有限元基础与应用软件

1、有限元基础与应用软件授课教师：李俭联系方式：主要内容有限元的基本概念有限元的理论基础一种简单的有限元方法等参数单元、数值积分、线性方程组的解法商用软件ANSYS的应用及程序开发有限元的基本概念什么是有限元？有限元是做什么的？工程上和理论上，很多过程可以用微分方程来描述。复杂的物理过程，可以采用十分简洁的数学方程来表达，微分方程是实际中应用很广泛的数学方法和数学工具。二阶常微分方程实际中，二阶常微分方程可以描述弹簧振子振动、RLC电路的电流振荡等稳态导热微分方程稳态导热方程是一个三维拉普拉斯方程，除了稳态导热，拉普拉斯方程还可以描述静电场电位、不可压缩无旋流的速度势。弹性力学基本微分方程组通过这

2、个方程，可以求出任意弹性体受力时，内部的应力应变微分方程解析解求解困难实际中，大量求解微分方程的需要To 解 or not to解，its a question由于解析解很难求出，转而求微分方程的近似解和数值解，以二维拉普拉斯方程为例假设这一微分方程的解析解为： 由于解析解很难求出，我们可以自己选择的一个常见的、熟悉的函数，例如一个有待定系数的多项式作为解析解的近似函数，采用一定的方法，求出近似函数中的待定系数，即可得到微分方程的近似解求近似解一般采用“加权余量”法，虽然可以求出微分方程的近似解，但存在的问题是近似函数形式不容易确定，同时由于近似解是在整个求解域内对真实解近似，这样是比较困难的

3、，有时甚至做不到的。因此，求解近似解也是受到比较大的限制的。由于求近似解有很大的局限性，如果给定求解域内任意一点的坐标，能够求出解函数在这个点上的数值，也能达到求解微分方程的目的，而且这种做法也更符合实际中求解问题的需要，因为，在实际中我们更关心某些重要位置上，待求函数的数值或待函数梯度的数值。一种很自然的想法，就是由数学分析的知识，利用差分近似微分，将微分方程转化为一组线性方程组，再结合微分方程组的定解条件，求解这组微分方程。基于这种思想的方法，称之为有限差分法。有限差分法的解就是待求函数或其导数在求解域内一系列点上的函数值，可以实现求解微分方程的目的。从本质上说，有限差分法是对原微分方程的

4、一种线性处理技术，直观、简单。以差分 代替微分，误差难以估计和把握差分法中使用的网格，往往与所选坐标方向平行，难以处理复杂边界差分法得到解，是网格点处的值，若要得到其它非网格点的值，需要更新网格重新计算我们的想法：1.能求出待求函数或其导数在求解域内离散点的数值2.能方便灵活的处理复杂几何边界，或者说，适用各 种复杂的求解域3.能根据离散点的解，不重新更新网格就可以求出任 意点的解或近似解4.能保证所得的是原问题的近似解，能在一定程度上控制误差，甚至可以在一些点或区域得到精确解的数值对于第一个问题，只要给定杆的端点坐标，可以直接采用平衡条件求解，对于第二个问题，属于静不定问题，不能直接从平衡原

5、理求解，但是可以利用其它的力学原理求解，对于一根杆对于三根杆， ， ，分别建立以上关系，再组合起来结合假设杆的位移近似解为：将杆端点位移值代入上述方程组，解出方程组中的系数：杆的x方向位移近似解为：我们来把这个近似解的表达式整理一下，按照ui和uj合并同类项这样，我们就把杆的位移表示成了端点位移以及坐标的函数，换句话说，只要给定端点的位置，以及求出端点位移值，就可以求出杆内任意点的位移。我们来回顾一下这个问题的求解过程首先，这个问题无法直接由平衡关系求解，此时我们先对每根杆，利用材料力学原理，建立杆端点位移和杆端力之间关系，可以称之为杆的求解方程；然后，根据力平衡和位移协调条件，将各杆的求解方

