概率论与数理统计：ch4-1数学期望

1、第四章 随机变量的数字特征Numerical characters of r.v.s引入r.v.某一方面的概率特征都可用数字描述r.v.的平均取值数学期望；r.v.的取值偏离平均值的情况方差；描述两个r.v.s之间的某种关系协方差、相关系数第一节 数学期望Expectation讨论：分赌金 A与B赌钱，每人事先拿出6枚金币做赌金。每局两人胜的概率相同，约定先胜3局者获得所有赌金。 现A获胜2局而B获胜1局。同时，由于某些原因赌局不能继续。问如何分配这12枚金币？问题：为什么按最终获胜的概率之比去分配赌金是公平的？“期望”的引入 假如某人在一场赌博中以概率p赢得a元，以概率q(q=1-p)赢得b

2、元，则他在该局赌博中所能期望的收入为pa+qb元这就是数学期望（简称期望）这个名称的由来。其初始形式由Huygens于1657年提出，是简单算术平均的一种推广。定义(离散型r.v.)定义(连续型r.v.)例1 某医院当新生儿诞生时，医生根据婴儿的情况进行评分，设得分X是一个r.v.，根据以往资料其分布律为求X的期望E(X)。X012345678910pk.002.001.002.005.02.04.18.37.25.12.01例2例3按规定，某车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰有一辆客车到站，但到站时间随机，且两者到站时间相互独立，其规律为一旅客8:20到车站，求他候车时间的期

3、望。X8:109:108:309:308:509:50pk1/63/62/6例4某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式。记使用寿命为X（以年计），规定：X=1，每台付款1500元；1X=2，每台付款2000元；2X3，每台付款3000元。设寿命服从E(10)，试求该商店一台这种家用电器收费Y的期望。例5 普查某稀有疾病，抽血化验，样本量为N，考察两种方式：每人分别检验，即化验N次；k个人为一组，血液混合后检验若为阴性，则k个人均为阴性，即化验1次即可；否则，再对此k个人分别化验，即共化验k+1次；假设阳性率为p（p很小），选择适当的k，可减少化验次数。当p=0.1时，k取什么值最合适

4、，p=0.01时呢？p=0.1p=0.01例7随机变量XU(a,b)求E(X)。r.v.函数的期望（1）r.v.函数的期望（2）多维r.v.函数的期望（选读）例8设风速VU(0,a)，飞机机翼收到的正压力W是V的函数：W=kV2(k0，常数)求W的期望。例10某公司开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失。再者，他们预计销售量Y(件)服从E()。问，若要获得利润的数学期望最大，应该怎样安排生产？（假设m,n, 已知）期望的性质(1) E(c)=c; (c为常数)(2) E(cX)=cE(X); ( c为常数)(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y);(5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2). (Cauchy-Schwarz不等式)例12一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)（假设每