移动灌溉系统的优化模型

1、移动灌溉系统的优化模型摘要农业灌溉在我国农业生产增收中占据着非常重要的地位，喷灌是一种具有节水、增产、 节地、省工等优点的先进节水高效灌溉技术。随着我国农业水资源的日益紧缺，喷灌作为 一种现代化的节水高效灌溉技术，正被越来越广泛的运用于农业生产中。而农场中的“手 动”系统，由于操作过程中耗费了大量人力与时间，从而给实际生产带来许多不便，因此 需要设计一种管道系统的移动方案，以保证灌溉时间和移动次数尽可能少。针对此问题，本文运用了运动学原理和几何知识，在比较了各种可能存在的管道系统 的优劣后，最终建立了两套管道系统模型。管道系统I采用2支管4喷头网状系统，各喷 头呈正三角形布置；管道系统II采用

2、单支管3个喷头系统。使用这两套管道系统进行灌溉， 共需移动16次，只需要66.4470+16C分钟（C为常数，是移动一次管道系统所需要的时间） 就可以灌溉完一片面积80 30米的田地。本文在计算灌溉时间上通过分别计算各喷嘴重复覆盖部分的灌溉强度不超过7.5毫 米每小时所需要的时间以及不重复覆盖部分一天总的灌水量不少于5毫米所需要的时间， 然后取这两个时间所在时间段中最小的一个时间来作为一次灌溉的时间，较为合理。在模 型检验中对各种可能存在的管道系统进行了比较，得出了 2支管4喷头网状系统在节省时 间上是最优的模型，从而说明本文模型的建立是比较合理的。关键词：网状系统比较检验法有效覆盖面积一、问

3、题的重述从先进的灌溉系统到周期性灌溉系统，目前有各种各样用于灌溉的技术。其中一项用 于小型农场灌溉的系统是“手动”系统。此种系统可以在田地里铺设带喷嘴的轻铝制管道， 可定期手动的调节管道的位置以确保整片田地都得到充分的灌溉。管道系统包括可直线连 接的一定数量的管道。所有管道最终连接成长20米的管道系统。已知每个管道内直径10 厘米，带有内直径为0.6厘米的旋转喷嘴。系统源头的水压为420千帕，流量为150升/分 钟。由于考虑到防止地表径流和农作物对水量的需求，所以田地的任何区域每小时的灌溉 量都不得超过0.75厘米，且所有区域每四天灌溉量总和要不少于2厘米。为了确保用最少 的时间灌溉一片面积为

4、80 30米的田地，需要解决以下问题：1、建立一种模型，确定喷头的数量，各喷头的间距以及管道系统的构造形状。2、确定移动的方案，求出最小的时间。二、问题的分析题目要求使用管道系统在最少的时间内灌溉一片面积80X30米的田地，也就是要我们 安装一套移动管道系统，在满足题设所给的总长20米，田地的任何区域每小时的灌溉量都 不得超过0.75厘米和所有区域每四天的灌溉量不得少于2厘米的条件下，使各喷头每次同 时喷洒的有效覆盖面积最大且一次灌溉时间最少，这就要求确定好喷头的射程、个数、布 局和支管的间距。因为系统源头的水压一定，各喷头的射程相同。在确定喷头射程时，先运用冲量定理 求出水喷出时的速度，再运

5、用运动学原理求射程。由于仰角不同，射程不同，需要比较在 不同仰角下的射程，选出比较合理的数据。一般管道布局有单支管多喷头和多支管多喷头管道系统。我们需要比较各种管道系统 （包括喷头可能存在的个数）灌溉一次的有效覆盖面积和灌溉时间，最终选出覆盖面积大 且灌溉一次所用时间最少的模型即为最优的模型。在计算灌溉时间时，只要使重复覆盖部分的灌溉强度不超过7.5毫米每小时，便可以 保证所有区域每小时的灌溉量不超过7.5毫米，另外，只要使不重复部分每天的灌水量不 少于5毫米，就可以使任何区域每四天的灌溉量不少于2毫米。然后针对这两个时间段取 一个较小的时间作为一次灌溉的时间，最后计算出灌溉完此地需要移动管道

6、系统的次数， 便可以计算出总的时间。三、模型的假设1、假设管道系统铺设于地面上农作物的缝隙之间，喷头距离地面有0.3米;2、假设各喷头的流量相同，都为| （咬）（n为喷头的个数）；3、假设使用全圆旋转喷嘴，且旋转速度均匀，各喷头喷洒的水量是均匀的；4、假设在无风条件下进行灌溉；5、假设水的利用系数为1。四、符号的说明Q系统源头的流量；P系统源头的水压；P0大气压强；D管道内径；d旋转喷嘴内径；b设计灌溉强度；A各喷头同时喷洒时的有效湿润面积；R各喷头的喷洒的最大半径，即射程；S两个喷头同时喷洒时的重复覆盖面积。五、模型的建立由问题的分析可知，要想确定喷头的个数与支管之间的间距，先要求出喷头的射

