《几何与代数》 科学出版社 第二章 矩阵3

1、 几何与代数 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 东 南 大 学 线 性 代 数 课 程教学内容和学时分配 第二章 矩 阵教 学 内 容学时数2.1 矩阵的代数运算 22.2 可逆矩阵22.3 分块矩阵12.4 矩阵的秩12.5 初等矩阵22.6 用Matlab解题 1思考题：（学会归纳总结）矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的？矩阵乘积的交换律一般情况下不成立，但有一些特殊情况是成立的，此时称A,B是可交换的。请列举出矩阵乘积可交换的情况。1. 方阵的正整数幂 只定义在n阶方阵上的运算A可逆 |A| 04. 伴随矩阵 5. 可逆矩阵 A2=AA,Ak+1=AkA3. 行列式 2. 对称矩阵AT =

2、 A 数量矩阵 En单位矩阵En |A|: Rnn R对角矩阵(iij)1. 方阵的正整数幂 乘积可交换的运算4. 伴随矩阵 5. 可逆矩阵 AkAl=AlAk3. 行列式 数量矩阵 En单位矩阵En (a Em) Amn = Amn (a En) 2. 对角矩阵(iij) = 第二章 矩阵二. 逆矩阵的运算性质一. 可逆矩阵1. 定义 2.2 逆矩阵 定义在n阶方阵上A可逆，若 方阵B使得AB=BA=E.A可逆 |A| 0|A1| = |A|1. (AT)1 = (A1)T. (AB)1 = B1A1. 2. 伴随矩阵 推论. 设A,B为方阵, 若AB = E(或BA = E), 则B=A1

3、.穿脱原理例 9. 求下列方阵的逆矩阵.(1) A =1 23 4 ,1 2 32 2 13 4 3(2) B =.解: (1)A1 =|A|1A*= 21.(2) |B| = 2 0, B1 =|B|1B*B11 = (1)1+12 14 3= 2,B21 =6, B22 = 6, B23 = 2, B31 = 4, B32 = 5, B33 = 2. 2 3 2 =21. B12 = 3,B13 = 2, 42314 526 6 2A1 =|A|1A*.当n2, |A| 0时, 有 主换位, 副变号 线性方程组 Ax=b, 能否在一定条件下引进 A-1 的概念,使得解为 x = A-1b

4、?问题的提出:例10 设方阵A可逆，则注7: 矩阵乘法的消去率一般不成立.补充: 但是，消去率在A可逆时成立.1.4 线性方程组的求解Cramer法则 在D=|A|0有唯一解 x1 =D1D,x2 =D2D, , xn =DnD. 第一章 行列式和线性方程组的求解 按第一列展开记D =a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann, D1 =b1 a12 a1n b2 a22 a2n bn an2 ann,= a11A11= b1A11+ an1An1+bnAn1 Di = b1A1i +bnAni , i = 1,2,n即Ax=b (Cramer法则). 若D=|A|

5、0, x1 =D1D, , xn =DnD. 则Ax = b有唯一的解 由Ax = b可得 x =A1b 证明:因为D=|A|0,所以A可逆.该法则的适用范围：解n元线性方程组|A|0第二章 矩阵 2.2 可逆矩阵 求矩阵X使AXB = C.1 2 32 2 13 4 3B =,例11. 设A =1 23 4 ,1 2 33 0 1C =,解: 由例9可知A, B都可逆. 故AXB = C A1AXB = A1C XB = A1C XBB1 = A1CB1 X = A1CB1 .因此X = 21 4 23 11 2 33 0 121 2 6 43 6 5 2 2 2 4 20 141 10 7

6、=.12第二章 矩阵 2.2 可逆矩阵 解：例12. 设三阶方阵A,B满足第二章 矩阵 2.2 可逆矩阵 所以 A1 E 可逆.| A1 E | 0.(右乘 A1)(提公因子B, 注意乘法顺序)左乘第二章 矩阵 2.2 可逆矩阵 例12. 设三阶方阵A,B满足第二章 矩阵 2.2 可逆矩阵 定理2.2. 方阵A可逆的充分必要条件是|A| 0. 当n2, |A| 0时, 有 A1 =|A|1A*.推论. 设A,B为方阵, 若AB = E(或BA = E), 则B=A1.1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. A为方阵, 若|

