不等式-算术平均数与几何平均数（二）

1、第六章不等式第五课时6.2.2算术平均数与几何平均数（二）教学目标（一）教学知识点1a2b22ab(a，bR)；（a0，b0），当且仅当ab时取“”号.2若a0，b0，且abM，M为定值，则ab，“”当且仅当ab时成立（即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）.3若a0，b0，且abP，P为定值，则ab，“”当且仅当ab时成立（即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）.（二）能力训练要求1学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“”条件.2强化双语教学（三）德育渗透目标本节是探索、研究性课题，始终以学生动口、动脑、动手去探索

2、，应用公式，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功.在分析具体问题特点的过程中，通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自学提高学生思维训练、分析问题和解决问题的能力。教学重点基本不等式a2b22ab和（a0，b0）的应用，应注意：（1）这两个数都必须是正数，例如：当xy4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x+y有最小值4，因为若x，y都是负数且满足xy4，xy也是负数，此时xy可以取比4小的值.（2）这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.（3）要保证“”确实能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.教学难点如何凑成两个数的和或积

3、是定值.教学方法激励探索讨论发现教具准备小黑板或多媒体课件一：记作6.2.2A几个重要的不等式1a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取“”号.2（a0，b0），当且仅当ab时取“”号.32（ab0），当且仅当ab时取“”号.课件二：记作6.2.2B试一试寻思路例1已知x，y都是正数，求证：（1）若积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值；（2）若和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.例2若a0, b0, 求证：a3+b3a2b+ab2课件三：记作6.2.2C练一练求稳固1已知x0，当x取什么值时，x2+的值最小？最小值是多少？2一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园

4、，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？3设0 x2，求函数f(x)=的最大值，并求出相应的x值.课件四：记作6.2.2D议一议谋发展1已知a0，b0, x0, y0, =1, 求证：x+y.2若x, y, zR，x+y+z=1，求证：x2+y2+z2.教学过程师Good morning, everyone.（同学们上午好）生Good morning, teacher.（老师上午好）师Sit down, Please.(请坐)Today well learn the new lesson.（今天我们开始上新课）Are you ready?（准备好了吗？）生Yes.(是的

5、)师OK. Now lets begin.（好！现在开始上课）I课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（以下简称均值不等式）.这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.II讲授新课想一想公式通（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一6.2.2A对照检查其正确性）师谁来回答我们上一节课学的定理呢？生1a2+b22ab(a, bR)，当且仅

6、当a=b时取“”号.（a0, b0），当且仅当a=b时取“”号.师它有哪些推广呢？生22（ab0），当且仅当a=b时取“”号.生3（a0, b0, c0），当且仅当a=b=c时取“”号.a3+b3+c33abc(a0, b0, c0)，当且仅当a=b=c时取“”号.（注：教师可板书公式）师请生3回答，你是如何想到的呢？生3我是通过课本目录，看到P24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.师非常好！请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.试一试寻思路教师打出课件二6.2.2 B，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想例1已知x

7、、y都是正数，求证：（1）若积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）若和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2.生4（1）x, y都是正数，当积xy=P为定值时，有，即x+y.上式中，当x=y时取“”号.故当x=y时，和x+y有最小值.生5（2）x0, y0, x+y2，当和x+y=S为定值时，有，即xyS2.上式中，当x=y时取“”号，故当x=y时积xy有最大值S2.（生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出）例2若a0, b0, 求证：a3+b3a2b+ab2.（思考，解决，问题激励，语言激励）（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索）生6（方法一）a0,

8、 b0, a2+b22ab，a22abb2, a3+b3aa2+bb2a(2abb2)+b(2aba2)=a2b+ab2.生7（方法二）a0, b0, c0, a3+b3+c33abc, 又a0, b0, a2b+ab2=aab+abba3+b3.即a3+b3a2b+ab2.(师：做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高)（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）生8对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当

9、两数相等时，它们的和有最小值.生9在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：（1）函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数.例如，对于函数式x+，当x0时，绝不能错误地认为关系式x+2成立，并由此得出x+的最小值是2.事实上，当x0时，x+的最大值是2，这是因为x0, 0(x+)=(x)+( )2x+2.同时还可以看出，最大值是2，它在x=1时取得.（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.生10在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为基本质特征，而“几何平均数”是以“积”为基本质特征.师上述题

