高中物理选择性必修36.2.2排列数

1、6.2.2排列数学习目标1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题知识点一排列数的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq oal(m,n)表示思考排列与排列数相同吗？答案排列数是元素排列的个数，两者显然不同知识点二排列数公式及全排列1排列数公式的两种形式(1)Aeq oal(m,n)n(n1)(n2)(nm1)，其中m，nN*，并且mn.(2)Aeq oal(m,n)eq f(n！,nm！).2全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq oal(n

2、,n)n！(叫做n的阶乘)规定：0！1.1Aeq oal(2,3)_.答案62Aeq oal(2,n)132，则n_.答案123Aeq oal(x,5)20，则x_.答案24甲、乙、丙三人站成一排，共有_种不同站队方式(用排列数表示)答案Aeq oal(3,3)5.eq f(Aoal(3,7),Aoal(3,8)_.答案eq f(5,8)一、排列数公式的应用命题角度1利用排列数公式求值例11计算：Aeq oal(3,15)和Aeq oal(6,6).解Aeq oal(3,15)1514132 730，Aeq oal(6,6)654321720.命题角度2利用排列数公式化简例12(1)用排列数表

3、示(55n)(56n)(69n)(nN*且n55)；(2)化简：n(n1)(n2)(n3)(nm)解(1)55n,56n，69n中的最大数为69n，且共有(69n)(55n)115(个)数，(55n)(56n)(69n)Aeq oal(15,69n).(2)由排列数公式可知n(n1)(n2)(n3)(nm)Aeq oal(m1,nm).命题角度3利用排列数公式证明例13求证：Aeq oal(m,n1)Aeq oal(m,n)mAeq oal(m1,n).证明Aeq oal(m,n1)Aeq oal(m,n)eq f(n1！,n1m！)eq f(n！,nm！)eq f(n！,nm！)eq blc

4、(rc)(avs4alco1(f(n1,n1m)1)eq f(n！,nm！)eq f(m,n1m)meq f(n！,n1m！)mAeq oal(m1,n)，Aeq oal(m,n1)Aeq oal(m,n)mAeq oal(m1,n).反思感悟排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算跟踪训练1不等式Aeq oal(x,8)6Aeq oal(x2,8)的解集为()A2,8 B2,6 C(7,12) D8答案D解析由Aeq oal(x,8)6Aeq oal

5、(x2,8)，得eq f(8！,8x！)6eq f(8！,10 x！)，化简得x219x840，解得7x12，又eq blcrc (avs4alco1(x8，,x20，)所以2x8，由及xN*，得x8.二、排队问题命题角度1“相邻”与“不相邻”问题例213名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻解(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有Aeq oal(3,3)种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有Aeq oal(4,4

6、)种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有Aeq oal(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有Aeq oal(3,3)Aeq oal(4,4)Aeq oal(2,2)288(种)排法(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有Aeq oal(3,3)Aeq oal(5,5)720(种)不同的排法(3)(不相邻问题插空法)先排女生有Aeq oal(4,4)种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有Aeq oal(3,5)种排法，故有Aeq oal(4,4)Aeq oal(3,5)1 440(种)不同的排法(4)先排男生有Aeq oal(3,3)种排

7、法，让女生插空，有Aeq oal(3,3)Aeq oal(4,4)144(种)不同的排法命题角度2定序问题例227人站成一排(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？解(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有eq f(Aoal(7,7),Aoal(2,2)2 520(种)不同的排法(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的eq f(1,Aoal(3,3).故有eq f(Aoal(7,7),Aoal(3,3)840(种)不同的排法命题角度3

8、元素的“在”与“不在”问题例23从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？解(1)方法一把元素作为研究对象第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有Aeq oal(5,6)种排法第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有Aeq oal(4,6)种排法根据分步乘法计数原理，有4Aeq oal(4,6)种

