2021-2022学年山东省青岛市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年山东省青岛市高一下学期期末数学试题一、单选题1已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（）A2B2CD4A【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值【详解】解：由是纯虚数，得，解得故选：A.2在正方体中，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（）A三角形B四边形C五边形D六边形B【分析】把截面补形可得利用四点共面可得【详解】解：如图，把截面补形为四边形，连接，因为，分别为，的中点，则， 又在正方体中，所以，则四点共面.则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选：B.3已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取

2、值范围是（）ABCDD【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.【详解】，由题意得：且，解得：且，故选：D4九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）ABCDB【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求得和，代入圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，可得，可得，又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为，所以圆台的侧面积为.故选：B.5已知，是两条不重合直线，

3、是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则C【分析】利用线线，线面，面面的位置关系逐项分析即得.【详解】若，则或，故A错误；若，则或或与相交，故B错误；若，则或，又，故，故C正确；若，则，又，则或，故D错误.故选：C.6在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形C【分析】由正弦定理的边角关系得，应用三角形内角性质得，即可判断三角形的形状.【详解】由正弦定理，结合题设知：，,，即，或，又，所以或.故选：C.关键点点睛：利用正弦定理边角互化，结合三角形内角关系及三角恒等变换判断三角形的形状.7直三棱柱AB

4、CA1B1C1中，ABC为等边三角形， AA1AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（）ABCDB【分析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，平面的一个法向量为设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为故选：B8蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球20

5、06年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠（球）的表面上有四个点，且球心在上，则该鞠（球）的表面积为（）ABCDC【分析】画出图形，作出辅助线，求出，进而得到，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积.【详解】如图，取AB的中点M，连接MP，由AC=BC=4，ACBC得：，由，得：，连接CM并延长，交球O于点H，连接PH，因为PC球O的直径，设球的半径为R，则PHCH，则，所以，解得：，球的表面积为.故选：C立体几何中外接球问题，要画出具体图形，找到球心的位置，结合解三角形等知识进行求出半径，再求解球的表面积或体积.二、多选题9已知复数对应的

6、向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（）A若，则或B若，则C若，则D若，则CD【分析】A可以举出反例；B选项，经过复数的向量表示下的运算得到；C选项，设，得到，从而得到；D选项，同样设出，通过复数的向量表示形式下的计算得到，得到.【详解】当时，满足，故A错误；，B错误；设，若，则，化简得：，故，所以，C正确；设，则，若，则，所以，则，D正确.故选：CD10已知空间向量，则下列说法正确的是（）AB向量与向量共线C向量关于轴对称的向量为D向量关于平面对称的向量为ABC【分析】根据空间向量模的公式，结合共线向量、线对称、面对称的性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项说法正确；B：因为

7、，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于轴对称的点的坐标为，所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于平面对称点的坐标为，所以向量关于平面对称的向量为，故选：ABC11已知圆锥的底面半径为，高为2，为顶点，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（）A圆锥的体积为B圆锥侧面展开图的圆心角大小为C圆锥截面面积的最大值为D若圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为BD【分析】根据题意，求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论【详解

8、】解：因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线长，则：对于A，圆锥的体积，故A错误；对于B，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则，故B正确；对于C，当圆锥截面为圆锥的轴截面时，此时，所以，所以当时，截面的面积最大，故C错误；对于D，圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球，设圆锥外接球半径为，由球的性质可知：，即，解得，所以外接球的体积故D正确故选：BD.12已知，且的图象的对称中心与对称轴的最小距离为，则下列说法正确的是（）AB的图象关于直线对称C把图象向左平移单位，所得图象关于轴对称D保持图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移个单位，得到函数的