6、程组装成整体的求解方程，这个求解方程，反映了结构收到的外力与各个杆端点位移之间关系，求解这个线性方程组，可以得到各杆端点位移最后，可以写出杆内位移的近似解，可以求出杆内任意点的位移这个三杆系统静力求解问题，虽然简单，但是求解方法却很有代表性和启发性这个问题本身是一个离散杆问题，所得到解是离散点的值各求解点本身就是结构上的点，因此不必对边界做进一步处理，由于有斜杆，如果采用类似差分法的方法，将很难处理网格可以根据杆端点的坐标和位移，写出杆内位移的近似解可以证明，对于本例来说，前面的近似解就是精确解一根杆，几何上可以用一个线段来表示，当然，这个表示杆的线段，可以再被划分为若干线段，对于模拟杆的线段

7、，内部的位移，可以用线段的端点和端点的位移来表示，也就是我们之前提到的那个近似解同样前面介绍的端点位移与外力的关系这样，就建立了一个模拟杆的力学模型，可以称为杆单元在这个问题中，共使用了三个杆单元，杆单元的端点称为结点。单元与单元之间通过结点连接。在单元近似解中结点位移的系数，由于只与端点的坐标有关，又称为形状插值函数，简称形函数。在单元结点位移与外力的关系式中，K称为单元刚度矩阵；这个关系式称为单元求解方程。由单元刚度矩阵组合而成整体刚度矩阵，相应的，可以建立整体求解方程。这样，我们可以重新描述一下整个问题的求解过程了：首先，我们将原问题的三根杆用杆单元进行划分，单元与单元之间，单元与边界间

8、由结点连接；然后，建立单元形状插值函数及单元近似解函数；根据力学原理建立单元刚度矩阵和单元求解方程；由单元刚度矩阵和单元求解方程，组合建立整体刚度矩阵和整体求解方程；引入边界条件，求解整体求解方程我们已经走到了有限元的门口现在，我们来看第三个问题，估计讲到这里，大家都忘了第三个问题是什么了这个问题的求解域是一个平面三角形区域，如果使用差分，可能会遇到一下的情况边界处理比较复杂，换一种方法求解。描述这个问题的微分方程组可能过于复杂了，让我们从一个简单的角度来分析。这个问题是一个力学平衡问题，因此在求解域内的任意点，受到的合力为0，这就是分析这个问题的出发点我们从求解区域内，假设取出一块三角形小区

9、域三个顶点分别为i、j、k，三个顶点的坐标分别为(xi,yi)(xj,yj),(xk,yk)像第二个问题一样，我们仍然可以用三个顶点的位移以及坐标，建立这个三角形区域内任意点位移的近似表达。Ni、Nj、Nk、和第二个例子一样也是形状插值函数后面我们将会看到，这三个函数之和三角形区域的形状有关。这里采用在小区域内近似待求变量的方法，可以降低误差为了形式简洁，我们三个顶点的位移和受力写成列矢量，同样也可以建立这两个矢量间的关系这样，我们也就得到了一个模拟二维三角形区域力与位移关系的模型，称之为平面三角形单元现在，像第二个问题一样，我们可以用这个三角形单元对求解区域进行划分，例如划分的方式可以有无数

10、种，这要根据求解问题的性质，求解域的几何形状灵活选择我们以第一种最简单的划分方案为例，继续介绍，这个划分方案中，包含两个单元，4个结点，先对单元和结点进行编号，并加上单元刚度矩阵和单元求解方程已经建立1234原来，1,3,4所在边收到的约束，现在转移到1,3,4结点上，结构受的外力，作用在2结点上两个单元的求解方程分别为两个单元的求解方程为：现在要将他们组合起来，组合的原理依旧是静力平衡与位移协调，也就是说，每个结点受力的合力为0，两个单元共有结点的位移必须相等现在我们来组装，按结点的顺序组装，对于结点1来说，受到的力来自单元和约束，二者平衡，并且结合单元求解方程，可得现在来看结点2，结点2收

