八年级数学因式分解

1、因式分解教学目标：1.掌握提取公因式法，公式法等因式分解的方法，能把简单多项式分解因式。2.提高分解因式的基本技能。3.培养思维有序，分析问题，解决问题的良好思维品质。教学重难点：1.理解分解因式的意义。2.掌握分解因式的步骤。3.灵活运用分解因式的方法一。下列哪些式子的变形是分解因式？1. y2-1=(y+1)(y-1)2. 2(a+b)=2a+2b3. 4x2-y2=(2x+y)(2x-y)4. x2-y2-1=(x+y)(x-y)-15. x2-4xy+4y2=(x-2y)2因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。你学过分解因式的哪些方法呢？a.提公因式

2、法（将多项式各项系数的最大公约数，相同因式的最低次幂提出）b.运用公式法：平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2典例剖析一.将下列多项式分解因式。 1. 7x2-63解:原式 =7(x2-9) 提公因式 =7(x+3)(x-3) 2.平方差公式法 2. a4-8a2+16 解: 原式 =（a2-4)2 完全平方公式法 =(a+2) 2(a-2) 2 2.平方差公式法1.2.题完成了第一步已经将多项式分解成几个整式积的形式，为什么还要进行第2步呢？分解因式的基本步骤到底是怎样？（分组讨论）因式分解的步骤： 首

3、先考虑是否有公因式提（提取公因式法），然后考虑用公式法，两种方法反复试，结果必是连乘式。注意：由1.2例题可知：分解因式一定要分解到不能再分为止，而且相同因式要写成幂的形式，如：（a-b)(a-b)要写成（a-b)2 1，下列多项式中哪项能用提公因式法分解因式（ ）A.2x-y B.x2+2x C.x2+2y D.x2+xy+2yB现场练兵一.将下列各式分解因式。 1. a2-9解:原式= （a+3)(a-3)2. 2y2-4y+2 解:原式 =2(y2-2y+1) =2(y-1)2 3. a2-ab+ac解:原式 =a(a-b+c) 4. a3+2a2+a 解:原式 =a(a2+2a+1)=

4、a(a+1)2二.分解因式与代数求值。1.已知a+b=7,ab=6,求a2b+ab2的值解 a2b+ab2 =ab(a+b) 分解因式 =67=42 代入已知代数式的值求值 中考名题欣赏（我最棒！）1、（2008年，陕西）：分解因式X2-4 2、（2007年，南京）：分解因式3X2-33、（2008年，青海）：分解因式x2y+4xy+4y3(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)Y(X+2)2开放题4、（2008年，恩施）：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式。X2-4xy+4y2 x2-4y2 x-2y挑战自我 我能行！请同学们谈谈这节课你有什么收获？学习分解因式这节内容你

5、还有哪些困惑？小结：1.熟悉因式分解的两种基本方法，熟练掌握公式法的两个公式。2.掌握分解因式的基本步骤，先考虑是否有公因式提，再考虑是否可以用公式法，两种方法反复试，最后必是几个整式连乘。3.特别注意，分解因式要分解到不能分为止。新人教版数学八年级上学期多媒体课件 15.5.2.1：利用平方差分解因式问题: 什么叫多项式的因式分解?判断下列变形过程，哪个是因式分解？ (1) (x-2)(x-2)=x2- 4 (2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x (3) 7m-7n-7=7(m-n-1) (4) 4x2- =(2x+ )(2x- )9y213y113y问题：你学了什么方法进行分

6、解因式？提公因式法把下列各式因式分解：(1) ax - ay(2) 9a2 - 6ab+3a(3) 3a(a+b)-5(a+b)(4) ax2 - a3(5) 2xy2 - 50 x= a( x y )=3a(a-2b+1)=(a+b)(3a - 5)=a(x2-a2)=2x(y2-25)=a(x+a)(x-a)=2x(y+5)(y - 5)平方差公式：(a+b)(a-b) = a - ba - b = (a+b)(a-b)整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积明察秋毫下列多项式能否用平方差公式来分解因式？(1) x2 + y2(2) x2 - y2(3) -x2+

7、y2(4) -x2 - y2(2)(3)能，(1)(4)不能(1) 1-25b2=12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)(2) x2y2-z2=(xy)2-z2=(xy+z)(xy-z)(4) -9+16a2=16a2-9=(4a)2-32=(4a+3)(4a-3)融会贯通因式分解：、 a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2 4、 (a-b)n+2 - (a-b)n把下列各式分解因式 x2y2 1m2 a2b2 x2y2 916x2 x29y2 4x29y2 0.09a24b2 0.36x2y2 x4y2 x2y2z2 (

8、12) x2(xy)2 (13) 9(xy)2y2 (14) (x2y)2(2xy)2 (15) 16(ab)29(ab)2 (16) (a2b2)2a2b2显显身手综合运用3、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2 - 25能被4整除。4、若a、b、c是三角形的三边长且满足(a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（ ）A、等腰三角形 B、等边三角形C、直角三角形 D、不能确定 1、运用简便方法计算：1 、 20032 92、（1 - ）（1 - ）（1- ）（1- ）（1- ）122132142192 1 102思考探索 观察下列各式：19 = - 8, 4-16= -12, 9-25

