解析几何中的定值问题

1、1 31、已知曲线C是到点尸【2 8；和到直线 厂(距离相等的点的轨迹.(第20(第20题)/是过点。(一1,。)的直线，是。上(不在/上)的动点；A, 3在/上，轴(如图).(I)求曲线。的方程；(II)求出直线/的方程，使得粤为常数.例(I )解：设N(x,)，)为C上的点，则I NP1=N到直线y = -*的距离为)，+ ? 88由题设得J外卜I)=卜+工化简，得曲线C的方程为y = -(x2+x).2r* 4- r（）设/x, ,直线/: v =五+ %,则8（x, kx + k）,从而 2I0BI=V1+Plx + Il.因为IQAI=IM/7I,所以|Q1I=lx+1 周入+ 21

2、2（1 + 公）,1 + 公卜+ i过。(一 1，因为IQAI=IM/7I,所以|Q1I=lx+1 周入+ 212（1 + 公）,1 + 公卜+ iQB I2 QA当I时需=5非 从而所求直线I方程为2x-y + 2 = 0.2、设动点尸(x,y)()，NO)到定点/(0,1)的距离比它到工轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求点尸的轨迹方程；(2)设圆M过A (0,2),且圆心例在曲线。上，石G是圆例在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值?为什么？解：(1)依题意知，动点P到定点F (0,1)的距离等于P到直线 = -1的距离，曲线C是以原设圆与工轴的两交点分别为0

3、,0）,（.0）方法1:不妨设，由求根公式得_24 +,4 j-161 + 16=16） + 16,2-2/.玉-x2 = ）4a2 -16/7 + 16又点M3, b）在抛物线X2 = 4y上,:.= 4b,工 内= J16=4, 即但G| =4-一- 1 3 分当M运动时，弦长|反7|为定值414分（方法 2： V x +x2 =2a , x x2 =4Z7-4： （x -x2）2 =（再 +x2）2 -4X1 -x2 = （2a）2 -4（4人-4） = 44 -166 + 16又丁点A1（a, Z?）在抛物线x2 =4y上，片=4, 二（七一七）2 =16 忖一引=4当运动时,弦长|G

4、|为定值弦3、设，居分别是椭圆C：二+二=1的左右焦点设椭圆C上的点（设椭圆C上的点（到”,取两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段K的中点B的轨迹方程（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M, N两点，当直线 PM , PN的斜率都存在，并记为攵/w，K/w试探究勺加K/w的值是否与点P及直线L有 关，并证明你的结论。.（鸟解:（1）由于点（正）在椭圆上，出- 2CT 夕 TOC o 1-5 h z 2。=4,2 分椭圆C的方程为 + = 13分43焦点坐标分别为G 1。），（1，0）一一一一分（2）设K的中点为B （

5、x,y）则点长（2%+ 1,2）-6分把K把K的坐标代入椭圆上十二=1中得 43（2x + l）2 （2y）2 _线段KF；的中点B的轨迹方程为（A- + 1）2 +1 1分（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M.N1 1分r2 y2 + 77- = ! -12 分r2 y2 + 77- = ! -12 分cr lrM.MP在椭圆上，应满足椭圆方程，得工+工=1 a-3口 3包x + x（）133口 3包x + x（）13分, K y一）。） + %_厂一）b2LKPM KPN = v v v , v v2 丫 2 = _ r-_15 分x 一 玉）x 十玉）x X。 故：女1K/w的值与点P

6、的位置无关，同时与直线L无关,-一16分厂 v4、已知抛物线。的顶点是椭圆一 + = 1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. 43(1)求抛物线。的方程；(2)已知动直线/过点P(4,0)，交抛物线。于A、8两点.(i)若直线/的斜率为1,求A8的长；(“)是否存在垂直于x轴的直线？被以AP为直径的圆例所截得的弦长恒为定值？如果存 在，求出的方程;如果不存在，说明理由. TOC o 1-5 h z 解：(1)由题意，可设抛物线方程为V =2乂0).1分由 I =3 = ,得 c = l.2 分抛物线的焦点为(10), = 2.3分抛物线D.的方程为y2 = 4x .4分(2)设人(西，必)，B(x2,y2).5分(i)直线/的方程为：y = x-4.6分V = x - 4联立，整理得：x2-12x + 16 = 07分厂=4%：.AB = -J(l + I)2(xj +x2)2 -4x1x2 = 4710 . 9 分(ii)设存在直线叱x = a满足题意,则圆心M皂士i. & ,过M作直线x =的垂绳 2 - 2 J垂足为E,设直线加与圆1/的一个交点为G.可得：10分EG = MG11 分即忸G|： =|山f正卜丁婷审_L1 2 l：x1-4l:-(x1+4)2: 八 2=-h +一一 +