数-8暑-第9讲-根的判别式及应用

1、根的判别式及其应用根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方 程的情况下判断出根的个数情况，也可以在根的情况之下求出方程中所含字 母的取值范围.本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判 别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.知识结构判别式的值与根的关系根的判别式根的判别式的应用韦达定理模块一：判别式的值与根的关系知识精讲一元二次方程根的判别式：我们把从4叫做一元二次方程办2+区+C = 0(0)的根的判别式，通常用符号表示，记作A=82一元二次方程以2 +/zx+C = O(Q W 0),当A=b2_4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当4%2_4比

2、=。时，方程有两个相等的实数根；当=时，方程没有实数根.1/14随堂检测【习题1】方程自2-3x+2 = 0有两个相等的实数根，那么攵=【难度】【习题2】【难度】【习题3】Z 0且方程3依之+ i2x +攵=一1有两个相等的实数根，那么k =假设关于x的方程2公+ 3 = 0有实数根，那么攵的非负整数值是【难度】【习题4】关于X的方程如2 一2（3根-1）%+ 9根-1 = 0有两个实数根，那么m的取值范围是【难度】【习题5当上不小于-；时，方程（-2）/（2左-l）x + Z = 0根的情况是【难度】【习题6如果关于x的方程（根-2）/一2（根-1）尤+m=0只有一个实数根，试判断关于X的方

3、程如2 -（2 + 2）工+（4-2）= 0的根的情况.【难度】10/14【习题7关于x的一元二次方程依+ 4 _3 = 0的两个实根为4力，且满足a + b = ab ,那么攵的值是多少？【难度】【习题8】 当机 时，方程+2比+根+ 3 =。有两个实根.【难度】【习题9】求证：不管2为任何实数，关于x的方程 一2/m+ 6m-10 = 0总有两个不相等的实数根.【难度】【习题10】关于x的方程or之 一( + 2)x + 2 = 0只有一个解，试求a的值.【难度】课后作业【作业1 不解方程判断以下方程根的情况:(2) x +1 = x ；22(4) 4x2-28x + 49 = 0.(1)

4、 3/+2% = 2几；(3) (2x 1)2+x(x + 2) = 0；【难度】【作业2】关于无的方程依2-2x-1 = 0有两个不相等的实数根，求攵的范围.【难度】【作业3】%是方程3/ + 氏+ 9 = 0的两个根，分别根据以下条件求出国的值.(1) xi=1,%2=2；(2) % = 3, 9 = 6 .【难度】【作业4】m取什么值时，方程(m + 2)f +2x-1 = 0有两个不相等的实数根?【难度】12/14【作业5】关于的方程2f+（攵 9）x + （攵2+3攵+ 4） = 0有两个相等的实数根，求女的值，并求方程的根.【难度】【作业6】关于x的方程X2+2（ + 1）工+ （

5、/+4”5） = 0有实数根，求正整数a的值,并求方程的根.【难度】【作业7】假设一元二次方程2x（依-4）-犬+6 =。无实数根，求女的最小整数值.【难度】【作业8】 假设，为任意实数，试判断关于x的方程V+2公+/=_1的根的情况.【难度】【作业9】 关于1的方程/十（21b十公=0的两个实数根是不，且（%+2）（+2）= 11,求实数攵的值及原方程的根.【难度】【作业10关于x的方程d -4（m-2）x + W =（）,（1）如果方程有两个相等的实根，试求加的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数2,使方程的两个实数根的平方和等于224?如果存在，求出满足条件 的根的值；如果不存在，

6、请说明理由.【难度】14/14例题解析【例1】选择：以下关于X的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（A） x2 +1 = 0（B） x2 +2x +1 = 0（C） x 2 + 2x + 3 = 0（D） x2 +2x -3 = 0 TOC o 1-5 h z 不解方程，判别方程5/7x + 5 = 0的根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）只有一个实数根（D）没有实数根方程Y 5%-1 = 0的根的情况是（）（A）有两个相等实根（B）有两个不等实根（C）没有实根（D）无法确定一元二次方程V+3x7=0的根的情况为（）（A）有两个不相等的实数根（B）有