7、程。（一）喷头最优射程的求解1、求水喷出时的速度喷嘴的直径d = 6X10-3m，故横截面积S =兀（d/2）2。设喷出水的质量为m，体积为V，由标准情况下水的密度为P=1.0X103kg/m3，得： TOC o 1-5 h z m = p V（ 1）设水喷出瞬间速度为v，时间为t，水喷出前水管内速度相对很小，可设匕=0。水喷出瞬 间运动位移为讨，故有：V = Svt（2）管道系统内每处的水压与系统源头的水压相等，水压P =420千帕；大气压强P =101 0千帕（标准情况下）。由冲量定理，可得：（P P）St = mv mv（3）由(1), (2), (3)可得到：v =(P-P0)/p代入

8、数据，可得：v = 17.8606 m / s(4)2 .求最大的射程由于种植业的不同，铝管的架设高度不同。这里我们取铝管的架设高度h = 0.3m。水从 喷嘴喷出，做类似抛物运动(空气阻力不计)。设喷嘴的仰角为a,则速度可分解到水平方向上和竖直方向上两个独立的运动，分解到水平方向上速度为v = v cos a，竖直方向上速度为v = v sin a。图1设喷头最大射程为R。a的值不同，求得的R值也不同。运用牛顿运动学定理，结合 图形，分析运动过程：(图1)设水射到最高点时，离喷嘴的竖直高度为h，所用时间为，从最高点落地面经过的 时间为t2。在水平方向上，满足方程:， Z.mv 2 = mgh

9、1h = gt 22 11 h + h = 2 gt 2在竖直方向上，满足方程:R = v (t +1 )(6)选择最优射程确定a值，由(4)，(5)，(6)可求出r值。由于选取的a值不同，求得的R值就不同。 因此我们需要找出a值和射程R的关系。我们选取多组a值，求出对应的R值，比较得出： 在a值小于45。范围内，a值越大，R值越大；在a值大于45范围内，a值增大，R值变小。下面是一部分数据：（见表1）表1a值与射程R的关系a值0715304560射程R（m）4. 4196. 7329. 78514. 14716. 31115. 323我们要考虑两个方面：移动的次数和一次灌溉时间。射程大，一次

10、灌溉面积大，移动的次 数少；但灌溉强度小，一次灌溉时间长，总的时间可能会增大。射程小，一次灌溉面积小， 移动的次数多；但灌溉强度大，一次灌溉时间短，总的时间可能会小一些。在后面的结果检验中，我们比较了多级数据，确定最优的射程是R = 4.419m。（二）喷头间距、个数以及支管间距的确定1、从实际情况出发，为了便于移动，又能将地面喷洒完全，喷头的布置有如下三种 情况：图2据可靠资料可得：各喷头呈正三角形分布，且支管间距为喷头间距的0.866倍时，各喷头同时喷洒时地面上的有效湿润面积最大1。针对本文的限制条件，最优管道模型有4个喷头。在模型检验中，本文会给出详细的证明和检验。铺设的管道系统网络如下

11、：图3假设喷头间距是射程的n倍：2nR + 0.866nR 20可得：n=1.57。所以喷头间距为射程的1.57倍，即6.9378米；支管间距为射程的1057*0.866=1.36倍， 即6.0098米。铺设的管道总长为19.8855米。3此管道系统能够喷洒地面的有效长度为：，x R+R*8257米，有效宽度为:21.36x xR+1.36xR=10.0164 米。3因此要灌溉一片面积80X30米的田地，只要将此管道系统沿地宽平行移动3次，沿地长平 行移动5次，就可灌溉一片面积74.1285X30的田地，还要灌溉一片面积5.9X30的田地便 可以把此地灌溉完全。2、如果仍用上述管道系统灌溉5.

12、9X30米的田地，浪费的水量和时间将会很大，所以本文 在此将上述管道系统做了如下调整：改为用单支管多喷头的管道系统喷灌：如图：图4为了保证它的有效覆盖面积最大，即重复覆盖面积最小，只能使管道系统II的有效宽度为5.9米，由此计算出喷嘴间距：=R2 -（59）2 =6.5804 米所以灌溉5.9X30米的田地需要喷嘴30/6.5804+1=6个，而20米长的管道系统最多能安装 20/6.5804+1=4个喷嘴，又考虑到各区域的总灌溉量必须尽可能一致，我们这里采用只有3 个喷嘴的管道系统喷灌5.9X30米的田地，可知移动1次即可完成灌溉任务。此时面积80X30米的田地已经灌溉完一次，两套管道系统总