9、图象ABD【分析】利用向量数量积的坐标表示、降幂公式及辅助角公式可得，根据已知有求得，即，应用代入法验证对称轴、根据图象平移写出平移后的解析式并判断对称性，即可得答案.【详解】由，而对称中心与对称轴的最小距离为，即，可得，所以，可得，A正确；故，则，故的图象关于直线对称，B正确；，显然不关于轴对称，C错误；横坐标变为原来的2倍，再左移个单位则，D正确.故选：ABD三、填空题13欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的共轭复数为_【分析】利用复数三角形式以及复数的除法化简所求复数，利用共轭复数的定义可得结果.【详解】由已知可得，所以，因此，复

10、数的共轭复数为.故答案为.14在正方体中，点，分别在棱，上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_.【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，则有，设异面直线与所成角为，所以，故答案为.15已知，则_【分析】由已知条件及诱导公式可得，再应用二倍角余弦公式求目标式的值.【详解】，由.故16已知中，若，则周长的最大值为_.【分析】先对已知式子利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角，再利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求出的最大值，从而可求出三角形周长的最大值【详解】由正弦定理可得：，.由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解

11、得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.故四、解答题17如图所示，三棱柱中，是中点(1)用，表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由(1)；(2)存在，理由见解析.【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；（2）根据空间向量共线向量的性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】(1)；(2)假设存在点，使，设，显然，因为，所以，即，因为，所以有：，即，解得，所以当时， .18如图所示，直三棱柱中，为中点(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，求证：平面平面(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】作出辅助线，得到，从

12、而证明线面平行；（2）先证明与，得到平面，结合平面，得到平面平面【详解】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，因为为中点，所以MF是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，所以，所以，所以，即，由三线合一可得：，又因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以因为所以平面，因为平面，所以平面平面19如图所示，已知是半径为，中心角为的扇形，为弧上一动点，四边形是矩形，(1)求矩形的面积的最大值及取得最大值时的值；(2)在中，其面积，求的周长(1)当时，；(2).【分析】（1）将利用加以表示，并利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正

13、弦型函数的性质可求得函数的最大值；（2）由题可得，然后利用余弦定理及三角形面积公式可得，进而即得.【详解】(1)因为，所以，则，又，所以，所以，则，故当时，即当时，函数取得最大值，.(2)，又，即，又，即，即的周长为.20如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点(1)证明：；(2)求点到的距离；(3)求二面角的大小(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）由已知位置关系推出，即可证明异面直线；（2）由（1）中，得，求解各边长度，得为等边三角形，利用等边三角形的性质即得点到的距离；（3）利用二面角定义求解即可.【详解】(1)证明：平面，底面为矩形，又，又，点是的中点，又(2)解：由

14、（1）得：又，即因为，所以，故即，三角形是边长为2的正三角形，点到的距离为,则，所以所以点到的距离.(3)解：由（2）知，故取中点M，连接EM，DM.因为分别为中点，所以，即，故则为二面角的平面角又在中，所以，又所以.即二面角的大小为.21如图所示，在海岛上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站（观察站高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东方向，俯角为的处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西方向，俯角为的处(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛的距离？(1)千米时(2)千米【分析】（1）先、中确定、的长，进

15、而求得，最后利用勾股定理求得，用里程除以时间即为船的速度（2）利用锐角三角函数求出，利用两角差的正弦公式求得的值，进而利用正弦定理求得【详解】(1)解：（1）在中，在中，在中，则船的航行速度为（千米时）(2)解：在中，所以，在中，所以由正弦定理得故此时船距岛有千米22如图所示，长方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图的四棱锥(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)若棱的中点为，求的长；(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值(1)(2)(3)【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助

16、线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值【详解】(1)取AM的中点G，连接PG，因为PA=PM，则PGAM，当平面平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时PG平面，且，底面为梯形，面积为，则四棱锥的体积最大值为(2)取AP中点Q，连接NQ，MQ，则因为N为PB中点，所以NQ为PAB的中位线，所以NQAB且，因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，所以CMAB且，所以CMNQ且CM=NQ，故四边形CNQM为平行四边形，所以.(3)连接DG，因为DA=DM，