高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题32函数、集合与复数(解析版)

1、第第 页共31若叱,三，则o 7r 一比v； TOC o 1-5 h z 7 777 7/ *1 *同样可得。 sin- sin cos； cos 0. 51-工故sina + sinb = 2sin cos- 2sin：cos：= sine . 同理，sinb + sine sina, sine + sina sinb.因此，sina. sinb、sine也是某三角形的三边长.综上所述，当M = W时，%(%) = sinx(x G (0,M)是保三角形函数.故M的最大值为 6.给定正实数a, b，已知实数y满足电/一 bxy +=1.试求二元函数F(%,y) = %，+好的取值范围.【答案

2、】见解析【解析】/ m+九 m-n hl. 令 = ,，y = b则 TOC o 1-5 h z a.(m+句2 b. + Q(m+八产二, aaa即(2a b)mz + (2a + b)n2 = a故/y)=/ + V = elk =三(m2 + M)， aa当2a-b0,即bV 2a时，由式得(2a + b)(m2 + n2) = a + 2bm2 a.(2a - b)(m2 + n2) = a - 2bn2 a,于是， m2 + n2 a,又由b-2a NO及式，知m?可取任意非负实数，从而f (%y)=三(M +叫=三时+ 个党 aaL2a+b J2,2 2b 7-2=+m- ，2a+

3、b a 2a+b2a+b此时，f(%y)的取值范围是高,+8), 综上，当bV 2a时，f(x,y) = +y二的取值范围是当bW 2a时, f(%,y) = / +*的取值范围是：,+8).已知%) = 2%-三+J其中，常数(0,4 .求所有的实数k 使时任意%人hR+，恒有 f X AT(不)1 工 kxx-x2.【答案】(一8,2-9【解析】 当 = %?时，k任意.当心丰七时，不等式化为I等” I k. 一 X?2(右 _也)一_* + (/?=2 +2 (%i + X2) a=2 +2 (%i + X2) a=(2 X1X2 a3 108 +1082 vx+ O-O 1OXf%2

4、X1X2”2(2-*)+1=2 - *由小上02-J XL-X2108当乙手不，且都趋向于加，有与野T 2 2 于是，所求k的集合是(-8,2-.称个复数数列2为“有趣的；若|z】|二l，且对任意正整数，均有42；+1 + 22合升1+2机=0.求最大的常数C使得对切有趣的数列Z及任意正整数加,均有区+ Z2+,+Zml3C【答案】 3【解析】 考虑有趣的复数数列5.归纳可知二#0( WN)由条件得4（管）2 + 2（慧）+ 1 = 0（n W N+）,解得膏=二千（九G M+）. TOC o 1-5 h z 故凡| = |z小七=七（九川+）,4M进而有|z八+2+/ = IzJ|1 +乎I

5、 =2-I宇I = 5(n e N+)zn*记 7 = z1+z2 + + zm(mGN).vs V0 a一如乙y环片不当加=2s（s W vs V0 a一如乙y环片不Tm ) |Z + Z? | Sfc=2 lz2k-l + z2k :迫2 lz2k-l + Z2k = 当叩口 M）时，由、可知%心系冷=W，备=%J +向J故Tm|Z1 + z： I (：.=? |z2fc-i + z%I) |z二s+11 Z SkLs lz2k-l + z2k = T, ，o当 w=l 时 , 7 =区 | = i j以上表明。=恒满足要求.3另方而，当Z1= l,z二二步生二姿卞（kJ%）时，易验证知小

6、为有趣的数列. 此时 1 山T*+t = limlZi + ：t（z北 +Z北+【）I = liin|l + y= |i=三,s T8ST 8e 一 ST OO卜=工 一DOO这表明c不能大于”. 3综上，所求的。为. Z, z2 z?为多项式P（z） = z? + az + b的三个根，满足忆/二+忆/二+ %=250,且复平面上的三点马, Z?恰构成个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.【答案】5任【解析】 由韦达定理得Z + Z2 + Z? = 0 =审* = 0=以2Zz I Z3两为顶点的三角形的重心为原点.不妨设Izi-z/ =%,|Z1 Z3| =y为两条直角边.由于顶点与重心

