几何学的发展概述(34张)课件

1、章几何学的发展形的认识形是人类对生存空间形式的直接认识从无规则图形逐渐制造出一些规则的形体，形成抽象意义下的几何图形。图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形 从立体图形到平面图形图腾崇拜和宗教礼仪5.2 测量与几何 在几何发展最早的古代埃及，几何一词具有“土地测量”的含义。在古希腊几何学传入中国之后，汉字用几何一词来称谓这门学科，而汉语中“几何”具有“多少”的意思。5.2.1 经验公式 古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法 三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示 圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是直径。这就等于取为3.1605。 四边形的面积公式：（a + c）（b +

2、d）/4（其中a、b、c、d依次表示边长）。 高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截体的体积公式：V = (1/3) h (a2 + ab +b2)5.2.2 求积方法 勾股术与图证 “析理以辞，解体 用图” “弦图” 大方 = 弦方 + 2矩形， （1） 大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形， （2） 比较（1）与（2），得 弦方 = 勾方 + 股方。 图5.5 伏羲手持规，女娲手持矩阿基米德的双重方法用力学原理发现公式，再用穷竭法加以证明如图5.11抛物线有内接三角形PQq，其中P与Qp中点V的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形的面积，与三角形

3、QPq的面积之比是4：3。阿基米德进而使用穷竭法证明图5. 11 阿基米德的双重方法求面积5.2.3 多边形数最早的演绎几何学 几何原本（约公元前300年，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论体系几何学。标志着人类科学研究的公理化方法的初步形成， 几何原本共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了465个命题。5.3.1 原本的公理化体系 原本的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理(465个命题)。使整个几何知识形成了一个演绎体系 公设：（1

4、） 从任一点到任一点作直线是可能的。（2） 把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当于今天我们所说的线段。）（3） 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。（4） 所有直角彼此相等。（5） 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。 公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。从现代公理化方法的角度来分析，原本的公理化体系存在着以下一些缺陷。 没有认识到

5、公理化的体系一定建立在一些原始概念上 原本的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” 插入图5.185.3.2 原本中的几何方法 原本在证明相关结论中使用了多种几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几何证法,等等。这些方法是人类早期研究图形性质的数学方法，在现代基础教育中仍发挥着积极的作用。 举例如下：毕德哥拉斯定理，原本使用几何的证法如下：如图5.19，先证明ABDFBC，推得矩形BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正方形AK等积。 5.4 三大作图问题与圆锥

6、曲线三个作图问题： 倍立方，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍； 三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分； 化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来求解这三个作图题的不可能性，然而对这三个问题的深入探索引出大量的发现。其中包括 圆锥曲线理论 梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发现了圆锥曲线：插入图5.24 阿波罗尼斯的圆锥曲线论将圆锥曲线的性质全部囊括 其中圆锥曲线的定义方法如下：插入图5.255.5 坐标几何与曲线方程思想 17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几何方法的局限性，认识到利用代数

7、方法来研究几何问题，是改变传统方法的有效途径。 并为此开始了各自的研究工作，把代数方程和曲线、曲面的研究联系在一起笛卡尔的工作 几何学是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未知长度x，经过代数运算知道x满足x= ， 他画出x的方法如下：如图5.27作直角三角形NLM，其中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM 的长度。插入图5.27曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的含x和y有限次代数方程来表示的曲线费马

8、的工作 费马关于曲线与方程的思想，源于对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数表述式。5.6 罗巴切夫斯基几何学 在欧几里得几何学中第五公设（即平行公理）的研究过程中，人们不自觉地将得到了许多第五公设的等价命题。发现了罗巴切夫斯基几何学5.6.1 第五公设及其等价命题等价命题 普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等于两个直角；每个三角形的内角和都相同；通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截线；存在两个相似而不全等的三角形；毕达哥拉斯定理；过不在一直线上的三点可作一圆；圆内接正六边形的一边等于此圆的半径；四边形的内角和等于四

9、个直角；一。个等价命题的证明：如果任意三角形内角和都等于，那么过线a外一点A只能引进一条直线与a不交。证明 过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b，则a与b必定不交。 假如另有一条直线AC与a不交，记锐角BAC为 ，在直线a上取点B1，使B1、C在AB同侧，且使AB1B= 。按假设，直角ABB1内角和等于，所以B1AB= aCAB= ，（因为 ）。于是，作得一个ABB1,而直线AC经过其内部，所以AC必与底边BB1相交。这与AC与a不相交的假设矛盾5.6.2 非欧几何学的先兆从反面证明第五公设，意大利耶稣会教士、数学家萨凯里（16671733）于1733年第一次发表了其极具特色的成果。离开了

10、求证第五公设的目标，朝向创造非欧几何的目标靠拢但是，他们没有认识到欧几里得几何并不是在经验可证实的范围内描述物质空间性质的唯一几何5.6.3 奇异的罗巴切夫斯基几何学罗巴切夫斯基非欧几何的平行公理：设a是任一直线，A是a外任一定点。在a与A所决定的平面上，过点A而与a不相交的直线，至少有两条罗巴切夫斯基非欧几何命题 三角形内角和都是小于的，而且其和量因三角形而异，并非一个常量。 同一直线的垂线及斜线，并不总是相交的。 不存在相似而不全等的两个三角形。 如果两个三角形的各内角对应相等，则它们必定是全等的。 存在着没有外接圆的三角形。 三角形三边的中垂线并非必定交于一点。 在平面上一条已知直线a的