10、目的解决启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）.练一练求稳固（打出课件三6.2.2 C，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式均值不等式，以达到熟练运用均值不等解决问题的能力）III课堂练习1已知x0，当x取什么值时，x2+的值最小？最小值是多少生11x0 x20, 0.x2+218，当且仅当x2=，即x=3时取“”号.故x=3时，x2+的值最小，其最小值是18.2一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？生12（方法一）设矩形菜园的宽为xm，则长

11、为(L2x)m，其中0 x, 其面积S=x(L2x)=2x(L2x)（）2，当且仅当2x=L2x，即x=m时菜园面积最大，即菜园长生13（方法二）设矩形的长为xm，则宽为S当且仅当x=Lx，即xm时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为.3设0 x2，求函数f(x)=的最大值，并求出相应的x值.生140 x0, 83x0，f(x)=，当且仅当3x=83x时，即x=时取“”号.故函数f(x)的最大值为4，此时x=.4利用算术平均数与几何平均数的关系定量（均值不等式），解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3

12、m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？生15设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为m，又设水池总造价为l元.根据题意，得l=150=240000+720(x+)2400007202240000720240297600.当x=，即x=40时，l有最小值297600.故当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.师（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）生16用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行：（留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）（1

13、）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.师同学们完成得很好！我们继续看下面的问题：议一议谋发展打出课件四6.2.2 D通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感觉到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝探究性学习点击高考1已知a0, b0, x0, y0，1，求证：x+y.学生探索、讨论巧用条件“1”的整体代入，变形后应用

14、二元均值不等式.生17（常见的错误解法）由二元均值不等式，得1，即，所以显然上述证法中未出现，证法错了.师谁勇敢地再来尝试一下呢？生18（方法一）1，x+y=(x+y)1（x+y）()(巧用条件)a+b+=，即x+y.生19（方法二）1，设则有x=acsc2，y=bsec2，x+y= acsc2+ bsec2（巧换元）a(1+cot2)+b(1+tan2)，故x+y.生20（方法三）1，xy=xb(解代消元)=(xa)ab（巧配凑）ab=，即xy生21（方法四）若令m=x+y, 与=1联立消去y，就得关于x的一元二次方程，可用判别式法证之.具体步骤：略.师（证法的灵活关键在于条件的巧用）2若x

15、, y, zR，x+y+z=1，求证：x2+y2+z2.学生探索1从所证不等式是二次式，而已知等式是一次式出发，易想到先对条件平方，再设法用二元均值不等式证之.生22（方法一）x+y+z=1，1(x+y+z)2x2+y2+z2+2xy+2yz+2zxx2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)=3(x2+y2+z2)，x2+y2+z2.生23（方法二）3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx(x+y+z)2=1，即x2+y2+z2.生学探索2活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行恰当

16、的分折或配凑.易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=，此时x2=y2=z2=，则有如下证法.生24（方法三），x2+y2+z2生25（常见的错误证法）x+y+z1，令x=t, y=2t, z=+3t(t为参数)则有x2+y2+z2(t)2+(2t)2+(+3t)2+14t2，即x2+y2+z2.师生交流上述证法，一方面，在条件x+y+z=1中，只要确定了x, y, z中的两个字母的值，其第三个字母的值也就自然确定了.而另一方面，令x=t, y=2t, z=+3t后，只要确定了参数t的值即可确定出x, y, z的值.这就是上述证法犯了以特殊代替一般的错误.学生探索3采用增量换元法.生26x

17、+y+z=1，可设x=+t1, y=+t2, z=+t3，则有t1+t2+t3=0.x2+y2+z2=(+t1)2+(+t2)2+(+t3)2=+(t1+t2+t3)+(t12+t22+t32)=+(t12+t22+t32)，即x2+y2+z2.师同学们能从多角度深化题目：“若x, y, zR，且x+y+z=1，求证：x2+y2+z2”吗？（让同学们探索、思考、讨论、解决，问题激励、语言激励）生（齐）能！师需要老师给你们举一些例子吗？生No！我们自己解决！师好！我相信同学们一定会做得很出色！（问题再次激励同学们去探索、创新）（同学们积极探索、讨论，教师巡视、欣赏，指导并帮助个别学生举一些恰当的