7、两个相等的实数根（C）只有一个实数根（D）没有实数根【难度】【例2】不解方程，判别以下方程的根的情况:(2) 2Y+4x + 3 = 0；(4) 2%2+3x-4 = 0.（1） 4x2-5x-3 = 0；（3） 2/+3 = 2向；【难度】【例3】关于x的一元二次方程（根-1）/+2a+ 1 = 0根的判别式的值为4,求【难度】【例4】关于x的方程Y+（加一1）工一m=0 （其中”是实数）一定有实数根吗？为什么？【难度】【例5】方程组!这二的解是试判断关于光的方程+以+ = 0的根的情 x + 0y = 81y = 3况.【难度】【例6】 当m取何值时，关于x的方程d +（m-2）A： +

8、m2 -1 = 0, 4（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根?【难度】【例7当为何值时，关于x的方程V4+ （2攵-1）2=。有实数根？并求出这时方程的 根（用含攵的代数式表示）.【难度】【例8】关于x的方程4f（攵+ 2）x +攵=1有两个相等的实数根？求Z的值及这时方 程的根.【难度】【例9】 关于%的方程-（m- 2）x + m2 = 0.4（1）有两个不相等的实根，求加的取值范围；（2）有两个相等的实根，求2的值，并求出此时方程的根;（3）有实根，求山的最大整数值.【难度】4/14模块二：根的判别式的应用知识精讲（1）不解方程判定方程根的情况；（2

9、）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题.【例10】 证明：方程（x-l）（x-2）=攵2有两个不相等的实数根.【难度】【例11当那为何值时,方程履2一2（左一2卜=/一二一1（心0）,（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.【难度】【例12关于x的一元二次方程（根+ 1卜2 _|_ 2mx + m - 3 = 0有实数根，求用的取值范围.【难度】【例13】如果根是实数，且不等式（加+ 1）xm+ 1的解集是xl ,那么关于x的一元二次方程ax2 -（根+ l）x + ；相=0的根的情况如何？【难度】【例14】【例14】【难度】关于x的方程+

10、2/7U + m-3 = 0总有实数根，求相的取值范围.【例15】关于x的一元二次方程j? - 2mx-3m2 + 8m-4 = 0 .(1)求证：原方程恒有两个实数根.(2)假设方程的两个实数根一个小于2,另一个大于5,求2的取值范围.【难度】 【例16，关于x的一元二次方程/ 2(2相 3)x +4病一 14根+ 8 = 0,(1)假设加0,求证：方程有两个不相等的实数根；(2)假设12相40的整数，且方程有两个整数根，求加的值.【难度】【例17】名庆。是三角形的三边长，求证：方程尻+(/+。2_/口 +，=。没有实数根.【难度】6/14模块三：韦达定理知识精讲韦达定理：如果与,是一元二次

11、方程以2+灰+。= 0（QWO）的两个根,由解方程中的公式法,日_ -h + /h2 -4ac _ -h-h2 -4ac得，xi = Z， X2 = Z-2a2a那么可推得百+x0=.这是一元二次方程根与系数的关系.a a【例18】写出以下一元二次方程（方程的根为七,）的两实数根的和与两实数根的积;xx2 =;x)x2 =x? 3尤 + 1 = 0,芯 + % =3x 2x 2 = 0, % + 9 =【难度】【例19】方程5/ +-6 = 0的一个根是2 ,求另一根及k值.【难度】【例20】：关于x的方程货19x + m = 0的一个根是1 ,求另一根及z值.【难度】7/14【例21】【难度】如果-5是方程5/+区-10 = 0的一个根，求另一个根及值.【例22】2 + 6是方程f-4x + c = 0的一个根，求另一根及c值.【难度】【例23】 是方程31 + px + 4 = 0的两个根，分别根据以下条件求出p,q的值.(1) X = /7,% = V7 ；(2) % = 2 + 3,= 2 y/3 .【难度】【例24】设小