2021-2022学年陕西省西安市长安区高一下学期第二次质量检测数学试题【含答案】

1、2021-2022学年陕西省西安市长安区高一下学期第二次质量检测数学试题一、单选题1已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（）A0B0或C0或2D2C【分析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.【详解】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，即抛物线与轴只有一个交点，或2.故选：C本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题.2下列函数中，在区间（0，）上单调递增的是（）ABCDB【分析】根据增函数的定义或单调性的性质判断【详解】A，在上不是增函数，B，在上是减函数，因此是减函数，正确；C，在上不是增函数，D在上，递减，递增，递减，从而递减，不是

2、增函数，故选：B3设是等比数列，且，则（）A12B24C30D32D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，因此，.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题4若为第四象限角，则（）Acos20Bcos20Dsin20D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，选项B错误；当时，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考

3、查学生的转化能力和计算求解能力.5音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（）A“宫、商、角”的频率成等比数列B“宫、徵、商”的频率成等比数列C“商、羽、角”的频率成等比数列D“徵、商、羽”的频率成等比数列A【分析】根据等差等比通项公式，分别计算“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，再对照选项，即可得答案；【详解】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是；“徵”经过一次“益”，可

4、得“商”的频率是，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是，由于成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列故选：A本题考查等差、等比数列在数学文化中的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6在中，角A，B，C所对的边分别是，则（）A或BCDC【分析】将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得，即可求得.【详解】，由正弦定理得：，故选C.7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 ABCDB【详解】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于，选B.点

5、睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.8若函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴为ABCDC先由最小正周期求出，再令可得对称轴方程，从而可得答案.【详解】函数的最小正周期为，解得.,令，解得，取，可得图象的一条对称轴为.故选C.本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数，最小正周期为，令可得对称轴方程.9下列命题中错误的是（）A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直

6、于平面D【分析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误.【详解】对于，设平面平面=直线a,设直线，且ba,则显然直线平面，根据线面平行的判定定理可得直线b，故正确；对于B，如果内存在直线与平行，则由面面垂直的判定定理可知平面平面，与已知矛盾，故正确；对于C，设平面平面，平面平面,在内作直线，由面面垂直的性质定理可得，又直线,又l，为相交直线，又平面，l平面，故C正确；平面平面，设平面平面，在平面内与平行的直线都不与平面垂直，故 D项错误故选:D.10如图，已知正三棱柱的侧棱长

7、为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（） ABCDC设，则，取中点，中点，连接，由勾股定理及中位线定理表示出的三条边长，结合余弦定理即可求得，由异面直线夹角的取值范围即可确定异面直线和所成的角的余弦值.【详解】正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，设，则，取中点，中点，连接，如下图所示：则即为异面直线和所成的角或其补角，所以，所以在中由余弦定理可得，因为异面直线夹角的取值范围为，所以异面直线和所成的角的余弦值为，故选：C.本题考查了异面直线夹角的求法，余弦定理在解三角形中的应用，异面直角夹角取值范围的应用，属于中档题.11（2017新课标全国理科）已知圆柱的高为1，它的两

8、个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为ABCDB【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12已知点为的重心，则的最小值是（）ABCDC由三角形重心的性质可得，由向量数量积的定义可求得，然后根据向量数量积的性质可得|，结

9、合基本不等式可求的最小值.【详解】如图所示，设的中点为，由三角形重心性质可得，又为中点， ，则.又，由向量的数量积定义可得，.，当且仅当时等号成立，即的最小值.故选：C.本题考查了平面向量与基本不等式的综合运用，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.13已知函数，则下列说法错误的是（）A为的周期B任意，都满足C函数在上单调递减D的最小值为D【分析】化简得到，可判定A正确；根据三角函数的诱导公式进行化简运算，可判定B正确；化简函数，结合三角函数的性质，可判定C正确；根据，且，可判定D错误.【详解】对于A中，由，所以为的周期，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由，则，且