7、A| = 0, 则称之为奇异(或退化)矩阵. 若|A| 0, 则称之为非奇异(或非退化)矩阵. 可见, A可逆 |A| 0 A非奇异(非退化).singular第二章 矩阵二. 逆矩阵的运算性质一. 可逆矩阵三. 克拉默法则1. 定义 2.2 逆矩阵 定义在n阶方阵上A可逆，若 方阵B使得AB=BA=E.A可逆 |A| 0 A非奇异(非退化).|A1| = |A|1. (AT)1 = (A1)T. (AB)1 = B1A1. 2. 伴随矩阵 若|A|0,则Ax = b有唯一的解 xj =DjD, j=1,2,n.若|A|0,则Ax = 0 只有零解. 解n元线性方程组|A|0第二章 矩 阵2.

8、3 分块矩阵 一. 矩阵的分块 二. 分块矩阵的运算线性运算转置乘法三. 分块矩阵的应用2.3 分块矩阵一.矩阵的分块 在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。 A21B112.3 分块矩阵一.矩阵的分块 在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。 A1A2122 处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小 矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的子块. 定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵. 矩阵分块的三个原则: 体现原矩阵特点. 根据问题需要. 能够把子块看作元素进行运算. 2.3 分块矩阵一.矩阵的分块 第二

9、章 矩阵 2.3 分块矩阵 三种特殊的分块方法 设A为mn矩阵, 记Aj为A的第j列, i为A的第i行(j = 1, , n, i = 1, , m), 则有如下两种重要的分块方法A = (A1, A2, , An), 1 2mA =A =A1 O OO A2 O O O As,其中A1, A2, As都是方阵, 则称A为分块对角阵(或准对角矩阵).二. 分块矩阵的运算分块加法 A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bs1 Bs2 Bsr,设矩阵A与B是同型的, 采用相同的分块法分块将A与B分块如下A11

10、+B11 A12+B12 A1r +B1r A21+B21 A22+B22 A2r +B2r As1+Bs1 As2+Bs2 Asr +Bsr .A + B =第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 二. 分块矩阵的运算分块加法 设矩阵A与B是同型的, 采用相同的分块法分块将A与B分块如下第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 设矩阵A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr, 为常数.A11 A12 A1r A21 A22 A2r As1 As2 Asr.则A =2. 分块数乘第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 3. 分块乘法 设A为ml 矩阵, B为l n 矩阵, 将它们分块如

11、下A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,Ai1, Ai2, , Ait的列数分别与B1j, B2j, , Btj的行数相等. (i = 1,2,s; j = 1,2,r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中Cij = AikBkj ,则AB =k=1t第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 例1 求AB:解1：60 将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的 . 只要前一矩阵列的分法与后一矩阵行的分法 一致在例1中例1 求AB:解2：其中Ai , Bi 都

12、是同阶方阵，i = 1,2, , s. 分块对角矩阵的乘法 设A =A1 0 0 0 A2 0 0 0 As,B =B1 0 0 0 B2 0 0 0 Bs,则 AB =A1 B1 0 0 0 A2 B2 0 0 0 As Bs.第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 设矩阵A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT AsrT.则 AT =4. 分块转置 分外层内层双重转置 AT = A1, A2, , AnT= 1T, 2T, , mT . 1 2mAT= A1T A2TAnT =T注意!

