2022年【全国百强校】北京市人民大学附属中学2019届高三年级上学期期中模拟练习数学试题

1、人大附中 2022 届高三年级第一学期期中模拟练习数 学（理）2022.10.29 一、挑选题：本大题共 8 小题,每道题 5 分,共 40 分在每道题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项2 1. 已知集合 P x R 1 x 3 , Q x R x 4 , 就 P eQ （ B ）A 2,3 B 2,3 C1,2 D , 2 1, x 2. 设命题 p ：x 0, 2 log x ,就 p 为（ B ）Ax 0, 2 log x B x 0, 2 x log x 2 x C x 0, 2 log x D x 0, 2 xlog x x 3设 a log 0.7 , b 2 1.1 , c

2、 0.8 3.1 ,就 D A. b a c B. c a b C. c b a D. a c b 4. 函数y f x 的图象如下列图,就 f x 的解析式可以为 C A. f x 1 x 2B. f x 1 x 3x x C. f x 1 e xD.f x 1 ln x x x5. 设 a, b 为两个非零向量,就“a b=| a b |”是“ a 与 b 共线 ” 的（ D A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件Sn 8 6.设等差数列 a 的公差为 d ,前n 项和为 S .如 a d 1,就 的最小值为（B ）n n 1a n（A ）10

3、 （B）9（C）7（D）1 2 22 2 27. 设函数 f x 2sin x , x R ,其中 0 , | | .如 f 5 2 , f 0 ,且8 8f x 的最小正周期大于 2,就 A A. 2 ,B. 2 ,3 12 3 12 C. 1 ,D. 1 ,3 24 3 24 1 8. 在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ,记作H ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ,记作 OH ）的乘积等于常数10 14 已知 pH 值的定义为 pH lgH ,健康人体血液的 pH 值保持在 7.357.45 之H 间,那么健康人体血液中的 可以为 C

4、 OH （参考数据：lg 2 0.30 , lg 3 0.48 ）A.1 B.1 C.1 D.12 3 6 10 二、填空题：本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分把答案填在答题卡上39已知向量 a 3,1,b2,4,就向量 a 与 b 的夹角为 . 4 10.方程 3sin x 1 cos 2x 在区间 0,2 上的解为 或56 6 11. 已知函数 f x 同时满意以下条件： 定义域为 R ； 值域为 0,1 ； f x f x 0 . ABR ,试写出一个函数解析式f x . f x | sin x | 或cos x 1 或 f x 2 x 2 , 1 x 1,（答案不唯独）0

5、, x 1或x 1. 12. 在 ABC 中 , A 60 , AB 3 , AC 2 . 如 AE AC BD 2DC ,且 AD AE 4 ,就的值为3.N ,11 13.无穷数列an 由 k 个不同的数组成,Sn 为 an 的前 n 项和 .如对任意 nSn 2,3 ,就 k 的最大值为.4当n 1 时,a1 2 或a1 3 ；当n 2 时,如Sn 2 ,就Sn 1 2 ,于是an 0 ,如Sn 3 ,就 Sn 1 3 ,于是an 0 ,从而存在 k N ,当n k 时,ak 0 .所以数列2 an 要涉及最多的不同的项可以为：2,1,- 1,0,0 从而可看出kmax 4 .2 x x

6、, 2 x c, 14. 已知函数 f x 1 , c x 3. 如 c 0 ,就 f x 的值域是；如 f x 的值x 域是 1 , 2 ,就实数 c 的取值范畴是4 1 , 4 ；1 2 ,1 三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分解答题要有具体过程,把答案写在答题卡上15. 本小题满分 13 分 已知函数 f x 2sin x cosx . 3 （）求函数 f x 的最小正周期；（）当 x 0, 时,求函数 f x 的取值范畴 . 2 解：由于 f x 2sin x cosx ,3 所以 f x 2sin x cos x cos sin xsin 3 3 sin x cos x 3