9、排法由分类加法计数原理知，共有Aeq oal(5,6)4Aeq oal(4,6)2 160(种)排法方法二把位置作为研究对象第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有Aeq oal(1,6)种方法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有Aeq oal(4,6)种方法由分步乘法计数原理知，共有Aeq oal(1,6)Aeq oal(4,6)2 160(种)排法方法三(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有Aeq oal(5,7)种，甲在首位的情况有Aeq oal(4,6)种，所以符

10、合要求的排法有Aeq oal(5,7)Aeq oal(4,6)2 160(种)(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有Aeq oal(2,6)种方法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有Aeq oal(3,5)种方法根据分步乘法计数原理，共有Aeq oal(2,6)Aeq oal(3,5)1 800(种)方法(3)把位置作为研究对象第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有Aeq oal(2,5)种方法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有Aeq oal(3,5)种方法根据分步乘法计数

11、原理，共有Aeq oal(2,5)Aeq oal(3,5)1 200(种)方法(4)间接法总的可能情况有Aeq oal(5,7)种，减去甲在首位的Aeq oal(4,6)种排法，再减去乙在末位的Aeq oal(4,6)种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次Aeq oal(3,5)种排法，所以共有Aeq oal(5,7)2Aeq oal(4,6)Aeq oal(3,5)1 860(种)排法反思感悟排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决即将相邻的元素视为一个整体进行排列(2

12、)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决跟踪训练2三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排

13、成一排有Aeq oal(6,6)种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有Aeq oal(3,3)种不同的排法因此共有Aeq oal(6,6)Aeq oal(3,3)4 320(种)不同的排法(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有Aeq oal(5,5)种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有Aeq oal(3,6)种排法，因

14、此共有Aeq oal(5,5)Aeq oal(3,6)14 400(种)不同的排法(3)方法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有Aeq oal(2,5)种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有Aeq oal(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq oal(2,5)Aeq oal(6,6)14 400(种)不同的排法方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq oal(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)种排法和女生排在末位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)种排

15、法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq oal(8,8)2Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)14 400(种)不同的排法方法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有Aeq oal(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有Aeq oal(5,5)种不同的排法，所以共有Aeq oal(3,6)Aeq oal(5,5)14

16、400(种)不同的排法(4)方法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Aeq oal(1,3)种排法，那么末位就只能排男生，这样可有Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)种不同的排法，因此共有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)36 000(种)不同的排法方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq oal(8,8)种不同的排法，

17、从中扣除两端都是女生的排法Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)种，就得到两端不都是女生的排法种数因此共有Aeq oal(8,8)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)36 000(种)不同的排法1Aeq oal(3,9)等于()A93 B93C987 D9876543答案C289909192100可表示为()AAeq oal(10,100) BAeq oal(11,100) CAeq oal(12,100) DAeq oal(13,100)答案C解析89909192100eq f(12100,1288)eq f(100！,88！)Aeq oal(12,100).33位老师

18、和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为()A144 B72 C36 D12答案A解析先将老师排好，有Aeq oal(3,3)种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有Aeq oal(3,4)种排法，故共有Aeq oal(3,3)Aeq oal(3,4)144(种)排法4.eq f(Aoal(6,7)Aoal(5,6),Aoal(4,5)_.答案36解析eq f(Aoal(6,7)Aoal(5,6),Aoal(4,5)eq f(76Aoal(4,5)6Aoal(4,5),Aoal(4,5)36.5用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺

19、序一定，则有_个七位数符合条件答案210解析若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有Aeq oal(4,4)24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的eq f(1,24).故有eq f(1,24)Aeq oal(7,7)210(个)七位数符合条件1知识清单：(1)排列数、排列数公式(2)全排列、阶乘、0！1.(3)排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题)2方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法3常见误区：忽视Aeq oal(m,n)中“n，mN*”这个条件1设mN*，且m15，则Aeq oal(6,20m)等于()A(20m)(21m)(22

