简单几何体的外接球和内切球 素材-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、简单几何体的外接球和内切球问题正方体或长方体：1正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半2长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半3补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2 （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示 （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1 图2 图3 图4例1.设正方体的棱长为 EQ f(2r(3),3)，则它的外接球的表面积为（ ）A B2 C4D 例2.一个长方体的各顶点均在同一球

2、的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 练习1：三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度分别为，则其外接球半径为 。练习2：如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是 . 练习3：如右图所示三棱锥A-BCD,其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为_. 二、直三棱柱：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：

3、算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例3.直三棱柱ABC-ABC的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）A12B16C28D36练习1：在直三棱柱中，,则直三棱柱的外接球的表面积 .练习2：直三棱柱的各顶点都在同一球面上，AB=AC=AA1=2,则此球的表面积等于 。 三、正棱柱：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点例4.各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .练习1：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 . 四、直棱锥：

4、侧棱垂直于底面如图，平面，求外接球半径.解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 .例5. 在三棱锥中，,，则三棱锥外接球的表面积 . 练习1：三棱锥S_-ABC中，SA面ABC，SA=2。ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为 .练习2：若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球的球面上，平面， ，则球的表面积为 . 五、正棱锥：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可

5、通过计算找到。例6.已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) B. C. D. 练习1：已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ）A. B. C. D. 练习2：如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是BCD练习3：体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .六、若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心例7.三棱锥A-BCD中，BAAD，BCCD，且AB

6、=1，AD=，则此三棱锥外接球的体积为 . 练习1：在矩形中，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 内切球（一）相似：正棱锥的内切球问题例1已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_.练习1：若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（）A2：1B4：1C8：1D8：3（二）等体积法例2.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥M-ABCD为阳马，侧棱MA面ABCD，且MA=BC=AB=2，则该阳马的内切球表面积为（ ）A. B. C. D.例3.已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（）ABCD练习