《复变函数与积分变换》教学大纲

1、复变函数与积分变换课程名称：复变函数与积分变换（Complex Function and Integral Transform）课程编码：071026学 分：2.5总 学 时：40学时，其中，理论学时：40学时适用专业：勘查技术与工程（卓越）先修课程：高等数学一、课程性质、目的与任务本课程是理工科院校电信类专业本科生的一门基础课，是继数学分析或高等数学之后的又一门数学基础课。主要研究解析函数、积分变换的基本理论和有关方法。它的理论和方法不仅在数学许多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术领域中均有着广泛的应用。 通过本课程的学习，学生不仅能学到复变函数、积分变换中的基本理论及工程技术中的常用

2、数学方法，同时还可以巩固和复习工科数学分析或高等数学的基础知识，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 通过本课程的学习，也使学生提高了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及科学创新能力.二、教学内容与学时分配第一章复变与复变函数 (4学时)本章重难点：复数的概念；复数的代数运算；复平面；复球面；复数的三角表示；复数的指数表示；复数的乘积与商；复数的幂与方根；区域的概念；无穷远点；单连通域与多连通域；复变函数的定义；映射的概念；复变函数的极限，复变函数的连续性.第一节复数与复变函数一、复数及其代数运算；二、复数的几何表示；三、复数的乘幂与方根第二节区域及复变函数一

3、、区域 二、复变函数三、复变函数的极限和连续性第二章解析函数 （4学时） 本章重难点：复变函数的导数与微分；解析函数的概念；函数解析的充分条件；函数解析的充要条件；柯西黎曼方程；函数可导或者解析的表示；指数函数；对数函数；幂函数；三角函数；反三角函数.第一节解析函数一、解析函数的概念；二、函数解析的充要条件第二节初等解析函数一、复指数函数；二、复对数函数；三、复乘幂函数；四、复三角函数第三章 复变函数的积分 （6学时）本章重难点：复变函数积分的概念、性质和计算法；解析函数积分的柯西定理及其推广复合闭路定理；原函数与不定积分；柯西积分公式；高阶导数公式；解析函数与调和函数的关系.第一节复变函数的

4、积分一、复变函数积分的概念；二、柯西古萨基本定理；三、复合闭路定理第二节柯西积分公式一、原函数与不定积分；二、柯西积分公式第三节解析函数与调和的关系一、解析函数的高阶导数；二、解析函数与调和函数的关系函数的极值第四章级数 （4学时）本章重难点：复数列的极限；复数项级数；复数项级数收敛性判断；复变函数项级数；复变函数项级数收敛性判断；幂级数；收敛圆与收敛半径；幂级数的运算及性质；泰勒级数；洛朗级数；洛朗系数与复积分的关系.第一节复数项级数、幂级数、泰勒级数一、复数项级数；二、幂级数；三、泰勒级数第二节洛朗级数一、双边幂级数；二、洛朗级数；三、洛朗级数的具体展开第五章留数 （6学时）本章重难点：孤

5、立奇点；孤立奇点的分类；函数零点与极点的关系；函数在无穷远点的性态；留数的定义与留数定理；留数的计算规则；无穷远点的留数计算；留数在定积分计算中的应用.第一节孤立奇点一、孤立奇点的定义；二、孤立奇点分类；三、函数在无穷远点的性态第二节 留数一、留数的定义及留数定理； 二、留数的计算规则； 三、无穷远点的留数计算第三节留数在定积分计算中的应用一、形如的积分；二、形如的积分；三、形如的积分第六章变换 （8学时）本章重难点：积分；积分的不同形式；变换的概念；单位脉冲函数及其变换；非周期函数的频谱；变换的性质（线性性质、位移性质、微分性质、积分性质、乘积原理和能量积分）；变换意义下卷积和卷积定理；相关

6、系数；微分、积分方程的 变换解法.第一节变换一、积分；二、变换第二节 变换的性质一、线性性质； 二、位移性质； 三、微分性质； 四、积分性质；五、乘积原理和能量积分第三节卷积与相关系数一、卷积定义；二、卷积定理；三、单位脉冲函数的卷积性质； 四、相关系数第四节 变换的应用第七章 变换 （8学时） 本章重难点：变换的提出；变换的存在定理；变换的性质（线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值原理和终值原理）；逆变换；意义下卷积和卷积定理；变换的应用.第一节变换一、变换的提出；二、变换的存在定理；三、常见函数的变换； 四、周期函数的变换第二节 变换的性质一、线性性质； 二、微分性质；

7、三、积分性质； 四、位移性质；五、延迟性质； 六、初值原理和终值原理第三节逆变换与卷积定理一、逆变换； 二、卷积定义； 三、卷积定理第四节 变换的应用 一、微分方程的变换解法； 二、积分方程的变换解法三、教学基本要求复变函数与积分变换的教学对象是电信各专业和计科院录井专业学生，教学要求上应在强调数学理论本身的严谨性的同时，还要突出数学思想的教学。以学生为中心，采用启发式、讨论式等教学方法，注意调动学生的学习主动性和积极性。重视培养学生的逻辑思维能力、准确分析解决问题能力和创新能力，课堂学习气氛活跃。讲课的思路要清晰，要有问题的提出，分析解决问题的思路、总结等，概念要准确，重点要突出。上课精神要饱满，教书育人，为人师表。以人格魅力和精神气质，激发学生的求知欲和思维活力，在潜移默化中影响学生。四、大纲说明本大纲适用于勘查技术与工程（卓越）本科专业。教学总学时为40学时，理论讲授40学时，课堂教学以湖南大学数学与计量经济学院马柏林、李丹衡、晏华辉编写的复变函数与积分