【22专用】余弦定理

1、余弦定理【必修五】第一章 解三角形1.1.2吴川一中高二【22、16】专用 陈智敏1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= = =2R（R为ABC外接圆半径）与变换式、性质。2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决三类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角； 2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的 边和角。若A为锐角时:一、复习引入3. 判定三角形的形状！若A为直角或钝角时: babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a?bCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACHACB1ABACB2CHHH？B创设情

2、景 引出问题 隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A与山脚B,C的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。这是如何计算出来的？CAcb化归问题在ABC中，已知AB = c ，AC = b ，A = A，求a也即边BC的长。【将实际问题转化为数学问题】我们怎么办呢？正弦定理行吗？我们先看熟悉的三角形：ABCcba我们已经学过向量,下面试着用向量的方法给予证明【证法一】ABCabc？【证法二】ABCabcD同理有： 即：a2=b2+c22bc cosA b2=a2+c22ac cosB c2=a2+b22ab cosC注意

3、：1、熟悉定理的形式结构特点，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2、每个等式中包含四个量，它们分别是三角形的三条边和其中一角，知三求一 3、当C90时，则cosC0，c2a2b2，即余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例【余弦定理】三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2= b2+c2 -2bccosA 结论！ 由大边对大角可推得a与A有怎样的关系呢？角Aa与角A的关系 0a2= b2+c2-2bc = b2+c2-2bc1 a2= b2+c2 = b2+c2-2bc0 a2= b2+c2+2bc = b2+c2-2bc(-1) 相同点：都含

4、有 b2+c2 不同点：-2bc的系数不同【考虑角的极端情况】CcBAbaCabCba当 时，当 时，当 时， 在ABC中【推论】【余弦定理的变形与应用】判断三角形形状 利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？ 利用余弦定理，可以解决：（1）已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角.（2）已知三边，求三角.ABCabcc2=a2b22abcosC.a2b2c22abcosC我们来试一试！（3）三角形的形状判定！千岛湖 3.4km6km120）情景问题岛屿B岛屿A岛屿C?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km6km120）岛屿B岛屿A岛屿C?3.4km6km120ABC 在ABC中，已知AB=6km

5、，BC=3.4km，B=120o，求 AC用正弦定理能否直接求出 AC？）余弦定理呢？解：（1）b2=a2+c22accosB =(2 )2+( + )2+22 ( + )cos45 =8b=2 例1、在ABC中，a= 2 ，c= + ，B=45求b及A。（2） cosA = = = A=60已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角.练习1.在三角形ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41，解三角形（角度精确到1，边长精确到1cm）【课本P7例3】2.3.在三角形中b=3，c= ，A=30，解三角形。ADCB)300)4504.如图所示，已知BD=3，DC=5，B=300， ADC=4

6、50，求AC的长。小结余弦定理：推论:余弦定理可以解决的有关三角形的问题：已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。推论：由边的关系判定形状！课后作业课本：P8 练习 1. P10习题1.1 第3题同学们 再见！课前回顾余弦定理：推论:余弦定理可以解决的有关三角形的问题：已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。怎样判定三角形的形状？那么！已知三边我们怎样去求三角呢？例 2：在ABC中，已知a7，b10， c6，求A、B和C.解：b2c2a22bc cosA 0.725， A44a2b2c22ab cosC 0.8071， C36 B180(AC)100.sinC 0.5954, C 36或144

7、(舍).c sinA a()【解法二】练习1.ABCOxy例 2：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法一： AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73 ,BC (-2-4)2+(8-1)2 =85 ,AC (6-4)2+(5-1)2=25 ,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365ABCOxy A84.ABCOxy例 2：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法二： A84. cosA .ABACAB AC( 8)( 2)3( 4)73252365 AB(8，3)，AC(2，4).ABCOxy例 2：ABC三个顶

8、点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = + ,tan = ?tan = ?tan(+ ) = ABCOxy2.在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断ABC的 形状.3.在ABC 中，已知 a=10, b=8, c=6,判断ABC 的形状.例3.练习【余弦定理的应用】在ABC中,（1）a4，b3，C60，则c_；1314.6（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _.104.5（3）a2，b4，C135，则A_.（基础练习反馈训练 消除误点课堂练习：平行四边形的两条邻边的长分别是4 cm和4 cm，它们的夹角为45。求这个平行四边形的两条对角线

9、的长和它的面积。课堂小结 完善认知余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律, 勾股定理是其特别。余弦定理的两个基本应用，一是已知三边求角。 二是已知两边及它们的夹角，求第三边。余弦定理和正弦定理是同一个三角形的约束条件 的不同表现形式，在本质上是一致的。小结 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状余弦定理：推论:总结B、A、正弦定理可解决的有关三角形问题：1、已知两角和任意边，求其他两边和一角2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况) 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹

10、角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；C、都可以判定三角形的形状！课后作业课本：P8 练习 2. P10习题1.1 A第4题. B第2题.同学们 再见！ 问题： 若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.ABCabc解：证明猜想，建构新知ABCabcD（1）当角C为锐角时过A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中证法2：（2）当角C为钝角时过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中在 中bAacCBD（3）当角C为直角时，由勾股定理知仍然成立。bAacCB证法3：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：证法四：c2= a2+b22abcosC (2RsinC)2=(2RsinA)2+(2RsinB)22(2RsinA)(2RsinB)cosC s