2022年【2016届走向高考】高三数学一轮基础巩固：第9章第1节空间几何体及其直观图三视图解析

1、第九章第一节基础巩固强化、挑选题 1 . （文）（ 2022 陕西检测 ）如图是由如干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中 小 立方体中数字表示相应位置的小立方体的个数,就该几何体的左视图为2321答案 C 解析由俯视图知左视图从左到右能看到的小立方体个数分别为, 2,3,1 ,选 C.（理）（2022 保定调研 ）用如干个体积为1 的正方体搭成一个几何体其正视图、侧视图都是如下列图的图形,就这个几何体的最大体积是（）C. 13 答案 B 解析由正视图、侧视图可知,几何体的体积最大时,底层有 9 个小正方体 , 上面有 22 . （2022 河南南阳三模 ）已知三棱锥的俯视图与侧视图如下

2、列图,俯视图是边长为 2 的正 三角形,侧视图是有一条直角边为个,共 11 个,最大体积为11, 所以选 B . D . 15答案 C 解析由条件得直观图如下列图,正视图是直角三角形,中间的线是看不见的线 PA 形成的投影,为虚线 .应选 C.-1 -3. （文）（ 2022 湖南）一块石材表示的几何体的三视图如下列图,将该石材切削、打磨、加正视 侧视图J i图2工成球,就能得到的最大球的半径等于（）A. 1 C. 3 解析依据三视图得如下列图的三棱柱,即底面ABC 是直角三角形的直棱柱. 要想得到最大的球,只需球与三个侧面都相切 俯视图.由于直角三角形中, 62+ 82= 102,所以直角三

3、角形 ABC 的内切圆半径为6 + 8 10 =2, 故得到的最大球的半径为 2 2. 答案 B （理）（ 2022 浙江理）某几何体的三视图（单位： cm）如下列图,就此几何体的表面积是（）十 4 一| | I n r 儿 | 亠nB. 129cm2D. 138cm2-2 -A. 90cm2 2 C. 132cm 答案 D-3 -解析由题干中的三视图可得原几何体如下列图 . 该几何体由长方体和直三棱柱组成,长方体长、宽、高分别为 柱底面三角形三边长为 3cm,4cm,5cm ,高为 3cm. 6cm 、4cm 、3cm ,直三棱故该几何体的表面积1 S= 2 X 4X 6+ 2X 3 X 4

4、+ 3X 6 + 3 X 3 + 3 X 4+ 3X 5 + 2 X3 x4 2=138 （cm ）,应选 D.4. （2022 昆明调研 ）如图,如一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角B . 2+ 2.2 D . 2 + 2 答案 D 解析依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱锥 P ABCD （如图 ）,其中底面边长为 1 , PD = 1 , PD 丄平面11 1 厂ABCD , SAD = Sz pCD = 2 X 1 X 1 =2, S/PAB = Sz pBC = 2 X 1X2= , S 四边形 ABCD = 12= 1, 因此该几何体的表面积

5、为 2 + . 2, 选 D . 5. （文）（ 2022 山西四校其次次联考 ）如下列图, A B C 是 ABC 的直观图,那么ABC 是 -4 -形,其直角边长均为1,就该几何体的表面积为（）-5 -A .等腰三角形 B .直角三角形C. 等腰直角三角形 D .钝角三角形答案 B 解析由题图知 A C / y 轴, A B/ x 轴,由斜二测画法知,在 ABC 中, AC/ y 轴, AB/ x 轴, . AC 丄 AB. 又由于 A C = A B ,. AC = 2AB 工 AB ,. .念 BC 是直角三 角形, B 项正确 . （理）（ 2022 新课标 I ）如图,网格纸上小正

6、方形的边长为1, 粗实线画出的是某多面体的三视图,就该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为（）D . 4解析由三视图可知,该几何体是一个三棱锥 A. 6 2 C. 4,2 答案 BS ABC ,底面 ABC 为等腰直角三角形 , 直角边长 AB= BC = 4, 侧面 SBC 丄底面 ABC ,侧面 SBC 是一个等腰三角形,底边 BC= 4, 高 SO= 4,故其最长的棱为 SA, 取 BC 的中点 O, 贝 y SO 丄平面 ABC , ABO = 2, AO = AB2+ DO2 =,20,. SA=l AO2+ SO2= 6,其直观图如图 1.把该几何体放入正方体中如图 2.-6 -6.

