反比例函数面积不变性的探究

1、反比例函数面积不变性的探究k反比例函数y 的图象具有面积不变性：如图1,点A是反比例函数图像上任意一点，过点A分别作AB x 轴，ACC可以彳到曲边形OBAC |k .探究过程探究1如图2,点A,B分别是反比例函数k_y -图象上两点，过点A, B分别作AD x轴，BCy轴，垂足为D、C ,得到Rt AOD,Rt BOC ,求SRtAOD , SRt BOC .右 C、D过探究不难1Qk .而因为AD y轴，所以F、E两点，你能发现?试说明理由.分别是y轴和x轴的动点，则S acd和S BCD分别是多少？_11SRt AOD k ;因为BC x轴，所以S bcd SRt BOC 一 k .从而

2、得出不仅特殊的直1/ljx-/ _/1角二角形的面积等于 -|k|,利用同底等高的两个三角形的面积相等可以得出更加一般的三角形1的面积也等于1 k.一 一一 一一 1探究2如图3,将探究1中的C、D移到C、D的位置，此时S ACD和S BCD还等于一 k2吗？根据面积相等，你能否发现 CD与AB之间的位置关系？若直线AB与x轴、y轴分别交于根据探究1的分析，第一个问题应该很快得出 ：Sacd Sbcd k的一半，因为两个三角 形具有公共的底边，所以高也会相等，即 A、B两点到CD的距离相等，所以 CDAB.而 AD / CE , BC / DF ,因此四边形AECD和四边形BCDF均为平行四边

3、形，所以 CD AE BF .进一步还可以知道平行四边形 AECD和BCDF的面积为| k .练习1如图4,将透明三角形纸片 PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点 A、B分别落 k在反比仞函数 y 图象的两支上，且 pb x轴于点C,PA y轴于点D, AB分别与x轴， y轴相交于点E、F,已知B(1,3).fi)k =(2)试说明AE BF ;当四边形ABCD的面积为 弓时，求点P的坐标.B图4分析 第(1)、(2)小题可以根据上述探究直接得出 .第(3)小题四边形 ABCD的面积可以分成平行四边形 ADCF和 BCF两部分，因为平行四边形 ADCF的面积为3,可得 BCF的面积 .9为9,

4、因为BC = 3所以可得CP=2,由此可得P的坐标为(1, -2).4探究3如图5,若将上述的的直线 AB平移，使得直线经过原点 O,这时探究2中的结 论还成立吗？ BAH的面积与比例系数 k有什么关系？图5显然，这是前面探究1 ,2的一种特殊情形，即点E与点F重合于。，点A和B关于原点O 中心对称，上述结论显然成立，而且点 C、D也成为了 BH和AH的中点.此时 BAH的面积等于2k.k探究4如图6,将直线AB旋转，使得直线y mx n与双曲线y 一的一个分支相交于xA、B两点，与坐标轴交于 E、F两点.同样作AD x轴，BC y轴，垂足为D、C ,得到ACD , BCD ,则 ACD与 B

5、CD的面积相等吗？试用不同的方法证明CD AB .CD AE BF还成立吗？图6显然，ACD与 BCD的面积都为k的一半，主要是探究 CD/ AB的证明方法，探究 2 TOC o 1-5 h z 的分析过程其实就是第一种方法.那么还有什么证法呢？经过分析可以发现另外两种证法.k另证一 令AD与BC交于点K,证明 ABK与 DCK相似.可以设A的坐标为(a,),ak kkB的坐标为(b,),则C的坐标为(0,)，D的坐标(a,0) , K的坐标为(a,).求出 bbbAK,BK,CK ,DK的长度，根据对应线段成比例且夹角对应相等就能得到相似，进一步得出 平行.另证二 根据两点可以求出直线 AB

6、和直线CD的解析式，发现两条直线的斜率一样，因 此两直线平行.k练习2如图7,已知反比例函数 y (x 0, k是常数)的图象经过点 人(1,4),点8( m,n),其中m1, AM x轴，垂足为 M ,BN y轴，垂足为 N ,AM与BN的交点为C .(1)写出反比例函数解析式；(2)求证：ACBs NOM ;(3)若 ACB与 NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式C M图7分析 第(1)、(2)小题可以根据上述探究直接得出.第(3)小题由 ACB与 NOM的相似4 _416比为2,可得BC 2CN 2,所以B的横坐标为3,纵坐标为一，AB的解析式为y -x .333、.

7、一一. k . 一.探允5如图8,将A、B两点重合使得直线 y mx n与双曲线y 只有A 一个唯一 x的交点，你能从图中发现哪些类似的结论图8这是一道开放性探索题，也是探究4的特例.运用几何画板动态演示之后，至少可以发现以下结论：(1) CDEF ;CD EA FA; 一 2 一(2) n 4mk 0 ; S AEF S ACD2k2 ml练习3 如图9,点P( 1,1)在双曲线上，过点 P的直线11与坐标轴分别交于 A、B两点,且tan BAO 1 ,点M是该双曲线在第四象限内的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、D.则四边形ABCD的面积最小值为()(A

8、)10(B)8(C)6(D)不确定分析 由题意，可得A( 2,0) , B (0,2),由探究5,可知S aob S COD 2 .不妨设C(x,0)所以四边形 ABCD的面积最小值为8.图9二、探究反思1、以上整个探究过程中涉及的知识点较多，除了反比例函数的性质， 还有一次函数的性质及解析式的求法、二次函数最值的求法、一元二次方程根的判别式、同底等高的三角形面积相等、相似的性质与判定等等.运用的数学思想方法也很多， 有方程与函数的思想、 数形结合思想、 分类讨论的思想等，将直线和双曲线的各种相交的情况进行了全方位的探究.这些知识点和思想方法需要在探究过程中体现出来，并加以总结.因此，如果在初中数学总复习阶段中进行这样的探究，则将极大地提高学生的数学综合能力.2、 这个探究过程是在几何画板技术支持下进行的， 教学时， 首先要让学生直观的感受到各种情况下线段之间的数量关系和位置关系，在运动中找到一般规律，接下来分析这些数量关系和位置关系成立的原因，使学生的直观感受和理性思考得到有机的统一3、在探究思路上，沿特殊到一般，再从一般到特殊的思