控制系统的状态空间模型课件

1、0 在经典控制理论中，对一个线性定常系统的，可用常微分方程或传递函数加以描述。将某个变量作为输出，和输出联系起来。 在现代控制理论中，系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。1如图所示R-L-C电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。2整理得到：3例1 设有一质量弹簧阻尼系统。F(t)为输入力， y(t)为质量块的输出位移。解：4则有：5写成矩阵的形式：6输入方程: 系统的输入量与中间变量之间的函数关系输出方程: 系统的输出量与中间变量之间的函数

2、关系7状态空间表示法的基本概念状态变量状态向量状态空间状态方程状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量由状态变量构成的向量x1(t)x2(t) :xn(t)以各状态变量x1(t), x2(t), , xn(t)为坐标轴组成的几维空间。由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。8状态空间表达式 状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。y : 输出向量 u : 输入向量A : 系数矩阵 B : 控制矩阵（输入矩阵）C : 输出矩阵D : 直接矩阵910状态空间表达式的模拟结构图一、模拟结构图 用来反

3、映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。11二、绘制步骤1、根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变量；2、积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量3、最后根据所给的状态方程用箭头将这些元件连接起来。12例：画出一阶标量微分方程 的系统模拟结构框图：13例1-3：画出三阶微分方程 的模拟框图：上式可改成： 其模拟结构图如下：14同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。15状态空间表达式的建立（系统的实现） 用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间

4、表达式。建立表达式的三个方法如下：1由系统框图（传递函数方块图）来建立；2从系统的物理或化学的机理出发进行推导；3由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。16（一）从系统方块图出发建立状态空间表达式 3、根据系统的实际连结，写出相应的状态空间表达式2.把每个积分器的输出选作为一个状态变量xi1.将系统框图的各个环节变换成相应的模拟结构图17例1-4 系统传递函数方块图如图所示，输入为u，输出为y。试求其状态空间表达式。18从图可知状态方程输出方程1920 建立小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一个平面内运动，忽略磨擦及空气阻力。解：建立小车水平方向上建立平衡方程在

5、垂直方向上，建立小球的平衡方程（二）从系统的机理出发建立状态空间表达式 21假设 很小， 。因此，上面两个式子可化简为：选择状态变量：建立状态空间表达式22设 M = 1，m = 0.1，l = 1（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式 n 阶常系数微分方程（单入单出）（以输入函数不含有导数项情况为例）1. 选状态变量 x 选各阶导数2、建立关于 x 的方程方程3、系统输出方程 能控标准型A的对角线上方的元素均为1，最后一行为微分方程各阶导数的系数，其余为0，这样的矩阵叫做友阵。B阵的特征：最下边一行元素为单位阵，其余为0。系统的A B具有上述特征时，系统为能控标准型。 系统的方程为 ，求系

6、统的状态空间表达式。能控标准型系统的模拟结构图能控性：是控制作用u(t)支配系统x(t)的能力不能控系统30（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式 n 阶常系数微分方程（单入单出） 首先将n 阶常系数微分方程通过拉氏变换转换为传递函数：微分方程拉氏变换传递函数 G(s)31(1)一、直接法32拉氏反变换(1)33拉氏反变换所以由于34能控标准型35例1.4 求其能控标准型解：（1）解决分母比分子高一阶将分母最高次幂变为136（2）直接应用公式即 y = Cx + DuD为直接矩阵，输入对输出的直接作用37二、串联法已知系统的传递函数求其状态空间表达式。解：系统模拟框图如下：38分别写出每个一

7、阶环节的状态方程消去中间变量39则状态空间表达式为：系统的模拟框图为：40二、并联法极点ci 可通过拉氏变换求留数41输入与状态变量的关系输出与状态变量的关系将 拆分为2部分分别进行拉氏逆变换，求解状态空间表达式42由反变换：得43由反变换：得即：44输出方程拉氏逆变换4546解耦系统图形特点：n个子系统互不相关，都是独立的，即解耦系统47习题 将传递函数 转换为状态空间表达式可知：状态方程48多输入、多输出系统微分方程的实现 一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：现采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：对每一个方程积分：49多输入、多输出系统微分方程的实现 50状态空间表达

8、式？ 51传递函数和状态空间模型间的转换现代控制理论： 引入了状态变量，采用状态空间来表述系统的输入输出之间的关系。G(s)ABCD?经典控制理论： 传递函数为单输入单输出线性定常系统，在零初始条件下：状态空间表达式唯一么?52如图所示R-L-C电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。53如图所示R-L-C电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。5455状态空间模型的转换传递函数G(s)? A, B, C, Duxy56对于由此得到：T57例题：考虑以下状态空间模