13、共移动了 17次。灌溉简图如下：30 m80m管道系统1管道系统2图5六、模型的求解1、管道系统I灌溉时间的计算图6两个喷嘴重复覆盖部分的圆的孤长所对应的圆心角为P，则:.p 3 Disin =2 R又P所对应的扇形面积为:P所在三角形面积为:1S = DD2 6 i所以，重复覆盖的面积为:S = 2(Si - S2) = 4.4814重复覆盖部分的喷头流量:9sQ =i2 兀 R 2由于一个喷头在灌溉区域的灌溉强度是均匀的，那么重复覆盖部分的单位面积灌水量 是其它灌溉部分单位面积灌水量的2倍所以要满足题设的任何区域每小时灌溉量不得超过 0.75厘米，只需重复覆盖部分的灌溉强度不超过0.75厘

14、米/小时。已知灌溉强度：b = 1000Q (mm)A_有效Q-喷头的流量(m3 h)A有效一地面的湿润面积(m 2)可得灌溉强度:b=y1 S要满足每小时灌溉量不超过7.5mm,只需要：b 7.5代入数据，可得：灌溉时间t1 8.1780 （分钟）综合t1, t2，可得：要满足题设条件，此灌溉系统每天要灌溉2次，每次要灌溉4.0890 分钟。所以要用管道系统I灌溉面积74.1285 X 30的田地，需要的时间为：T = 4.0890*15=61.3350 （分钟）12、管道系统II灌溉时间的计算计算方法同管道系统I，得出：此灌溉系统每天要灌溉2次，每次灌溉2.5560分钟。所以要用管道系统I

15、I灌溉面积5.9X30的田地，需要的时间为：T = 2.5560 x 2=5.1120 （分钟）所以用这两套管道系统灌溉一片面积80X30米的田地，所需要的时间为：T = T1 + T2+15C= 66.4470+15C （分钟）将面积80X30米的田地灌溉好，需要每天用这两套管道系统分别灌溉两次，灌溉四天。七、模型的检验由实际生活可知：移动管道系统分为：单支管多喷头喷灌系统和多支管多喷头喷灌系 统，如图所示：图7单支管多喷头管道系统图8多支管多喷头管道系统需要设计的管道系统一次灌溉的有针对此题，要用最少的时间灌溉面积80X30米的田地，效面积最大，即重复覆盖面积最小。因为要灌溉的地域是规则的

16、矩形，且题目要求各区域 的总灌溉量必须尽可能一致，所以喷头之间的间距应该是一样的。1、单支管多喷头管道系统灌溉的有效面积的计算有四个喷头的单支管图9把20米均分为3份，将4个喷头中间的两个中点和两个端点上。如图，设两个圆心之 间的距离为l，l =3.33米，射程r =4.419。图中的0满足:cos(0 ) = l / r一 .、.一2冗 r 201重迭部分面积2(亍- 侦20)故最大的有效面积S = 4兀r2 3S1代入数据，S = 186.2659m2由于射程为4.419,若喷头为1个,2个,3个远不及图4中有效面积大（喷头为3个时，面积最大为 3兀 r2 =184.0429m2）当喷头为

17、5个时，有效面积为228.1643m2。由此可求得重迭时灌溉强度= 58.682mm/们不重迭时灌溉强度b2=29.1410mm/h。设每次灌溉时间为t，区域每小时 的的灌溉量不超过7.5mm / h，则有：bt 2.5（8）由（7），（8）得5.112 t 7.668（2）有五个喷头的单支管图10此模型有效面积为虚线矩形面积，长为28.838m,宽为7.2876m。在放置此模型时，由80/28.838=2.774 330/7.2876=4.1166 5故此模型要将矩形灌溉完必须移动15次，又因为它每一次灌溉的时间5.112 t 7.668，则总的灌溉时间为T=76.8 2、多支管多喷头管道系

18、统灌溉的有效面积的计算（射程都为4.419米）因为管道是单支管时管道利用率最高，且单支管上喷头个数为4个时有效面积最大，所以 管道是多支管时喷头的个数最多为4个。（1）喷头呈正方形布置时，喷头间距和支管间距相等。此时要求喷头的个数为4个。假设喷头间距和支管间距都为射程的n倍：4.419x4n 20,解得：n=1.1315R2R两个喷嘴重复覆盖部分的圆的弧长所对应的圆心角为P，则:Pcos =2又P所对应的扇形面积为:P所在三角形面积为:重复覆盖的面积为：S = 2（S1 -S2）= 20.9140所以，此管道系统的有效覆盖面积为：A=4-R2 -4S = 161.7346。（2）喷头呈正三角形布置由模型的求解可得：两个喷头的重复覆盖的面积为：S = 2-S= 4.4814所以：此管道系统的有效覆盖面积为：A=4- R2 -5S =222.9836。（3）喷头呈矩形布置时，喷头间距等于喷头的射程。假设支管间距为射程的n倍:2R+2Rn S1 = 20.4492所以，此管道系统的有效覆盖面积为：A=4-R2 -4S = 204.4922。因为每个喷头喷出的水都相且均匀分布的，当喷头个数一定时，这三种多支管管道系统每 次的灌溉时间是一样的。所以灌溉完整片地的时间只与移动管道系统的次数有关：管道系 统的有效覆盖面积越大，移动次数越少，所用总的灌溉时间越少；反之亦然。由以上的计算