非线性系统定义和分析

1、第七章非线性系统分析第7章 非线性系统分析7-1 非线性问题概述 基本要求7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响7-3 相平面法基础7-4 非线性系统相轨迹分析7-5 描述函数7-6 用描述函数分析非线性系统基 本 要 求 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、节点、中心、鞍点、极限环等概念。 熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹大致画出时间响应曲线的图形。对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。 对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区域相轨迹的方程式。对

2、具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选取相坐标作出相轨迹图。正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负倒描述函数曲线的特点。熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动, 判断周期运动的稳定性。简 介非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。7-1 非线性问题概述一.实际系统中的非线性因素图7-1 一些常见的非线性特性除上述实际系统中部件的不可避免的非线

3、性因素外，有时为了改善系统的性能 或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最简单和最普遍的就是继电器。图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性二.非线性系统和线性系统有不同的 运动规律在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。线性系统自由运动的形式与系统的

4、初始偏移无关。非线性系统则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。图7-4非线性系统在不同初始偏移下的自由运动线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在 临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图75所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自振。图7-5非线性系统的自激振荡线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。三.非线性系统的分析方法

5、 在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲过渡函数等概念。 在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。7-2 常见非线性因素对系统 运动特性的影响一.不灵敏区不灵敏区又叫 死区，系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。图7-6 死区特性死区非线性特性的数学表达式如下：式中图7-7 包含死区的非线性系统图7-8 斜坡输入时的系统输出量二、饱和图7-9 部件的饱和现象

6、饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。理想化后的饱和特性典型数学表达式为：式中： a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数（对于放大元件，也称增益）。粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。图7-10 饱和特性图7-11 饱和特性的等效增益图7-13 图7-12系统的响应随动系统的方块图如图712所示。当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如图7-13中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如图7-13中的曲线2。图7-12 非线性系统若随动系统的方块图如图715所示。图7-14 根轨迹图图7-15 非线性系统图7-16系统的时

7、间响应当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的曲线2。三、间隙图717 齿轮传动中的间隙传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。间隙特性的典型形式如图7-18所示数学表达式为图718 间隙非线性特性四、摩擦图7-20 直流电动机的方框图 摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。图7-21 摩擦力矩示意图图7-22 小功率随动系统方框图图7-2

8、3 低速爬行现象7-3 相平面法基础相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 令 , （7-9） 则（7-11）相平面:描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。 通常把方程（79）称为相轨迹微分方程式，简称 相轨迹方程。 将（711）式的积分结果称为 相轨迹表达式。相轨迹:把具有直角坐标 的平面叫做相平面。一、线性系统的相轨迹设系统的微分方程为（7-12）系统（7-12）的特征方程为 上述特征方程的根为 式（7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。取相坐标 、 ，式（7-12）可化为： （7-14）或（1）无阻尼运动由方程

9、（7-14），相轨迹方程为：其中相轨迹如图724所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。（7-16）图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹相轨迹的方向如图7-24中箭头所示。相轨迹垂直穿过横轴。坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。图7-24的奇点(0,0)通常称为 中心 （2）欠阻尼运动其中（7-17）方程（7-12）的解为相轨迹如图725所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为 稳定的焦点。图7-25 系统欠阻尼运动时的相轨

10、迹（3）过阻尼运动 这时方程（712）的解为 相轨迹如图726所示 。图7-26 过阻尼时的相轨迹图7-27 过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，这种奇点称为 稳定的节点。 （4）负阻尼运动 相轨迹图如图728所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与图725不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为 不稳定的焦点 。图7-28系统的相轨迹图如图7-29所示，奇点称为不稳定的节点。图7-29此时相轨迹如图 7-30所示。奇点称为 鞍点 该奇点是不稳定的 。图7-30 斥力系统的相轨迹图7-31 特征根和奇点的对应关系 二、相轨迹作图法设系统微分方程如 化为表示相平

11、面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是这条曲线就称为 等倾线。 令其中 为某个常数1 等倾线法例子微分方程 或等倾线是直线，它的方程为： 取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。图7-32极限环在图7-33中，出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的极限环。图7-33图7-34 各种类型的极限环三、由相平面图求时间解相轨迹上坐标 点移动到 点所需的时间，可按下式计算（7-37）这个积分可用通常近似计算积分的方法求