11、到两个单元的作用力和外力三者应该平衡现在，把它们加起来用同样的方法，可以把结点3和结点4的平衡方程写出来现在我们把4个结点组合以后的力与位移的关系统一写出来，为了方便，采用矢量和矩阵的形式结点力的矢量结点位移的矢量这个矢量之间的关系：矩阵K就是刚才推导的结点力与位移方程中系数组成的为了求解方程还需要引入条件我们回顾一下这个问题的解答：首先，将求解域划分为三角形单元，单元和单元之间通过结点连接建立单元近似解，单元求解方程将单元求解方程组合成整体求解方程引入边界条件，解出求解方程回顾一下我们的想法：1.能求出待求函数或其导数在求解域内离散点的数值2.能方便灵活的处理复杂几何边界，或者说，适用各 种

12、复杂的求解域3.能根据离散点的解，不重新更新网格就可以求出任 意点的解或近似解4.能保证所得的是原问题的近似解，能在一定程度上控制误差，甚至可以在一些点或区域得到精确解的数值现在要求解的是所有结点处位移的数值，是数值求解在斜边界，使三角形单元的一边与斜边重合，这样就解决了边界问题。由于单元近似解的建立，只要已知了结点处的位移值，不用更新网格就可以计算任意点的位移单元求解方程和单元刚度矩阵的推导过程（后面介绍），保证了误差可控，甚至在部分点上，可以得到精确解上面我们看到的两个问题，虽然问题不同，但求解方法是相似的，都包含了划分单元、建立单元求解方程建立整体求解方程、引入边界条件等主要的几个步骤，

13、而这些步骤也就是有限元方法的主要步骤，有限元方法就是通过这几个步骤，将原问题的微分方程转化为线性方程组求解。也许有人会觉得，上面推导时好像没涉及微分方程，后面我们将看到，在建立单元求解方程时，将运用与原问题微分方程等效的数学方法。现在，我们可以总结一下什么是有限元了有限元是求解微分方程的一种数值算法第一步：将求解域划分为若干个单元，单元与单元通过结点连接（这一步也称为结构离散化）第二步：在单元内部，建立带求解函数的近似函数（形函数和结点解表达）第三步：利用与原问题微分方程和边界条件等效的数学方法（变分原理和加权余量法）建立求解方程（线性方程组或常微分方程组）第四步：求解方程组有限元的优点：可以

14、用于复杂的求解域像刚才所介绍的，对斜边的求解域，三角形单元可以很方便的模拟。求解域边界是曲线，可以用多段直线段来模拟，甚至可以构造曲边单元。对于三维求解域，可以构造三维单元，单元的边界可以是平面，也可以是曲面。可用于多种物理问题最初，有限元方法是被用来求解弹性力学问题的，但随着有限元理论和方法的发展，现在，有限元已不仅仅应用于弹性力学问题的求解，通过构造各种单元，有限元可以用来求解，弹性力学、塑性力学、振动屈曲等问题，除了固体力学问题以外，传热学、流体力学、电磁学等问题也可以用有限元求解。有限元不仅可以求解稳态问题，还可以求解动力学问题。建立在严格的理论基础之上这一点是有限元与有限差分最大的差别和优势（个人认为），数值计算方法需要回答一个问题：求出的解到底是不是原问题的近似解？经过数学证明，有限元所采用的基本数学原理（变分原理和加权余量法）是与原问题微分方程及边界条件的等效形式，因此，只要原问题的数学模型正确，就可以保证有限元求解的正确性。适合计算机实现前面的三角形薄板受拉伸的例子里，最后的求解方程，系数是一个8 8矩阵，如果手动计算势必比较麻烦，而且随着单元数目和结点数目增多，方程的规模将大大增加，幸好，有限元求解方程往往是一个线性方程组或常微分方程组（线性方程组的情况居多），求解这