7、 （文）（ 2022 新课标 I ）某几何体的三视图如下列图,就该几何体的体积为（）-7 -BA . 16+ 8 n B . 8+ 8 nC. 16+16 n D . 8 +16 n答案 A 解析该几何体是一个组合体,其中上面是一个长、宽、高分别为 4,2,2 的长方体,下面是底面半径为 2, 高为 4 的半圆柱,故体积 V = V 上+ V 下=4X 2X 2+IX nX 22X 4= 16 + 8 n.1 理某几何体的正视图与侧视图如下列图,如该几何体的体积为可以是 3, 就该几何体的俯视图A 中为三角形,此时其底面积为I 1 n为 n 舍去,2,舍去； B 为 4 个圆,底面积为4,也舍

8、去, C 为圆,其面积故只有 D 成立 . 1点评假如不限定体积为 3,就如图 在三棱锥 P ABC 中, AC 丄 BC, PC 丄平面 ABC , AC= BC = PC= 1, 就此三棱锥满意题设要求,其俯视图为等腰直角三角形 A ; 如图 2,底半 径为1,高为 1 的圆锥,被截面 POA 与 POB 截下一角, 0A 丄 0B, 就此时几何体满意题设要求,其俯视图为 B ; 如图 3,这是一个四棱锥,底面是边长为 1 的正方形, PA 丄平面 ABCD ,此几何体满意题设要求,其俯视图为 D. -8 -答案 D 解析由正视图及俯视图可知该几何体的咼为1 S 底=1,1,又.其体积为

9、3,故为锥体,二-9 -、填空题7. 2022 武汉武昌区联考 已知某几何体的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是 两个同心圆,如下列图,就该几何体的全面积为 _ . 解析由三视图知该几何体为上底直径为2, 下底直径为6, 高为 2 3 的圆台,就几何答案 26 n正巍曲 . - HbJ I轉找图体的全面积 S= nX 12+ nX 3 + nX 1 + 3 X : 2 3 i + 2 = 26 n.8.个空间几何体的三视图如下列图,就该几何体的表面积为答案 48+ 8 ,17 解析由三视图可知该几何体是底面是等腰梯形的直棱柱,底面等腰梯形的上底为 2, F 底为 4,高为 4. 如图,两

10、底面等腰梯形的面积S1= 2S 梯形ABCD = 2X 1 X 2 + 4 X 4 = 24,-10 -4-11 -作 DiE 丄 AiB i,就 D iE = 4, AiE = 1, AD i= .17, .梯形底面周长为 4 + 2+ 2 i7= 6 + 2 J7 , .侧面积 S2= 6 + 2 i7 X 4= 24 + 8 J7 ,.表面积 S= Si + S2= 48+ 8、. i7.9. （20i3 陕西 ）某几何体的三视图如下列图,就其表. 面积为 _ 正观图 左视图答案 3 n解析此几何体是一个半球,所以表面积为球的表面积的一半加上底面的面积,球半径为 i,故所求表面积为 S=

11、 2 TH- n= 3 n.三、解答题iO. （文）已知一个四棱锥P ABCD的三视图 （主视图与左视图为直角三角形,俯视图是带有一条对角线的正方形 ）如下, E 是侧棱PC 的中点 .求四棱锥 P ABCD 的体积 ; 求证：平面 APC 丄平面 BDE.解析 由三视图可知, AB= BC = i,PC 丄平面 ABCD ,且 PC = 2, 又底面 ABCD 是正方形,故S 正方形ABCD = i ,-12 -1 2 所以 Vp- ABCD = 3X 2X 3= 3. 证明：由于底面 ABCD 是正方形 , 所以对角线 AC 丄 BD, 又 PC 丄平面 ABCD ,而 BD. 平面 AB

12、CD ,故 BD 丄 PC,又 PC n AC = C, 所以, BD 丄平面 APC . 又 BD. 平面 BDE ,故平面APC 丄平面BDE. 理多面体 PABCD 的直观图及三视图如下列图,2 求证： EF / 平面 PAD ; 3 求证： PA 丄平面 PDC .E、F 分别为 PC、BD 的中点 . 解析由多面体 PABCD 的三视图知,该几何体是四棱锥,四棱锥 P- ABCD 的底面 ABCD是边长为 2 的正方形,侧面 PAD 是等腰直角三角形,PA = PD = .2, 且平面 PAD 丄平面 ABCD .-13 -1 连接 AC, 贝 U F 是 AC 的中点 , 又 TE

13、 是 PC 的中点,.在 :PA 中, EF / PA, 又 PA. 平面 PAD , EF. 平面 PAD ,.EF / 平面 PAD .-14 -（2） .平面 PAD 丄平面 ABCD ,平面 PAD n 平面 ABCD = AD,又 CD 丄 AD , . CD 丄平面 PAD ,.CD 丄 FA. n . AD 是等腰直角三角形,且 / APD = 2.即 PA 丄 PD .又 CD n PD = D ,.PA 丄平面 PDC . 才能拓展提升、挑选题11. （文）（ 2022 辽宁鞍山一模 ）几何体的三视图如下列图,就该几何体外接球的表面积为）C. 16 nD . 以上都不对3 答