7、 sin 2 x 1 sin 2x 3 1 cos 2x 2 2 sin2x 3 . - 6 分3 2 （）函数 f x 的最小正周期为 T 2. 8 分2 （）由于 x 0, ,所以 2x , 2 . 2 3 3 3 所以 sin2x 3 ,1 . 3 2 所以 f x 0,1 3 . 13 分216 本小题满分 13 分 已知等差数列 an 中, a1 1 ,前 12 项和 S12 186 （）求数列 an 的通项公式；nm,对所（）如数列 bn 满意 bn 1 an ,记数列 b 的前 n 项和为 T ,如不等式 T n n 2有 n N * 恒成立,求实数 m 的取值范围 解：（）设等

8、差数列 an 的公差为 d ,3 a1 1 , S12 186 , S12 12a1 12 11 d ,即 186 12 66d . 2 d 3 . 3 分所以数列 an 的通项公式 an 1 n 1 3 3n 4 . 5 分（） 1 an , a n 3n 4 , bn 2 1 bn 3n 4 . 7 分2 当 n 2 时,bn 1 3 1 , 数列 b 是等比数列,首项 bn 1 2 b 8 1 1 2 ,公比 q 1 . 9 分n1 21 1 n 16 1 2 8 Tn1 8 1 7 1 8 n . 11 分8 167 1 18 n 167 n N* ,又不等式 Tn m对n N * 恒

9、成立,而 1 1 n 单调递增,且当 n 时, 1 1 n 1 ,816 8 m . 13分717. 本小题满分 13 分 如图,在四边形 ABCD 中, AB / /CD , AB 4 AC=6 , DC 8 , cosBAC 9 . 16 求（）边 BC 的长和 ACD 的面积；（）边 BD 的长 . 解：（）在 ABC 中,BC 2 AC 2 AB 2 2AB AC cos BAC 1 分 4 2 6 2 2 4 6 916 25 BC 5 2 分由于 AB / /CD ,所以9 BAC ACD ,9 3 分又由于 cosBAC ,所以 cos ACD 16 16 由于 ACD 0, ,

10、所以 sin ACD 5 716 4 分4 所以 S ACD 1 AC CD sin ACD 1 6 8 5 7 15 7 6 分2 2 16 2 （）由于 cosBAC 9且BAC 0, 16所以 sin BAC 5 7 7 分10 分16 在 ABC 中2 AB 2 AC BC 2 2 AC BC cos ACB 6 2 5 2 2 6 5 cos ACB 16所以 cos ACB 38 分4 7所以 sin ACB 4 9 分9 3 75 7 1 12 分所以 cos BCD cos BCA ACD 16 44 16 8 在 BCD 中 2 8 5 1 99 82 BD 2 DC BC

11、2 2BC DC cos DCB 8 2 5 2 所以 BD 3 11 13 分法二：延长 DC 使得 CE AB 4, 连接 BE 7 分依题可知BE AC 6 ,BAC BEC 9 分 99 E所以 cos BAC cos BEC 910 分16 在 BED中2 BD 2 DE BE 2 2BE DE cos DCB 12 2 6 2 2 12 6 91612 分所以 BD 3 11 13 分法三：过B 作 BG DC 交 DC 延长线于点G ,7 分依题可知： S ACD S BCD 1 AC CD sin ACD 1 DC BG 22 8 分所以 15 7 , CG 5 , 89 分1

12、 BG 8CG 5 又cos BCD cos BCG BC810 分6 在 BCD 中BD 2 DC 2 BC 2 2BC DC cos DCB 8 2 5 2 2 8 5 1 99 812 分所以 BD 3 11 13 分或者利用勾股定理 BD 2 DG 2 BG 2 8 5 2 15 7 2 99 8 8 所以 BD 3 11 13 分18. 本小题满分 13 分 对于函数 f x ,如存在实数 x0 满意 f x0 x0 ,就称x0 为函数f x 的一个不动点 已知函数 f x x 3 bx 3 ,其中 b R （1） 求 f x 的极值点；（2）如存在 x0 既是 f x 的极值点,又

13、是 f x 的不动点,求 b 的值；解：（） f x 的定义域为 , ,且 f x 3x 2 b 2 分2 f x 3x b （） 当b 0 时,明显 f x 在 , 上单调递增,无极值点 3 分 b当b 0 时,令 f x 0 ,解得 x 34 分 f x 和 f x 的变化情形如下表：x , b 3bb , 3 b 3 b 3 b , 3 3f x 0 0 7 分 f x 所以, x b 3是 f x 的极大值点； x b 3是 f x 的微小值点（）如 x x 是 f x 的极值点,就有 0 2 3x0b 0 ；如 x x 是 f x 的不动点,就有 0 3 x0 bx 3 0 x 0从