9、=-16, 16-36= -20（1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数）的等式表示出来。（2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。本节课你有什么收获？有何疑惑？你对老师又有何建议呢？ 你说，我说，大家说！因式分解 提公因式法 学习回忆运用前面所学的知识填空：把下列多项式写 成乘积的形式都是多项式化为几个整式的积的形式 (1) ma+mb+mc=( )( )(2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2(1) m(a+b+c)= (2) (x+1)(x-1)=(3) (a+b)2 =ma+mb+mcx2 -1a2 +2ab+b2m a+b+cx+1 x-

10、1a+b 探究 观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间的联系与区别吗？ 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。定义 X2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法X2-1 = (x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积初步应用 巩固新知在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） 2 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。相同因式m这个多项式有什么特点？例: 找 3 x 2 6 xy 的公因式。系数：最大公约数。3字母：相同的字母x 所以，公因式是3x。指数：相同字母的最低次幂1

11、正确找出多项式各项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂 你知道吗？找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1) 3x+6y(2)ab-2ac(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法

12、叫做提公因式法。 ( a+b+c )ma+ mb +mcm=(1) 8a3b2 + 12ab3c例1: 把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。(2) 2a(b+c) - 3(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。小明解的有误吗？把12x2y+18xy2分解因式解：原式 =3xy(4x + 6y) 错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽。诊断正确解：原式=6xy(2x+3y)小亮解的有误吗？当多项式的某一项和公因式相

13、同时，提公因式后剩余的项是1。错误注意：某项提出莫漏1。解：原式 =x(3x-6y)把3x2 - 6xy+x分解因式正确解：原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1)小华解的有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误诊断把 - x2+xy-xz分解因式解：原式= - x(x+y-z)注意：首项有负常提负。正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)看你能否过关？把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) (4) -x3y3-x2y2-xy 例2 把 12b(a-b)2 18(b-a

14、)3 分解因式解： 12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2 + 18(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b) =6(a-b)2 (2b+3a-3b) =6(a-b)2(3a-b)练习：(x-y)2+y(y-x)(1) 13.80.125+86.21/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值. 解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2) =0.125100 =12.5 解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 5=15巧妙计算智力抢答 99 99 + 99 =259 =9900（1）99299（2）= 99

15、(99+1)2、确定公因式的方法：小结3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：1、什么叫因式分解？(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.4、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉1;（3）提出负号时,要注意变号. 记住哟！综合闯关：1、计算（-2）101+（-2）1002、已知, , 求代数式 的值。讨 论问题1：630能被哪些数整除？说说你是怎样想的？问题2：a=101,b=99时，求a2 b2 的值。回顾与思考知识结构分解因式分解因式与整式乘法的关系分解因式的两种方法分解因式的应用提公因式法公式法 回 顾 与 思 考 1、

16、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做多项式的因式分解。 多项式的乘法与多项式的因式分解是互逆运算，都是多项式的重要变形，这两种变形都有着广泛的应用。（1）提取公因式法；（2）运用公式法；正确理解因式分解的要求，会判断一个变形是不是因式分解，会判断分解得的因式是否能继续再分解，从而得到因式分解的正确结果。会正确判定多项式的公因式，会用提取公因式的方法分解的公式。熟记乘法公式，理解乘法公式的逆向应用就是因式分解的公式。 4、灵活运用某些重要的数字思想方法（如，换元法）。提高观察问题、分析问题、解决问题的

17、能力。 基 础 训 练 一、填空： 1=+mcmbma ( )( ) 2=+-224129baba（3a-2b ）2 3=-229yx（）（ ） 二、 判断正误。 1. -+=-+36123243222mxmxmxmxxx() 2. 0410210212.(.)(.)aaa-=+- 3. ()()()()()()abmbamabm-+=-+2321 4. ()()-+-=-22-21mm -ma+b+cx+3y x-3y V课 堂 测 试1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是 A. B. C. D. 2 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. BD 是完全平方式，则 m 的

18、值为（ ） A. -1 B. 7 C. 1D. 7或-1CD6、(x-1)(x-3) +1 能分解因式吗？C强 化 练 习一把下列多项式因式分解二、利用分解因式解决问题. b-ab)-(ab-ab-a222+2、当a=3,b=2时，求 的值 . 1.两个连续整数的平方是奇数吗？为什么？3、利用分解因式说明： 能被那些数整除。5.计算：因式分解 提取公因式法如何简便计算把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就叫做把这个多项式因式分解特征:1、等号左边是一个多项式；2、等号右边是几个整式积的形式下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是: ( )(1)(x+2)(x-2)=x2-4;(2) x2-4= (x+2)(x-2);(3) ma+mb+c=m(a+b)+c;(4)x2-9+x=(x+3)(x-3)+x;(5)2ax+4bx=2x(a+2b)因式分解与整式的乘法是什么关系？因式分解与整式的乘法相反想一想()()()()()试一试吧(2) (5)多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积了。像这种因