幂级数概述和运算要求_第1页
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文档简介

1、幂级数概述和运算要求2一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛域 三、幂级数的运算 3一、函数项级数的一般概念1.定义: 前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数。42.收敛点与收敛域:5函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是 数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)6例如, 等比级数它的收敛域是它的发散域是或有和函数 7解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.9原级数发散.收敛;发散;101、定义:二、幂级数及其收敛性 下面着重讨论的情形, 即2、收敛性对于幂级数,要解决两个问题：(1) 如何求出

2、它的收敛域？(2) 如何求出收敛域内的和函数？ 从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在x=0处总是收敛的.而对的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.几何说明收敛区域发散区域发散区域13证明14由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域15推论16规定问题如何求幂级数的收敛半径?开区间 叫做幂级数 的收敛区间.定义: 正数R称为幂级数 的收敛半径.收敛域可能是收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。幂级数的收敛域？幂级数的收敛区间，17证明18（1）由比值审敛法,19定理证毕.例1 求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散解缺少奇次幂的项级数收敛,例2 求幂级数的收敛半径。级数发散,收敛

3、半径为另解前者收敛,后者发散所以收敛半径为R=1/2,收敛区间为(，0.5)解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为例3 求幂级数的收敛区间.解：令 t = (x1), 考虑即 |x 1|2, 1 x 2时, 原级数发散在端点处, x = 1, x = 3, 故收敛区间为1, 3)另解 利用比值判别法故收敛区间为1, 3)，收敛半径为2三、幂级数的运算1、代数运算性质加减法(其中（2） 乘法(其中柯西乘积（3） 除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 2、幂级数的和函数的分析运算性质即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.解两边积分得解解设其和函数为s(x)，则在例5

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