例1设随机变量X概率密度为

1、例1 设随机变量X的概率密度为试求: (1)k ; (2) X的分布函数; (3)1例2 已知连续型随机变量X的分布函数为试求:(1)常数a , b ; (3) X的概率密度.2例3 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续型r.v., 其概率密度为(1) 求常数 c; (3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2) 计算31. 均匀分布若随机变量X具有概率密度函数 则称X在(a, b)上服从均匀分布，记作XU(a, b).二、几个常用的连续型随机变量的分布概率密度函数图形4X的分布函数为 5对任意长度为l的子区间

2、(c, c+l), a c 0为常数, 则称X服从参数为的指数分布,记作X E ()或e().2. 指数分布其分布函数为 9指数分布的另一种表示形式 则称X服从参数为0的指数分布. 其分布函数为101xF( x)0 xf ( x)011 指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间, 例如: 乘客在公共汽车站的候车时间、 某些元件或设备的使用寿命(等待用坏的时间) 、电话交换台收到两次呼叫之间的时间间隔等.应用背景:例6 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布，即(1)求该电子元件寿命超过2年的概率；(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？12故又把指数分布称

3、为“永远年轻”的分布.若 X E(), 则指数分布的“无记忆性”事实上,13【注】指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间, 而在离散型分布中, 几何分布用于描述事件A发生(试验成功)所进行的试验次数, 如果将每次试验视为经历一个单位时间(离散时间), 则直到试验成功为止, 试验总次数相当于直到试验成功所等待的时间. 在此意义上, 指数分布可视为离散情形下的几何分布在连续情形下的推广.指数分布与几何分布都具有“无记忆性”连续型离散型143. 正态分布 (亦称高斯(Gauss)分布)记作 X N ( , 2 ).若 X 的概率密度为则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布. 为实常数, 且

4、正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位.15正态概率密度的合理性16 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”,由此特点知正态分布描述随机变量取值中间概率大,两头概率很小的随机现象. 正态分布 图形特点17应用背景(可用正态分布描述的实例极多)各种测量的误差； 人体的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；若 r.v. X 受大量相互独立的随机因素影响; 每一因素的影响都是微小的, 无主导因素; 且这些正、负影响可以叠加,则认为随机

5、变量X 服从正态分布18 另一方面, 有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布. 所以, 无论在实践中, 还是在理论上, 正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换19正态概率密度函数的几何特征20 位置参数.思考 = -221 形状参数. ( 大小与曲线陡峭程度成反比)22正态分布的分布函数问题 正态分布下的概率计算问题如何解决?此时,原函数不是初等函数!23标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为【注】标准正态分布的密度函数为偶函数.24标准正态分布的图形25【几个常用结论】对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(教材P439). 表中只给出了x0的函数值.当x0时，可利用(x)=1(x)计算得到.证明26 通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布. 此引理解决了一般正态分布的概率计算问题.27证明28例8 3 原理设 X N ( , 2), 求解【结论】 一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可