11、同一侧，与已知线a有给定距离的点的 轨迹是一曲线，它上面的任意三点都不在一条直线上。 在任一角内，至少存在这样一点，通过它不能做出一条同时与两边相交的直线。 圆内接正六边形的边大于此圆半径5.7 几何学的统一性与现实性5.7.1黎曼几何 德国数学家年提出另一种非欧几何学黎曼几何（黎曼。1854年）直接起源于微分几何的研究黎曼几何的平行公理，是假设过直线外一点不存在与已知直线平行的直线。在黎曼几何中，三角形的内角和大于两直角，圆周率小于5.7.2非欧几何学的“现实性”直到19世纪初，所有的数学家都认为欧氏几何是物质空间和此空间内图形性质的正确描述。并且“空间”也专指当时人们所唯一了解的欧几里得空

12、间罗巴切夫几何自诞生之日起，其命题的合理性就不断引起人们的怀疑。非欧几何早期的发现者们为了验证它的合理性，曾作过一些实际的测定。历史的事实却残酷的告诉我们，罗氏几何迟至今日也没能在物理空间找到应用，只有在逻辑的范畴内，利用公理化的思想与方法找到它存在的“合理性”黎曼几何在相对论中的现实应用。爱因斯坦说：“我特别强调刚才所讲的这种几何学的观点，因为要是没有它，我就不能建立相对论。”5.7.3 爱尔兰根纲领19世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出与解析几何相媲美的射影几何学爱尔兰根纲领（克莱因，1872年）：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何只是研究

13、与特定的变换群有关的不变量。克莱因以射影几何为基础、对几何学做了如下的分类： 利用不变性研究图形的性质，为初等几何的研究提供了新的方法。 例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切线变为圆的切线。我们不妨将原命题应用仿射变换转化为相应的圆的命题：设ABC为圆内接三角形，以其顶点作切线构成了切线三角形A1B1C1。如果A1B1AB. B1C1BC。那么A1C1AC。一旦我们证明了这个有关圆的命题，再利用仿射变换下“平行”为不变性，便可知原命题成立。5.8 几何基础与公理化方法5.8.1 公理化方法非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数学家注意到古希腊把公理当作自

14、明的真理的局限性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。公理集合的性质 相容性，即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的； 完备性，即理论系统中的定理都可以从公理导出 独立性，即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑 结果。在任何一个公理系中，不加定义的概念例如几何学中的“点”和“线”，它们在物理领域中的“意义”或关系，在数学上是非本质的。它们被当作纯粹抽象的东西，它们在演绎系统中的性质，完全用公理的形式加以界定5.8.2 欧氏几何公理体系的严密化希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组公理联结三种对象及其间的三种关系（六个原始概念）。如果在这个公理体系中去掉第三种几何基

15、本对象（“平面”）以及与它有关的各条公理，余下来的公理和五个原始概念就可以构成一个“平面几何的公理系统”。希尔伯特公理集可以排除欧氏几何证明中的直观成分。例如，用公理IV给出下述命题的证明：命题：联接圆内的一点A与圆外一点B的直线段与该圆周有一个公共点。 图5.33 圆内外两点连线必与圆相交的证明事实上，令O为给定圆的圆心，r为半径，C为从O到AB线段的垂线。线段AB上的点可被分为两类：对于一些点P，OPr，和对于一些点Q，OQr。可证明：对每一种情况，CPCQ。根据戴德金的公设，在AB上存在一个点R，使得：所有位于它之前的点属于第一类，并且所有位于它之后的点属于第二类。于是OR不小于r，否则

16、我们能在R和B之间选AB上的点S，使得RSrOR，但是，因为OSOR+RS，这意味着谬论：OSr。类似地，能证明：OR不大于r。因此，我们必定有OR = r，于是定理得证。5.8.3 公理集合的相容性形式公理体系的相容性证明的模型方法 例如，平面几何公理系统的解析模型罗巴切夫斯基几何学的模型相对相容性的解决方法选用一个，大家都相信它具有逻辑相容性的领域（比如上面这个代数领域），用这里的材料来保证陌生公理体系的相容性。 厐加莱不无挪揄的指出：为了防止狼，牧羊人修起了栅栏，但却不知道羊圈里是否还有狼5.9 学校中欧氏几何的教育 中学欧氏几何的教学的目的，主要有两种类型： 发展学生的演绎推理的能力，

17、 培养空间想象和空间推理能力5.9.1 几何逻辑思维发展的培养模式平面几何的课程体系就成为逻辑思维发展的主要思维材料课程体系要适应几何思维发展的需要在整合状态下实现概念、定理的认知发展注意数学方法的中介作用组织问题解决的思维训练5.9.2 空间观念的培养策略 空间能力主要包括空间定向和空间想象能力 前者是理解空间中对象的相互位置关系，并能对其进行操作，例如能够在大楼里或街道之间顺利地行进。空间想象是指能够在二、三维空间的条件下对想象的物体运动，如反射、平移、旋转等操作 对周围的环境直接感知的基础上观察、想象、比较、综合、抽象分析等众多思维方法，达到对空间与平面相互关系的理解和把握。 物化那些感

18、知到的、在直观的水平上有所把握的“转化”关系 运用图形形象的描述问题，利用直观进行思考。直观思考是没有经过严格演绎推理的“形象化”的推理，是结合情景进行的思考 重视现实世界中有关的空间与图形的问题1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力!4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无

19、言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。8、有些事，不可避免地发生，阴

20、晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求

21、安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋!16、人生在世：可以缺钱，但不能缺德;可以失言，但不能失信;可以倒下，但不能跪下;可以求名，但不能盗名;可以低落，但不能堕落;可以放松，但不能放纵;可以虚荣，但不

22、能虚伪;可以平凡，但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。2、时间是最公平的，活一天就拥有24小时，差别只是珍惜。你若不相信努

23、力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一

24、次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都