7、的距离等于该顶点所对应的中线长的1战1Z/2 =其/+9=* + ” 类似地，区=g（y。+） = 12 +1y2则|zF +忆2+ %=* +犷=泮+，2 = 25。=-Jx2 +y2 = 5 15 nn-1.(2 COt COt- + 1)为纯虚数。【答案】见解析【解析】首先证明:若炉=一1，则口：（4 _ cot?） = （X 一 i）n （% + 0n首先证明:令P(%) = (x- i)n -( + i)n. 71则P（%）是,个九一1次多项式，其首项系数为第（7）-或=1.又当 = COt 竺(171-1)时,k冗(% + 尸=(cot+ onkn kn kn .=(esc-)nQ

8、os -+ lsin)Kkn n n .=(csc-)n(cos-+sm-)nkkn .=(csc-)n(-Dkkn kncos sin)所以，P(cot9 = 0nn-1.1a-85)在式中令 = 2g5 + i,则n kn1 l(2cot-cotV+l)k=li nn= 2(2cotn)n_(2cotn+20ni=711Kcot/ (cot + i)nl2ni nG-(csc/C(cscR - (cos + %in2ni n= J(csc(cos/ + 117.已知c osx17.已知c osx +co sy +c osz _ sinr+siny+sinzcos(x+y+z) sin(x+

9、y+z)=。求 cos(y + z) + cos(z + %) + cos(x + y)的值.【答案】0 【解析】 令 5 = x + y + z.乂= cosx + Zsine = co J + siny，。也=cos2 + LsinZ,则+=(co/ + cos + cos2) + lGinx + sinV + sinz)= acos(x + y + z) + iasin(% + y + z) =a/-z)=小 同理,e* + E + i = a。故 e3+z) + ez+*) + /a+y) = /(、-幻 + /C-y) + /(、-0=+ ez) = ef5(ae-s) = aeis

10、 = a 则cos(% + # + co 式% + z) + cos(y + z) + *(% + y) + sin(x + z)+ sin + z)l = a 所以，cos(% + 乃 + cos(x + z) + cos(X + z) = a 且 sm(% + V)+ sm(x + z)+ sm3 + z)= .设%不0,。，/7的辐角主值不相同，证明：I嘿需工丝工p |U I |p I【答案】见解析 【解析】只要证明：单萼之学而 2|z-ct| 、l+|a|于是，只要证明：当闭=1时，二高之二 当|a| = l时,式显然成立.当|a|Hl时，设z、人看对应复平面上的点AB、C，则儿C在单

11、位圆上, 设。为原点，D为点C在。上的对径点,则48= |z-a|MC = |z-|t CD = 2fBD = 1+ |a|, I于是，式等价于梨三名 CD AC作乙B4C的外向平分线IE、当|a|l时，乙CAE =竺三1”乎=900 =4G4D. 一所以，点E在线段CD上，如图BD5C+CD4 、BC -4 、BCBEAB=I + V + =CD CDCD 一 CECE4C、当囱 当囱 1时,lFAE =迫W竺吧=90。=44所以，点E在线段CD的延长线上，如图CD CDCDCE CE AC所以，式成立，在式中，令z = 2,原不等式获证. IpI.设为,如，%均为实数，2是关于的实系数方程

12、仁。见/ = 0的复数根，且因工即工工叫工% L求证：胪+1 = 1.【答案】见解析【解析】 因为;I是方程之。=o复数根0 (a - 1)仁。= o = /即+1=2M3 - Q1)九+即， 其中，匹一七_式l= 1,2产速)为非负数又Ml 1 = mF 1(1 = 12=1册种”式%T)B|i + a。W W(4 - Qi-J bl + %囚匕 “因 =W 1 = M| = 1 = a八=a八t =ax = a0 =1册种”式由式得胪+1 = 1.若复数z满足4z-Qi 3泛-2。1。3泛-】一4 = 0,求t = + &T疑的取值范围。【答案】-10,10【解析】将已知等式变形为42二口 + 3iz2010 + 3iz 4 = 0 0 z2010(4z + 3。= 4 3iz = |z|2010|4z + 3i| = |4 - 3iz .设z = a + bi (a、b E R y 则|4z + 3i|2 - |4- 3iz2 = 4a + (4b + 3)i|2 - |(4 + 3b) 3ai|2=16a2 + (4b + 3尸一(4 + 3b)，- 9a2 = 7(a2 + b，- 1) = 7(|