10、，根据正弦函数的性质，可得函数在上单调递减，所以C正确；对于D中，由，且，所以函数的最小值为，所以D错误.故选：D.14在梯形ABCD中，则（）ABCDB【分析】依题意过点、作、，设，即可表示出，即可得到，从而求出，即可，再根据两角和的正切公式求出，最后根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：依题意过点、作、，则，设，则，所以，解得，所以，所以，所以所以又，即，解得故选：B二、填空题15设实数满足，则的最大值是_ _27【分析】利用，已知条件结合不等式性质，即可求解.【详解】,当且仅当，即时等号成立.故2716圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台

11、较小底面的半径为_.7【详解】试题分析：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，所以S侧面积=（r+3r）l=84，解得r=7故答案为7旋转体（圆柱、圆锥、圆台）17如图，已知一个的二面角的棱上有两点和，且和分别是在这两个面内且垂直于的线段又知，则求CD的长为_【分析】由向量的线性运算法则得到，根据题设条件和向量的数量积、向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量的线性运算法则，可得，因为，且二面角的平面角为，可得，且，又因为和分别是在这两个面内且垂直于的线段，所以，所以.故答案为.18函数的最小值为_【分析】令，则，化简得到，集合基本不

12、等式，即可求解.【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为.19在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状为_直角三角形或钝角三角形【分析】利用三角恒等变换、余弦定理解三角形.【详解】因为，所以即，由余弦定理有：整理得.当，是直角三角形；当，即角C为钝角，此时是钝角三角形.综上，是直角三角形或钝角三角形.故直角三角形或钝角三角形.20中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（14701523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为_cm2.设，由题意可得：，解得，进而根据扇

13、形的面积公式即可求解【详解】解：如图，设，由题意可得：，解得：，所以，故本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题三、解答题21如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，(1)求证：平面BCE/平面ADF；(2)若平面ABCD平面AEBF，求AD与平面 CEF夹角的正弦值(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意分别证得BC/平面ADF，BE/平面ADF，利用面面平行的判定定理，即可证得平面BCE/平面ADF；（2）根据面面垂直的性质定理，证得BC平面AEBF，利用，求得点B到平面CEF距离，利用线面角的

14、定义，即可求解.【详解】(1)证明 四边形ABCD为矩形，BC/AD又BC平面ADF，AD/平面ADF，BC/平面ADF和均为等腰直角三角形，且，AF/BE，又BE平面ADF，AF平面ADF，BE/平面ADF，BC/平面ADF，BE/平面ADF，平面BCE/平面ADF(2)解：四边形ABCD为矩形，所以AD/BC，AD与平面CEF夹角即为BC与平面CEF夹角四边形ABCD为矩形，又平面ABCD平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD平面，BC平面AEBF，在等腰直角ABF中，在定要直角中，又，在直角中，可得,在直角中，可得，在直角中，可得，由为等腰三角形，可得，且，设B到平面CEF距离为d

15、，因为，可得则，解得BC与平面CEF夹角的正弦值AD与平面CEF夹角的正弦值为22如图，在梯形中，是的中点，将沿折起，记折起后的三角形为，且.（1）证明：平面平面；（2）问在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）先证明平面，又平面，即证平面平面.（2）当即为的中点时，平面，即证.【详解】证明：（1）如图，设线段与交于点，连接，由已知可得，四边形是菱形，.，是的中点，.又，平面，平面，又平面，平面平面.（2）当即为的中点时，证明如下：如图，取的中点，的中点，连接，.由已知可得，都是等边三角形，平面，.而，.又点，分别为，的中点，又

16、都是等边三角形，.平面，.本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.23已知等差数列的公差，且，成等比数列.（1）求使不等式成立的最大自然数n；（2）记数列的前n项和为，求证.（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据，成等比数列，有，结合公差，求得通项，再解不等式.（2）根据（1），用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.【详解】（1）由题意，可知，即，.又，.，故满足题意的最大自然数为.（2），. 从而当时，单调递增，且，当时，单调递增，且，所以，由，知不等式成立.本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， （1）若还同时满足下列四个条件中的三个：，的面积，请指出这三个条件，并说明理由；（2）若，求周长L的取值范围（1），理由见解析；（2）(6,9【分析】（1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得，再判断不能同时成