《数学物理方法》课程六

1、主讲教师:冉扬强数学物理方法课程六 第四章 解析函数的幂级数表示第二节 幂级数与解析函数第三节 罗朗级数第四节 单值函数的孤立奇点 第四章 解析函数的幂级数表示第二节 幂级数与解析函数 二、解析函数的幂级数表示泰勒定理：设 在区域D内解析， ，只要圆 含于D内，则 在K内 能展成幂级数 其中系数 并且展式是唯一的。 讨论：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用系数公式来求系数，即可用简接法展开。 (2)由于幂级数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，解析函数的充分必要条件可表为： 在D D 内解

2、析 在D内任一点的某邻域内可展成幂级数(泰勒级数)。 （3） 几个初等函数的泰勒级数 第三节 罗朗级数一、双边幂级数的收敛圆环 对于第一个级数，它是幂级数，故它在收敛圆 ( )内表示一个解析函 数，对第二个级数，作代换 得 设它的收敛区域为 ( )， 即上级数在 内表示一个解析函数。 即： 这样: 故知级数(2)在 ( )内 表示一个解析函数. 这样级数(1), (2)有公共的 收敛区域：园环 这时，我们称级数(1)与级数(2)之和为一双边幂级数. 表示为： 其收敛区域为圆环： 定理：双边幂级数 在收敛圆环 上绝对收敛并且内闭一致收敛， 它的和函数在其上是解析函数. 二、解析函数的罗朗展式 定

3、理(罗朗定理)：在圆环H : 内的解析函数 必可展成级数: 系数 称为罗朗系数，展式称为罗朗级数. 为圆周 ，并且展式是唯一的. 讨论：1)由于在圆所围区域可能有奇点，因此， 不能用哥西公式把系数记为： 2)由于展式的唯一性，可用任何方法来求一个在圆环内解析的函数的罗朗展式，而不一定用系数公式来求. 3)如 在D 上有奇点，可作一个圆包 围所有的奇点，那么在该圆的外部区域， 为解折函数，可展为罗朗级数.4)同一函数在不同的圆环内，其罗朗展式也不同. 三、罗朗展式举例 1、孤立奇点：若函数 在 不解析(不解析包括不可微或无定义)，而在 的某无心邻域(即除去圆心的某个圆)内解析，则称 是 的一个(

4、单值性)孤立奇点。如果在 的无论多么小的邻域内，总有除以 外的奇点，则 是 的 非孤立奇点。例如：函数 它有孤立奇点 又如，函数 ，z = 0是它的 非孤立奇点. 因为 的奇点是 ， 即： , 显然可以任意 接近 z = 0点. 这就是说 z = 0 的无论多么小的邻域内，函数总有异于z = 0 的奇点. 如果 a 为 的单值性孤立奇点，则必存在R，使 在 内可展成罗朗级数. 例1：函数 有孤立奇点 在 内有： 在 内 例2： 有孤立奇点 z = 0，并且在 内有 罗朗展式.例3、将 在 及 ， 内分别展开成罗朗级数. 解：(i). (ii). (iii). 第四节 单值函数的孤立奇点 一、孤

5、立奇点的三种类型 如果 a 为 的孤立奇点，则在a的某无心邻域内可以展成罗朗级数 称 为 在a点的正则部分,而称 为 在a点的主要部分. 孤立奇点分为三种： (i). 可去奇点：如果 在a 点没有主要部分， 则称a 为 的可去奇点. (ii). m阶极点：如果 在a点的主要部分有有限多项，设为: 则称a为 的m阶级点. (iii).本性奇点：如果 在a点的主要部分有无限多项，则称a为 的本性奇点. 二、可去奇点 是 可去奇点的充要条件为下列条件之一： (i). 在a 点没有主要部分 (ii). 存在并且有限 (iii). 在a的充分小邻域内有界 三、极点 为 的m 阶极点的充要条件是下列条件之一： (i). 在a点的主要部分为 (ii). 在a 的某无心邻域内能表示成 其中 在a的邻域内解析， 且 . (iii).若a为 的m阶零点，则a为 的m阶极点.