小学奥数之完全平方数及应用(完整版)

1、小学奥数之完全平方数及应用1.教学目标学习完全平方数的性质;5-4-4.完全平方数及应用（一）2,整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。知识点拨、完全平方数常用性质1.主要性质1,完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3,完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4,若质数p整除完全平方数a2 ,则p能被a整除。2.性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9.性质2:完全平方数被3, 4, 5, 8, 16除的余数一定是完全平方数.

2、性质3:自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且2n 12np | N ,贝U p | N .性质4:完全平方数的个位是 6 它的十位是奇数.性质5:如果一个完全平方数的个位是 0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数 的个位是5,则其十位-一定是 2,且其百位-一定是0, 2, 6中的一个.性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数.3,一些重要的推论1,任何偶数的平方一定能被 4整除；任何奇数的平方被 4 （或8）除余1,即被4除余

3、2或3的数一 定不是完全平方数。.一个完全平方数被 3除的余数是0或1,即被3除余2的数一定不是完全平方数。.自然数的平方末两位只有：00, 01, 21, 41, 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49,89, 16, 36, 56, 76, 96。4,完全平方数个位数字是奇数（1,5, 9）时，其十位上的数字必为偶数。5,完全平方数个位数字是偶数（0, 4）时，其十位上的数字必为偶数。6,完全平方数的个位数字为 6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是 25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“两自然数不是完全平方数；个位

4、数字为1, 4, 9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：a2 b2 （a b）（a b）例题精讲模块一、完全平方数计算及判断【例1】 已知：1234567654321X 49是一个完全平方数，求它是谁的平方？【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121 =112; 12321 = 1112; 1234321 = 11112 ,于是，我们归纳为 1234 门4321 = (111)2 ,所以， n个11234567654321 : 11111112;则,123

5、4567654321 X 49=11111112 X 72=77777772以，题中原式乘 积为7777777的平方.【答案】7777777例 2 1234567654321 (1 23456765432 1)是 的平方.【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】1234567654321 11111112 , 1234567654321 72 , 原式 (1111111 7)2 77777772 .【答案】7777777【例3】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词

6、】学而思杯，6年级，第9题【解析】(法1)先将12 !分解质因数：12! 210 35 52 7 11 ,由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为210 34 52 ,所以n最小为 12! 210 34 52 3 7 11231。(法2) 12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的哥次是奇数，所以 n 的最小值是3 7 11 231。【答案】231【例4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】平方数的末尾只能是 0, 1

7、, 4, 5, 6, 9,因为111, 444, 555, 666, 999都不是完全平方数，所 以所求的数最小是 4位数.考察1111, 1444可以知道1444 38 38 ,所以满足条件的最小正 整数是1444.【答案】1444【例5】 A是由2002个“4组成的多位数，即444二J, A是不是某个自然数 B的平方？如果是，写出B;2002个 4如果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】A 4441J4 22 111二J.如果A是某个自然数的平方，则 111:1也应是某个自然数的平方， 200好 4200讣 12002个 1并且是某个奇数

8、的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而111 11, 1 1”二10不是4的倍数，矛盾，所以 A不是某个自然数的平方. 2002个 1200件 1【巩固A是由2008个4”组成的多位数，即44二3, A是不是某个自然数 B的平方？如果是，写出B;如果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不是.A 44；：工22 111假设A是某个自然数的平方，则 111也应是某个自然数的平方，并 2008 42008t 1200人 1且是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减 1应是4的倍数，而111 1

9、1110不是4的倍数，与假设矛盾.所以A不是某个自然数的平方.200吐 12007个 1【例6】 计算1111 2222=AXA,求A.2004个 1100好 2【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【解析】此题的显著特征是式子都含有1111 ,从而找出突破口 .n个1111 1 222 2 = 1111 000 - 0 一 1111、7*、-、7.、；、一，2004个 11002个 2100好 11002个 0100好 1= 111 1 X ( 1000 0-1)1002 个11002 个0二 111 巴 X ( 9999)1002个 11002 9.2二m X ( 11Vd

10、X 3X)3 = A 1002 个11002 个1所以，A= 3333. V-1002个 3【答案333二 1002 3【例7】444488889 A2 ,求A为多少？、- -2004个 42003个8求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005?【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【解析】本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解:注意到有 444488889可以看成 444488889 ，其中n=2004; 、 V - 、V 、 - 2004个 4 200人 8n 4n-1 个8寻找规律：当n=1时，有49 72；当 n=2 时，

11、有 4489 672 ；当n=3时，有444889 6672于是，类推有 444士螫二9 二666072 2004个4 2003个82003个6方法二：下面给出严格计算：444 1,488889 二444 4000；-10 + 88g8 +1 ；2004个 4 200扑 82004个 4 2004个 02004 个8贝口444:400010 + 88勺 ;8+1= 1111 X (4X10000+8) +12004 个42004 02004 82004个 12004 0=1112J X 4X (.999 1-9+1) +8 +12004个12004 个9=3二11234352=1225,所以至

12、少是362= 1296.当四位完全平方数是 1296时，另两 个平方数的个位只能分别为4,5,个位为5的平方数的十位只能是 2,但数字2在1296中已经使用.当四位完全平方数是 372= 1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5,个位为5的平方数的十位一样只能是 2,还剩下7,8,而784恰好为282.所以，其中的四位完全平方数最小是1369.【答案】1369【例11】称能表示成1+2+3+-+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数 N,它既是三角数，又是完 全平方数，N=。【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 14题【解析】N

13、=kx (1+k)/2=mA2 , 4 位数的话 2000=k x (k+1)20000, 45=k=140 , k=2n n*(2n+1)=N 。 n 与 2n+1互质，所以要均为平方数。平方数末尾 149650 0满足要求的是4950。23=n200,所以200不能表示成8个互不相等的非零自然数的平方之和，而 2204 2 200,所以200可以表不成7个互不相等的非零自然数的平方之和，所以200最多能表示为7个互不相等的非零自然数的平方之和.【答案】7【例42】 有4个不同的数字共可组成 18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由小到大排成一排， 其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个

14、也是完全平方数.那么这18个数的平均数是：.【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级 ，初赛，第12题【解析】一般而言，4个不同的数字共可组成 p3 24 （个）不同的4位数.如果只能组成18个不同的4 位数，说明其中必有 0,即按3 3 2 1 18算出来的.在这四个不同的数中，则设最小的数 小0中大 A2,倒数第二个则是 大中0小 B2,两数正好是一对反序数.根据完全平方数特点，小”、大”两数必是1, 4, 6, 9之中的两个.且中数在小大之间.可以为以下3类：当 失” 4,在1024、1034中，1034不是完全平方数，1024 32 32 ,但4201不成立.当火” 6, 1026、1036、1046、1056、4056.都不是完全平方数.当失”=9,在10中9的数中，取332 1089 ,而9801 992在40中9的数中，取 632, 672不成立.在50中9的数中，取 672, 732不成立.在60中9的数中，取 732, 772不成立.所以，符合条件的数只能是由1089开始的四位数，求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，另一种是概率法，可以作为方法来记：即，对于没有0的四位数a,