行列式的性质

1、行列式的性质基本性质性质1行列式和它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式。推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去,行列式不变。般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为

2、行列式的计算做准备a11a12La1na11a21Lan1a21a22La2nfT3)2a22Lan2,DMMMMMMan1an2Lanna1na2nLann称行列式Dt为D的转置行列式.Dt可以看成是D的元素沿着主对角线旋转180所得,亦可看成是将D的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）性质1.1行列式的值和其转置行列式的值相等，即证明将等式两端的行列式分别记作证明将等式两端的行列式分别记作D和DT，对行列式的阶数用数学归纳法当n2时，可以直接计算出D当n2时，可以直接计算出DDt成立，假设结论对小于n阶的行列式都成立，下a11a12La1na21Lan1a21a22La2

3、na12a22Lan2MMMMMMan1an2Lanna1na2nLann面考虑n阶的情况.根据定义玄21人21a11A1T根据归纳假设aTA11,D*11A1112321312313M332333Man2an3M*12*22*42L*n2*13*23*43L*n3MMMM*1n*2n*4nL*nn*12*22L*n12n*n1*13*23L*n13MMM*1n*2nL*n1ni3nn13*31ainaina3n由归纳假设，可以把上面1阶行列式都按第列展开,并将含a12的项合并在一起，其值恰好等于312A|2，事实上12*33L*n313*23*43L*n31*21*12MM1*31*12MM

4、M*3nL*nn*2n*4nL*nnnan1a12323M13Ma3n2*1232102*12312其中余子式M12M12.333M0*3nL*nn*21*31L*n1*23*33L*n3a2na3n3nnT12*12M12是M12的行、323Ma2n3310121M12312A2，34n列互换后的行列式，他们都是an3M3nn323Ma2n1阶行列式,3n13M3n1n3n10根据归纳假设类似地，把含a13的项合并后其值等于a13A|3,L,把含a1n的项合并后其值等于a1nA|n,因此DDt.由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有.因而，下面关于行列式的性质将仅对行叙述.性

5、质1.2对行列式(1.3)中的任一行按下式展开，其值相等，即等于行列式的值a21a22LMMan1an2La21a22LMMan1an2Laiiannaina2nMai1Ai1ai2Ai2L(i1,2,L,n)(1.4)其中f(1)ijM0,Mj为D中划掉第i行和第j列的全部元素后，按原顺序排成的n1阶行列式Mja11La1j1a1j1La1nMMMMai11Lai1j1ai1j1Lai1nai11Lai1j1ai1j1Lai1nMMMMan1Lanj1anj1Lann并称Mj为元素aij的余子式，Aj为元素aj的代数余子式证明对行列式的阶数用数学归纳法当n2时，可以直接计算出结论成立假设结论

6、对小于n阶的行列式都成立，下面考虑n阶的情况.DanA11a12A12L根据定义a1nA1na22a23La2na21a23La2na32a33La3n121a12a31a33La3nMMMMMMan2an3Lannan1an3Lann3a21a22a24La2na31a32a34La3nMMMMan1an2an4Lannai3a21a22La2n1n為a32La3n1CnMMMan1an2Lannn个n1阶行列根据归纳假设Aij可以按照第i1行展开，于是由归纳假设，把上面aiAi，事实上（不妨取aiAi，事实上（不妨取a1na21MM式都按第i1行展开，并将含ai1的项合并在一起，其值恰好等

7、于a33La3na32a34La3n12131*12玄21MM1a13a21MMMan3Lannan2an4Lanna3n1a120L00a13L00L0Qn120a33La3na320a34a3n比2La3n101a21LMMMMMMMMM0an3Lannan20an4annan2Lann10an2ann1a13La1n1a33Lan2an3La3nMann21a211M21a21A21类似地，把含a22的项合并后其值等于，把含a2n的项合并后其值等于a2nA2n,因此，D因此，Da1nA1na21A21a22A22La2nA2n.性质1.5行列式两行相同值为零，即a11a12La1nLLL

8、Lak1ak2LaknLLLL0al1al2LainLLLLan1an2Lanna11a12La1nLLLLak1ak2LaknLLLL0al1al2LainLLLLan1an2Lann(1kIn)(1.7)其中akiaii(i1,2,L,n).证明利用数学归纳法，对于二阶行列式,(1.7)式显然成立假设1.7)式对于n1阶行列式成立，即如果n1阶行列式两行相同，则值为零a11耳2La1na21a22La2naj1Aj1aj2Aj2LMMMan1an2LannD按第j行展开(k,l)，ajnAjn在n阶的情况下，对行列式在n阶的情况下，对行列式由于Aji(1)jMji(i1,2,Ln)，且Mji为n1阶行列式且两行相同，因此Aji0.所以，D0.例.计算TOCo1-5hz(7XXXxax.x3=：xxx-a解：由于该行列式的所有列加到一起得同一个数a+(n-1)x，我们就根据这一特点