9、型选变换矩阵则，通过变换得到：状态空间表达式转换为约旦标准型这里的问题是如何将 变换为：58有重根时无重根时1.系统特征值系统预备知识系统特征值就是系统矩阵 的特征值，也即特征方程的根：方阵 A 且有 n 个特征值系统特征值的不变性59一个 维矢量 ：经过以 作为变换阵的变换，得到一个新的矢量矢量 经过线性变换后，方向不变，仅长度变化 倍，则称 为 的对应于 （特征值）的特征向量，此时有系统矩阵 A 的特征向量60P35 例1-961系统当 A 阵的特征值无重根时，将系统转换成约旦标准型的转换矩阵 T 由 A 的特征矢量 构成，即 证明有重根P3862由状态空间表达式求传递函数阵 G(s)拉氏

10、变换：G(s)ABCD?63由上式得：由于意义：建立现代与经典的关系，从现代的状态方程的ABCD可求出传递函数G(s)则64解：例求传递函数65多输入多输出系统的传递函数 P4466状态空间模型的转换传递函数G(s)T？67等价的状态空间模型是否有相同的传递函数？T假设：则：根据转换关系：68系统的特征方程和特征根系统的特征方程为 | sI - A | = 0 传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。系统进行非奇异变换（线性变换），特征值不变离散系统的状态空间表达式对比连续系统用微分方程来表示，采用拉普拉斯变换传递函数进行分析。离散系统用差分方程来描述，用Z变换脉冲传递函数进行分析。离散系统的状

11、态空间表达式可通过差分方程或脉冲传递函数 69离散系统的信号采用数字形式，输入和输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制系统属离散系统。70差分方程和脉冲传递函数线性定常离散系统可用 n 次差分方程表示：脉冲传递函数：71状态方程的建立1、由差分方程设 T = 1, 输入仅有 u( kT )项，b0=1, 则整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k) = u(k) 设 x1(k) = y(k), x2(k) = y(k+1) , x3(k) = y(k+2). xn(k) = y(k+n-1) x1(k+1) = y(k+1) = x2(k) x2(k+1) = y

12、(k+2) = x3(k) xn-1(k+1)= y(k+n-1)= xn(k) xn(k+1) = y(k+n) = -a0 x1(k)-a1 x2(k)-an-1xn(k)+u(k)72向量矩阵形式73离散系统方块图74矢量矩阵形式的离散状态空间表达式为：式中 的求法，类似于1.4节中式(34)求 的计算公式，即：75例1.9：已知离散系统的差分方程为试写出其状态方程和输出方程 。76例1.10 已知输入如下77 线性定常系统，其特征是它的状态空间表达式中的A、B、C、D 等矩阵的元素固定不变，与输入、输出或者时间无关。线性时变系统有：时变系统和非线性系统的状态空间表达式78非线性系统 非

13、线性的动态特性是用如下的n个一阶微分方程组描述的：用矢量矩阵表示，则为：79式中， 为矢量函数； 如果我们只局限于考察输入 偏离 为 时，对应于它， 也偏离 也偏离 时的行为，则可以通过对系统的一次近似而予以线性化。为此，将 附近作泰勒级数展开：它们分别是n x n，n x r，m x n，n x r维矩阵，其相应定义如下：令 将 这些微增量分别用 表示，则线性化后的表达式就成了一般线性表达式了，即例1-12 P5283 利用MATLAB进行系统模型间的互相转换系统的传递函数为按照顺序输入分子分母的系数采用tf2ss命令实现由 G(s) 到 ABCD的转换84得到如下结果例如执行以下m文件85

14、对于给定的状态空间表达式num和den为分子分母的系数矩阵函数 ss2tf 命令实现由 ABCD到 G(s) 的转换86求由以下状态空间模型所表示的传递函数执行以下m文件 得到如下结果A= 0 1 0; 0 0 1; -5 -25 -5 ;B= 0; 25; -120 ;C= 1 0 0 ;D= 0 ;num, den = ss2tf (A, B, C, D)872 不同状态空间之间的互相转换T(1) 构建第一个状态空间 sys1 = ss (A, B, C, D)(2) 转换第二个状态空间 sys2 = ss2ss (sys1, T)或者 aa, bb, cc, dd = ss2ss (a, b, c, d, T)方法88例题：考虑以下状态