高等数学下册知识点

1、高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数向量及其线性运算向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；线性运算：加减法、数乘；空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；利用坐标做向量的运算：设，则 , ； 向量的模、方向角、投影：向量的模：；两点间的距离公式：方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦：投影：，其中为向量与的夹角。数量积，向量积数量积：1）2）向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律 曲面及其方程曲面方程的概念：旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面二次曲面椭圆锥面：椭球面：旋

2、转椭球面：单叶双曲面：双叶双曲面：椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：椭圆柱面：双曲柱面：抛物柱面：空间曲线及其方程一般方程：参数方程：，如螺旋线：空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影平面及其方程点法式方程： 法向量：，过点一般式方程：截距式方程：两平面的夹角：， 点到平面的距离：空间直线及其方程一般式方程：对称式（点向式）方程： 方向向量：，过点参数式方程：两直线的夹角：， 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第九章 多元函数微分法及其应用基本概念距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。多元函数：，图形：极限：连续：

3、偏导数：方向导数： 其中为的方向角。梯度：，则。全微分：设，则性质函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法定义： 复合函数求导：链式法则 若，则 ，隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）应用极值无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令，若，函数有极小值，若，函数有极大值；若，函数没有极值；若，不定。条件极值：求函数在条件下的极值令： Lagrange函数解方程组 几何应用曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处

4、的切线方程为：法平面方程为：曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分二重积分定义：性质：（6条）几何意义：曲顶柱体的体积。计算：直角坐标，极坐标 三重积分定义： 性质：计算：直角坐标 -“先一后二” -“先二后一”柱面坐标，球面坐标应用曲面的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分定义：性质：1） 2） 3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧 L的长度)计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则对坐标的曲线积分定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：性质： 用

5、表示的反向弧 , 则计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，则.格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则 曲线积分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分对面积的曲面积分定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 计算：“一单二投三代入”，则对坐标的曲面积分预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有

6、界函数，定义 同理，性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则计算：“一投二代三定号”，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。高斯公式高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：斯托克斯公式斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:环流

7、量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数常数项级数定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。性质：改变有限项不影响级数的收敛性；级数，收敛，则收敛；级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）审敛法正项级数：，定义：存在；收敛有界；比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散.比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，而发散，则发散. 比较法的极限形式：，为正项级数，

8、若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。常见典型级数：几何级数：p -级数：函数项级数定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；幂级数：收敛半径的求法：，则收敛半径 泰勒级数 展开步骤：（直接展开法）求出；求出；写出；验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）傅里叶级数定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是