14、上述两式中消去b ,整理得 2x 3 0 x 3 0 10 分 3 设 gx 2xx 3 所以 g x 6x 2 1 0 , g x 在, 上单调递增又 g 1 0 ,所以函数g x 有且仅有一个零点x 1 ,7 3 即方程 2x 0 x 0 3 0 的根为x0 1, 13 分 所以 b 2 3x 03 19 本小题满分14 分 axa R . 、已知函数f x ln x 1 x（）如 a 0 ,求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；（）如 a 1 ,求函数 f x 的单调区间；（）如 1 a 2 ,求证： f x 1 . 解：（）如 a 0 ,就 f 1 1, f x 2 l

15、n x , f 1 2 ,2x所以 f x 在点 1, 1 处的切线方程为 2x y 3 0 . 3 分2 ax 2 ln x（） x 0, f ,x x 2 . 2 2 2ax 1 令 gx 2 ax ln x ,就 g x - 5 分x令 g x 0 ,得 x 1 （依题意 1 0 ）2a 2a由 g x 0 ,得 x 1 ；由 g x 0 ,得 0 x 1 2a 2a 所以, gx 在区间 0, 1 上单调递减,在区间 1 , 上单调递增- - 7 分2a 2a 所 以 , gx min g 1 5 ln 1 因 为 a 1 , 所 以0 1 1 ,2a 2 2a 2a 2 ln 1 0

16、 - 8 分2a 所以 gx 0 ,即 f x 0 所以函数 f x 的单调递增区间为 0, - 9 分（） 由 x 0 , f x 1,等价于 ln x 1 ax 1 ,等价于 ax 2 x 1 ln x 0 . x 2 设 hx ax x 1 ln x ,只须证 hx 0 成立 - - 10 分2 1 2ax x 1 由于 h x 2ax 1 , 1 a 2 ,x x 由 h x 0 ,得 2ax2 x 1 0 有异号两根 .令其正根为 x ,就 2ax 2 x 1 0 . 0 0 0 8 在0, x 上 h x 0 ,在 x , 0 0 上 h x 0 .就 hx 的最小值为 hx 0

17、ax 2 0 x 1 ln x 0 0 1x0 x0 1 ln x 0 3 x0 ln x . -12 分 0 2 2 又 h 1 2a 2 0 , h 1 2 a 3 2 2 2 所以 1 x 1. 3 x0 0, ln x 0 . 因此 0 0 2 2 所以 f x 1 . 14 分20. 本小题满分 14 分 a 3 0 ,3 x0 ln x 0 ,即 hx 0 .所以 hx 0 0 0 2 如无穷数列 a 满意：只要 a a p, q N*,p q ,必有a a ,就称 a 具有性质 P . （1）如 an 具有性质 P ,且 a1 1, a2 2, a4 3, a5 2 , a6 a

18、7 a8 21 ,求 a3 ；（2） 如无穷数列 bn 是等差数列,无穷数列 cn 是公比为正数的等比数列,b1 c5 1,b5 c1 81 , an bn cn ,判定 an 是否 具有性质 P ,并说明理由；（3） 设 b 是无穷数列,已知 a b sin a n N * .求证： “ 对任意 a , a 都具有性n n 1 n n 1 n质P ”的充要条件为 “ bn 是常数列 ” .【答案】（1） 16 ；（ 2） an 不具有性质,理由见解析；（ 3）见解析（1）由于 a5 a2 ,所以a6 a3 ,a7 a4 3 , a8 a5 2 于是 a6 a7 a8 a3 3 2 ,又由于 a6 a7 a8 21,解得 a3 16 - 3 分（2）b 的公差为 20 ,c 的公比为1 ,n n 3n 1 1 所以 bn 1 20 n 1 20n 19 , cn 81 3 5 n 3 a b c 20n 19 3 5 n - - 5 分n n na1 a5 82 ,但 a2 48 , a6 304,