20、m)(23m)(24m)(25m)B(20m)(19m)(18m)(17m)(16m)C(20m)(19m)(18m)(17m)(16m)(15m)D(19m)(18m)(17m)(16m)(15m)答案C解析Aeq oal(6,20m)是指从20m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20m)(19m)(18m)(17m)(16m)(15m)2已知Aeq oal(2,n1)Aeq oal(2,n)10，则n的值为()A4 B5 C6 D7答案B解析由Aeq oal(2,n1)Aeq oal(2,n)10，得(n1)nn(n1)10，解得n5.3有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽

21、车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有()AAeq oal(8,8)种 BAeq oal(4,8)种CAeq oal(4,4)Aeq oal(4,4)种 D2Aeq oal(4,4)种答案C解析司机、售票员各有Aeq oal(4,4)种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(4,4)种不同的分配方法4要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A20 B16 C10 D6答案B解析不考虑限制条件有Aeq oal(2,5)种选法，若a当副组长，有Aeq oal(1,4)种选法，故a不当副组长，有Ae

22、q oal(2,5)Aeq oal(1,4)16(种)选法5一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!答案C解析利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为Aeq oal(3,3)(Aeq oal(3,3)3(3！)4.故选C.6某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案1 560解析根据题意，得Aeq oal(2,40)1 560，故全班共写了1 560条毕业留言7高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈

23、节目不连排，则共有_种不同的排法答案3 600解析不同排法的种数为Aeq oal(5,5)Aeq oal(2,6)3 600.8从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)答案36解析文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有Aeq oal(2,4)12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有31236(种)选法9某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；

24、(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻解(1)先排唱歌节目有Aeq oal(2,2)种排法，再排其他节目有Aeq oal(6,6)种排法，所以共有Aeq oal(2,2)Aeq oal(6,6)1 440(种)排法(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有Aeq oal(6,6)种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有Aeq oal(2,7)种插入方法，所以共有Aeq oal(6,6)Aeq oal(2,7)30 240(种)排法(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有Aeq oal(4,4)种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有Aeq oal(3,5)种

25、插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有Aeq oal(2,2)种排法，故所求排法共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(3,5)Aeq oal(2,2)2 880(种)排法10用0,1,2,3,4五个数字：(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？解(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有455552 500(个)符合要求的数(2)方法一先排万位，从1,2,3,4中任取一个有Aeq oal(1,4)种方法，其余四个位置四个数字共有Aeq oal(4,4)种

26、方法，故共有Aeq oal(1,4)Aeq oal(4,4)96(个)符合要求的数方法二先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有Aeq oal(1,4)种方法，其余四个数字全排有Aeq oal(4,4)种方法，故共有Aeq oal(1,4)Aeq oal(4,4)96(个)符合要求的数(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有Aeq oal(1,2)种方法，再填其余位有Aeq oal(2,2)种方法，故有2Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)种方法不取0，则只能取3，从1或4中再任取一

27、个，再取2，然后进行全排，有2Aeq oal(3,3)种方法，所以共有2Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)2Aeq oal(3,3)81220(个)符合要求的数(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有Aeq oal(1,2)种方法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有Aeq oal(1,3)种方法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为Aeq oal(3,3)，故共有Aeq oal(1,2)Aeq oal(1,3)Aeq oal(3,3)36(个)符合要求的数11(多选)下列各式中与排列数Aeq oal(m,n)相等的是()A.eq f

28、(n！,nm！) Bn(n1)(n2)(nm)C.eq f(nAoal(m,n1),nm1) DAeq oal(1,n)Aeq oal(m1,n1)答案AD解析Aeq oal(m,n)eq f(n！,nm！)，而Aeq oal(1,n)Aeq oal(m1,n1)neq f(n1！,n1m1！)eq f(n！,nm！)，Aeq oal(m,n)Aeq oal(1,n)Aeq oal(m1,n1).故选AD.12从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10 C18 D20答案C解析首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有Aeq oal(2,5)20(种)排法，因为eq f(3,1)eq f(9,3)，eq f(1,3)eq f(3,9)，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是20218.13有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有_种不同的招聘方案(用数字作答)答案60解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招