14、案 C 解析该几何体是底面半径为1 , 母线长为 2 的圆锥,设外接球半径为R,就有（ .3- R）2=R2,解得 R=穿. 故 S 球=4 nX （号）2=咪（理）（ 2022 淮北第一次检测 ）已知某个几何体的三视图如下列图,就该几何体的体积为A. n+ 4n+ 4 3 -15 -HT f Ic. 2 n+ 4 3 答案 B 解析该几何体是由过轴的截面所截得的半个圆锥和一个三棱锥所组成的组合体. 如图所示,圆锥的底面半径为1, 高为 2.11 11 V= 2X 3 X nX 14 5 6X 2 +3X .X 2X 2 X 2 = 3. n+ 4（）12. 文）（ 2022 安徽六校联考 ）

15、如下列图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ADE , BCF 均为正三角形, EF / AB , EF = 2,就该多面体的体积为（C. 答案 A解析方法一：如下列图,分别过 A, B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G, H,连接 DG , CH,就原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱 , 5/.SAAGD=尹 1 X-16 -方法二：如下列图,取 .V= .2 4 X 1 + 2 X 1X 3 EF 的中点 P, 就原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知 斤 2）三. 三棱锥 P AED 和三棱锥 P BCF 都是棱长为 1 的正四周体,四棱锥 1

16、P ABCD 为棱长为 1 的.三棱锥高为 2, 直三棱柱柱高为 1 2,取 AD 中点 M,贝 U MG, -17 -.v= 3X i2x1 + 2 x3X正四棱锥 . （理）（ 2022 北京）在空间直角坐标系 D（1,1 ,O xyz 中,已知 A（2,0,0 ）, B（2,2,0 ）, C（0,2,0 ）, 2）,如 Si、 、 Ss 分别是三棱锥D ABC 在 xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,就C . S3= S i 且 S3 丰 S2 D . S3= S2 且 S3M Si （）A . Si = S2 = S3 B . S2= Si 且 S2 S3答案 D

17、 解 S i=IAB BC = 2, 析S 2= AB DE = .2,Ss= ：BC DE = -.2,.SiS2= S3, 应选 D .i3. （20i4 新课标 n ）如图,网格纸上正方形小格的边长为i（表示 icm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,就切-ii -19 -1 一V = Vi + V2 V= nX 32X 6= 7-7 0-7 .B D .5-9 1-3 2 1 - 2 A c .答案 C 解析由三视图可知,该零件是由两个圆柱组合而成,两个圆柱的体积之和=nX 4+ nX 32X 2 = 34n 底面半

18、径为3cm ,咼为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为 20 n 10 为 54= 27, 应选 C. 54 n 所以切削掉部分的体积为54 n- 34 n= 20 n 故切削掉部分的体积与原先毛坯体积的比值14. （文）一个圆锥的侧面绽开图是圆心角为-n,半径为 10cm 的扇形,就圆锥的体积为、填空题3答案 96 n cm 6 n解析扇形弧长1= 10X 5 = 12 n 设圆锥底面半径为R, 高为 h 就 2 nR= 12 n -R= 6, .h= - 102- 62= 8, 1 2 .体积 V =：nRh = 96 n.（理）（ 2022 长春三校 ）在三棱柱ABC - A B C 中,已知

19、AA 丄平面ABC , AA= 2, _ BC= 2 寸 3,/ BAC = n,且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上,就球的体积为答32 n案3 1 如图,依题意可知,球心 O 到平面 ABC 的距离为 ？AA= 1, 平面 ABC 所在圆的半径为 2BC= .3,就球的半径为 12+ .32= 2, 就球的体积为 fx nX 23= 竽解法探究一般地,在题设条件中有两两垂直的三条线段时,常考虑长方体进行补形. ABEC A B E C ,就此长方体内接于球；./ AA 丄平面ABC , / BAC = 90.可将三棱柱ABC A B C 补成长方体-20 -设球半径为R, 贝 U 2R =

20、AB2+ AC2+ AA 2-21 -. V 球=3n3=32 n 可.: = BC2+ AA 2= 2 3 2+ 22= 4, . R= 2, 15. （文）（ 2022 福州模拟 ）利用斜二测画法得到的 三角形的直观图 - - 定是 三角形； 正方形的直观图肯定是菱形； 等腰梯形的直观图可以是平行四边形； 菱形的直观图肯定是菱形 . 以上结论正确的个数是 _ . 答案 1 解析由斜二测画法的规章可知正确；错误,是一般的平行四边形；错误,由于平行投影保持平行性,所以等腰梯形的直观图不行能是平行四边形；而菱形的直观图也不一 定是菱形,也错误 . （理）如一个螺栓的底面是正六边形,它的正解析由三