13、 第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 例2第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 4. 分块转置 分外层内层双重转置 设A, B为s 阶t 阶可逆矩阵,Cst,Ots ,求解: 设X1 X2X3 X4A CO BEs OO Et=, 则AX1 + CX3= EsAX2 + CX4= OBX3 = OBX4 = Et|解得X4 = B-1, X3 =O, X1 = A-1, X2 = A-1CB-1. 所以A-1 A-1CB-1 O B-1X1 X2X3 X4=.A CO B -15. 分块求逆 A CO B -1第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 则A可逆的充分必要条件是A1, A2, , As都可逆. 且当

14、A1, , As都可逆时,有6.分块对角矩阵的逆矩阵 ,设分块对角矩阵A =A1 0 0 0 A2 0 0 0 AsA1 =A11 0 0 0 A21 0 0 0 As1.其中,A1, A2, As都是方阵, 第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 则A可逆的充分必要条件是A1, A2, , As都可逆. 且当A1, , As都可逆时,有6.分块对角矩阵的逆矩阵 设分块对角矩阵A = 0 0 A1 0 A2 0 As 0 0,A1 = 0 0 As1 0 As-11 0 A11 0 0.其中,A1, A2, As都是方阵, 第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 例3 设矩阵 求 A 的逆 . 解设D = a

15、11 a1m am1 amm D1 =,证明: D = D1D2.,D2 =b11 b1n bn1 bnna11 a1m 0 0 ,am1 amm 0 0 c11 c1m b11 b1n cn1 cnm bn1 bnn 7. 分块矩阵的行列式 A 0 C B0 AB C= |A| |B|= (1)mn |A| |B|A,B为m,n阶矩阵 |A| |B| |C| |D| A D C BA C 0 B=C AB 0第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 = |A1|A2|As|. 8.分块对角矩阵的行列式 |A| =A1 0 0 0 A2 0 0 0 As其中,A1, A2, As都是方阵, 第二章 矩阵

16、 2.3 分块矩阵 2.3 分块矩阵 一. 矩阵的分块 三. 分块矩阵的应用矩阵方程的求解分块对角阵按行按结构按列分外层内层双重转置 转置乘法二. 分块矩阵的运算线性运算线性组合三. 分块矩阵的应用线性方程组的表示形式三. 分块矩阵的应用线性方程组的表示形式之一如何解多个系数矩阵都为A的方程组？AX1 = B1AX2 = B2 AXs = Bs( AX1, AXs ) = ( B1, Bs )A( X1, Xs ) = ( B1, Bs )矩阵方程 AX = BA Rmn, Bj Rm , Xj Rn , j= 1,2, ,s. 用初等行变换求解矩阵方程：(A B)初等行变换 行阶梯阵r(A)

17、 = r(A B)?行最简形无解N初等行变换 Y矩阵方程的求解如何解多个系数矩阵都为A的方程组？XB例4. 求解BY = A, AX = B. 解： 第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 尤其要注意AB = 0时的特殊情况:说明B 的每一列都是齐次线性方程组Ax = 0的一个解. *例5第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 AB的列向量 线性方程组的表示形式之二即称b是向量组 A1, A2, , An 的线性组合。x1, x2, , xn 称为线性组合的组合系数。第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 (AB)的列向量是A的列向量组 A1, A2, , An 的线性组合设若把A, C按列分块，则AB的列向量2.

18、矩阵AB的列向量若把矩阵B, C按行分块，则 设矩阵于是有即C的行向量是B的行向量组1, 2, n的线性组合.第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 3. 矩阵AB的行向量例6. 设A是二阶方阵，x是二维非零列向量，若 ，求一矩阵C，使得AB = BC.解：第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 4.若则第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 若则第二章 矩阵 2.3 分块矩阵 2.3 分块矩阵 一. 矩阵的分块 三. 分块矩阵的应用矩阵方程的求解分块对角阵按行按结构按列分外层内层双重转置 转置乘法二. 分块矩阵的运算线性运算2. 矩阵AB的列向量2. 矩阵AB的行向量(A) 填空题选择题：作为课下练习(A) 1(1,2),2(1) (B) 3(1-6,10),4(1),9(B) 留作业每周三交作业(C) 课下提高题：有时间的话尽量做二. (A) 1(3,4,5,6,7,),2(2,3,4) (B) 5,6(3),7,8,10(1,3,4),11,12*,13*, 15,16三. (A) 2(5) (B