项式f()=(i)f()=(i)。将f()f()与f()f()比较，即可得到G=g0,g1,gn1G=g0,g1,gn1。进一步画出模拟结构图。五状态观测器作用：闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但状态变量并不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。定义：动态系统以00的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量xx逼近于xx，即txx=0tlimxx=0，则称为00的一个状态观测器。构造原则：00必须是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；的输出xx

27、应以足够快的速度渐近于xx；在结构上尽可能简单（具有尽可能低的维数），以便于物理实现。等价性指标动态系统xx=Ax+Buy=cxxx=Ax+Buy=cx 原系统00 x=Ax+Buy=cxx=Ax+Buy=cxxxx=A(xx)xxx=A(xx)得到xx=eAt(x0 x0)xx=eAt(x0 x0)只要系统是稳定的，即的特征值具有负实部，就可做到xx与xx是稳态等价的。重构状态方程原因：系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有xx逼近于xx；不一定能保证的特征值均具有负实部。克服这个困难，用对输出量的差值yyyy的测量代替对状态误差xxxx的测量，当txx=0tlimxx=0，有tyy

28、=tcxcx=tc(xx)=0tlimyy=tlimcxcx=tlimc(xx)=0。 同时，引入反馈阵，使系统的特征值具有负实部。状态重构方框图为p213 5.16(a) 要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。状态观测器方程为xx=Ax+Bu+G(yy)=(AGC)x+Gy+Buy=Cxxx=Ax+Bu+G(yy)=(AGC)x+Gy+Buy=Cx记为=(AGC,B,G)=(AGC,B,G)这里的G称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果AGCAGC的特征值具有负实部，那么状态误差xxxx将逐渐衰减到，即估计状态xx逼近于实际的状态xx。逼近的速度取决于G的选择，即AGCAGC的特征值的配置。观测器的存在性对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。观测器存在的充要条件是00不能观子系统是渐近稳定的。六利用状态观测器实现状态反馈的系统（带观测器的状态反馈闭环系统）1系统的结构与状态空间表达结构框图要非常熟悉 p221 图5.21前提：受控