21、视图知,该螺栓的上部是一个底半径为（主）视图和俯视图如下列图,就它的体积是0.8 ,高为 2 的圆柱,下部是底面边长为 2,高为 1.5 的正六棱柱,故体积V = nX 0.8 冬 2+ 6X 严X 22X 1.5= 9 , 3 + 4 25 答案 9 .3 + 32n三、解答题16. 已知四棱锥P ABCD 的直观图及三视图如下列图. （1）求四棱锥 P ABCD 的体积；如 E 是侧棱 PC 的中点,求证： FA / 平面 BDE ；-22 -如 E 是侧棱 PC 上的动点,不论点E 在什么位置,是否都有BD 丄 AE .证明你的结论 .-23 -分析由图形确定棱锥的底面和高,再求体积 .

22、 2 欲证 PA / 平面 BDE ,需找一个经过 PA 与平面 BDE 相交的平面,结合 E 为 PC 的中点,AC 与 BD 的交点为 AC 的中点,故取平面 PAC .3 “ 不论 E 在 PC 上的什么位置,都有 BD 丄 AE ” 的含义是 BD 丄平面 PAC .解析 由该四棱锥的直观图和三视图可知,该四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的、 1 2 正方形,侧棱 PC 丄底面 ABCD ,且 PC = 2, . Vp- ABCD = 3S 四边形ABCD PC = 3.连接 AC 交 BD 于 F,如下列图,就 F 为 AC 的中点 , 又 TE 为 PC 的中点, . P

23、A / EF, 又 PA. 平面 BDE , EF. 平面 BDE , . FA / 平面 BDE. 3 不论点 E 在什么位置,都有 BD 丄 AE.证明：连接 AC ,v 四边形 ABCD 是正方形, . BD 丄 AC .PC丄底面 ABCD ,且 BD. 平面 ABCD , . BD 丄 PC. 又 AC A PC = C, . BD 丄平面 PAC ,. . 不论点 E 在 PC 上什么位置,都有 AE. 平面 PAC .不论点 E 在 PC 上什么位置,都有 BD 丄 AE.-24 -17. 文2022 陕西文 四周体 ABCD 及其三视图如下列图,平行于棱 AD , BC 的平面

24、分别交四面体的棱AB, BD, DC , CA 于点 E, F , G , H.-25 -1求四周体 ABCD 的体积；证明：四边形 EFGH 是矩形 . 解析 1由该四周体的三视图可知 , BD 丄 DC , BD 丄 AD , AD 丄 DC , BD = CD = 2, AD = 1 ,.AD丄平面 BDC ,.四周体体积 V = 3x 1X 2X 2X 1 = 3.2 VBC / 平面 EFGH ,平面 EFGH n 平面 BDC = FG,平面 EFGH n 平面 ABC = EH , . BC / FG , BC / EH , . FG / EH. AD , HG / AD , .

25、 EF / HG , 同理 EF / .四边形 EFGH 是平行四边形 . 又 TAD 丄平面 BDC . /-AD 丄 BC, . EF 丄 FG. .四边形 EFGH 是矩形 . 理2022 广东六校联考 已知几何体 A BCED 的三视图如下列图,其中俯视图和侧视图 都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形 . 1求此几何体的体积 V 的大小；求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；-26 -3 摸索究在 DE 上是否存在点Q, 使得 AQ 丄 BQ, 并说明理由 .-27 -解析 1由该几何体的三视图知AC 丄平面BCED ,且 EC = BC= AC = 4, BD =

26、 1 ,1 .S 梯形 BCED = 2 4+ 1X 4= 10,1 1 40 .V= 3 S 梯形 BCED AC = 3X 10X 4 = -3. 40 即该几何体的体积为 3 . 方法一：过点 B 作 BF / ED 交 EC 于 F,连接 AF , 就/ FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角 . 222.cos/ABF = BF + AB AF 22 5 2BF AB 即异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为方法二：如下列图,以C 为原点,以 CA, CB, CE 所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系 . A4,0,0 , B0,4,0 , D0,4,1 , E0,0,4 ,-28 -/.cos DE , AB 2.2 5 .DE = 0, 4,3 , AB = 4,4,0 . 即异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为在 DE 上存在点 Q, 使得 AQ 丄 BQ.取 BC 中点 O, 过 O 作 OQ 丄 DE 于点 Q, 就点 Q