12、出，因此求时间解的过程是近似计算的过程。1、用 曲线计算时间利用式（737）计算时间，在某些情况下可直接进行积分运算 。图7-37 代入（7-37）式得令（7-38）图7-38用小圆弧逼近相轨迹计算时间例7-2图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知 和 均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。图7-39解：相轨迹 和 对应的周期运动，他们的周期分别为 和 s，则有7-4 非线性系统相轨迹分析根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程。画相轨迹图根据相轨迹图分析系统的运动情况。 一、继电型系统系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为继电型系统。图7-40 继电型非

13、线性特性若继电系统的方框图如图741所示研究图中继电特性为图7-40(b)的情况图7-41很明显，相平面以直线 为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定 1 在 ch的区域系统方程为其中所以当2 在|c|h区域系统方程为（7-47）3 在c-h区域相轨迹方程为当 时图7-42 图7-41系统当 时的相轨迹当m=-1时，系统微分方程为对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。图7-43 图7-41系统当m=-1时的相轨迹图7-44 振荡趋势加大示意图图7-45 m逐渐减少时的

14、相平面二、速度反馈对继电系统自由运动的影响图7-46 有速度反馈的继电器系统系统的微分方程为将此相轨迹图与图742比较可看出两者主要是开关线不同。可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。图747 速度反馈对系统运动过程的影响三、含有间隙非线性的系统图7-48 间隙非线性和非线性控制系统方程式：式中相轨迹方程（7-59）（7-60）图7-49 式（7-59）和式（7-60）的相轨迹图7-50 图7-48系统的相平面图7-51 判断开关线所用的对应关系四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面图7-52 具有非线性放大器的系统图7-52（a）表示的系统方程为得到假定（1）阶跃输入 r(t)=R系

15、统方程变为图7-53（2）输入信号r(t)=Vt+R系统方程为图7-54 Ve0时的相轨迹图7-55 kKe0VKe0,R=0图7-57 理想继电特性在正弦输入时的输出波形和振幅频谱其中为非线性特性在输入信号作用下的输出。例7-3若非线性特性为 （7-76）其特性曲线如图7-58。令 则有图7-58 式（7-76）的输入-输出特性 图7-59 描述函数一、不灵敏区特性的描述函数（7-83）根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为图7-60 不灵敏区特性及其输入-输出波形 二、饱和特性的描述函数图761表示了饱和特性和它在正弦信号作用下的输出波形。饱和特性的描述函数为从上式可知，饱和特性的

16、描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。图7-61 饱和特性及其输入-输出波形三、间隙特性的描述函数图7-62 间隙特性及其输入-输出波形四、继电型特性的描述函数图763表示了具有滞环和不灵敏区的继电特性和它在正弦信号作用下的输出波形继电特性的描述函数为可知具有滞环和不灵敏区的继电特性的描述函数，和输入信号的频率无关，只是输入幅值的复数值函数。图7-63继电特性及其输入-输出波形当 h=0,两位置理想继电特性的描述函数当m=1,三位置理想继电特性的描述函数当m=-1,得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数一、特征方程的解法图764所示系统的特征方程为（7-90）如果对于某一个和，式（79

17、0）成立， 那么非线性环节N输入端将有 的周期运动。此时相当于将整个曲线当作临界点。 二、自激振荡的确定 图7-65 周期运动的确定及稳定性判别分别将 和 曲线画在复平面上,如图765所示。M1对应的周期运动为X01sin01tM2对应的周期运动为X02sin02t 。M1的周期运动是不稳定的。 M2的周期运动是稳定的。 上述方法适用于G(s)无右半复平面极点的情形。 图中 曲线和 曲线分别相交于M1点和M2点。图7-66 不稳定的和稳定的周期运动M1对应周期运动稳定，M2对应周期运动不稳定图7-67当 有不稳定根时，周期解的稳定性判断，需要用乃奎斯特判据。解析法 式（798）中的偏导数均在X0、处取值。则X0、对应的周期运动是稳定的,否则就是不稳定的周期运动。令（7-97）设式（797）有解X0和，若有下式成立 （7-98）三、分析系统自激振荡的例题例7-4 研究如图所示非线性系