高考知识点分章复习之数列

1、第三章 数列一、数列的通项公式：如果数列an的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式a=f（n）（nN+或其有限子集1，2，3，n） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一二、数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，）间关系可以用一个公式an=f（a）（n=2，3，） （或an=

2、f（a,a）(n=3，4，5，)，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 三、数列的求和公式：设Sn表示数列an和前n项和，即Sn=a1+a2+an，如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn= f（n）（n=1，2，3，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 四、通项公式an与求和公式Sn的关系：五、等差数列与等比数列：等差数列等比数列符号定义通项其中（）前n项和其中中项主要性质若则推论：若则若则推论：若则六、数列通项公式的十种求法题型一：应用“公式”求数列通项例1（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式an.（2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式.解析：（1）

3、当，当又不适合上式，故（2）当n=1时，当时，点拨：一般的利用公式 求，特别要注意是否合适.题型二：利用“构造法”求数列的通项例2. 已知数列的通项公式.解：， ，又因为，所以是首项为2公比为2的等比数列，所以。点拨：若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。例3.数列中，则。解：是以首项为2，公比也为2的等比数列。所以，故有：点拨：先构造等比数列，这是化归思想的具体应用，再用叠加法求出通项公式，当然本题也利用了等比数列求和公式。例4已知数列中对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？（必修5教材69页）解：，又形成首项为7，公比为3的等比数列，则

4、又因为，所以，从而形成了一个首项为13，公比为1的等比数列 则点拨：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。例5数列中，若，则（ ）A B C D解：又是首项为公差3的等差数列。 所以选A变式题型：数列中，求解：是首项为公比为的等比数列，点拨：且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。题型三：利用“递推关系”求数列的通项例6.根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式（1）， .（2）.解析：（1）两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列

5、的通项公式，得，所以数列的通项公式为。点拨：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。（2）因为，所以所以，以上个式相加得 ：即：点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。题型四：应用“累加法”求数列的通项例7.已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。点拨：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例8.已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得：，则所以点拨：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。题型五：应用“累乘法

6、”求数列的通项例9(1)已知数列满足,求数列的通项公式。 (2)已知数列满足，求数列的通项公式。解：(1)依题意得：,(2)因为，所以，则，故所以数列的通项公式为点拨：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。题型六：应用“待定系数法”求数列的通项例10.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。点拨：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例11.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式

7、，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。点拨：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例12.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。点拨：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。题型七：应用“迭代法”求数列的通项例13.已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公

8、式为。题型八：应用“不动点法”求数列的通项例14.已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。点拨：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15.已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以。点拨：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。七、数列求和的方法题型一：利用“公式法”求数列的前n项和如果一个数列

9、是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.等差数列求和公式：等比数列求和公式：例1已知，求的前n项和.解：由，由等比数列求和公式得 1例2.设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得 ， 当 ，即n8时，题型二：利用“倒序相加法”求数列的前n项和类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例3.求证：证明： 设（反序：把式右边倒转过来）又由可得+得：（反序相加）例4

10、.求的值解：设.（反序：把式右边倒转过来）又因为 +得：（反序相加）89 S44.5例5.已知函数，且；求的值.解：由得两式相加得： 所以.点拨：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.例6.针对训练1：求值：题型三：利用“错位相减法”求数列的前n项和类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令则，两式相减并整理即得。例7.求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设.（设制错位）得 （错位相减）再利用等

11、比数列的求和公式得：例8.求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设（设制错位）得（错位相减）例9求和：解：= 1 * GB2= 2 * GB2= 1 * GB3= 2 * GB3（设制错位） 由= 1 * GB3= 2 * GB3得：（错位相减）点拨：1、错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和的公式求和.2、若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；3、当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；4、当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。题型四：利用“裂

12、项相消法”求数列的前n项和把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1），特别地当时，（2），特别地当时（3），（4），（5） ，（6）,（7）,（8），（9）例10.数列的前项和为，若等于（ B ）例11.数列的通项公式为，求它的前n项和解： =点拨：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消

13、项时前后所剩的项数相同.例12.求数列的前n项和.解：设（裂项）则 （裂项求和） 例13. 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和为： （裂项求和） 例14. 数列满足，则数列的前项和为，=）点拨：= 1 * GB3若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。= 2 * GB3使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。针对训练4：求数列的前n项和.题型五：利用“拆项分组求和法（分组求和）”求数列的前n项和有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例15.求和：解：点拨：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.例16.求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得：（分组）当a1时， （分组求和）当时，针对训练5