18、例子）生27从指数方向推广，有如下例子：（1）若x0, y0, z0，x+y+z=1，求证：x3+y3+z3.（2）若x, y, zR，x+y+z=1，求证：x4+y4+z4.生28从项数方向推广，有如下例子：（1）若a, b, c, dR，a+b+c+d=1，求证：a2+b2+c2+d2.（2）若aiR（i=1, 2, ，n），a1+a2+an1，求证：a12+a22+an2.生29从指数和项数两方面进行推广，有如下例子：若a0, b0, c0, d0, a+b+c+d=1，求证：a3+b3+c3+d3.师棒极了！更深层次的推广，还请同学们在以后的学习中不断探索创新.师点培养学生探究性学习的

19、好习惯，重在点击悟性、打开思路、启迪智慧、授之以法.让学生学会学习、学会思考、学会沟通、学会运用.注重发散思维和聚敛思维训练，脱离题海，给高考“善事”以“利器”之技巧.课时小结师我们一起回忆，小结这节课所学的内容.生（总结）本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件（各因式或项都取正值）；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立.同时，我们用探究性的学习方法，在分析具体问题特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些实际问题，实实在在地提高数学素质，培养我们的创新能力，能顺利面对新的挑战.

20、课后作业（一）1.预习：课本P126.3.1不等式的证明.2预习提纲：（1）用比较法证明不等式.（2）用比较法证明不等式的一般步骤：作差（或商）变形判断差（或商）的符号（差与零或商与1的大小）得证.（二）做一做肯定行课本P11习题6.24、5、7板书设计6.2.2算术平均数与几何平均数（二）想一想公式通（公式性质）试一试寻思路（例题探索）练一练求稳固（内容巩固）议一议谋发展（点击高考知识创新）做一做肯定行（探究学习掌握策略）备课资料一、参考例题1解答下列各题：（1）求函数y=2x2+(x0)的最值.（2）求函数y=x2+(x0)的最小值.（3）求函数y=3x22x3(0 x)的最大值.（4）求

21、函数y=x(1x2)(0 x0, b0, 且a2+=1, 求的最大值.分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.如，若ab为常数k，则当且仅当a=b时，a+b就有最小值2；若a+b为常数s，则当且仅当a=b时，就有最大值s（或xy有最大值s2）.因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.解：（1）x0，2x20，0，当且仅当2x2，即x=时等号成立.故当x=时，y有最小值.（2）y=x2+当且仅当即x=时，等号成立.故当x=时，y有最小

22、值.（3）0 x0，y=x2(32x)=xx(32x)，当且仅当x=32x即x=1时，等号成立.（4）0 x0，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2)，当且仅当2x21x2即x=时，等号成立，当x=时，y2有最大值.由题意可知：y0，故当x=时，y有最大值.（5）a0, b0，且a2+=1, 评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二

23、定三相等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.如下面的几例均为错误的解法.（1）y=x+2，y的最小值为2.错误的原因是，当x0时，就能运用公式.事实上，当x0时，y0, b0)，即a+2b+ab=30(a0, b0)，a+2b，30当且仅当a=2b时取“”号，ab有最大值.当a=2b时有30，即b2+2b15=0.解之得：b1=3，b2=5（舍去），a=2b=6.故当a=6米，b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b+2ab+2a=60(a0, b0).a+2b+ab=30(a0, b0)，b=(0a0且k是比例系数，依题只需ab取

24、最大值.y= 当且仅当a+2=时取“”号，即a=6, b=3时ab有最大值18.故当a=6米, b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：（1）先构造定值；（2）出现关系式；（3）验证“”号成立.3如图，在ABC中，C90，AC3，BC4，一条直线分ABC的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即SBEFSABC，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx, BF=y.解：设BEx, BF=y(0 x4, 0y0, y0, 且x+y=S, xy=P，则下列命题中正确的是A当且仅当x=y时，S有最小值B当且仅当x=y时，P有最大值C当且仅当P为定值时，S有最小值D若S为定值，则当且仅当x=y时，P有最大值答案：D（2）ab没有最大值的条件是Aa2+b2为定值 Ba0, b0，且a+b为定值Ca0, b0，且a+b为定值Dab0, b0, c0，且a+b+c=1，若M，则必有A B