新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题16《圆锥曲线常考题型04-定值问题》（解析版）

1、 23/23专题17 圆锥曲线常考题型04定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值1过抛物线 SKIPIF 1 0 的焦点为 SKIPIF 1 0 且斜率为 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 交曲线 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，

2、交圆 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点相邻）求证： SKIPIF 1 0 为定值；【解答】证明：依题意直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为定值；2已知椭圆 SKIPIF 1 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 是曲线 SKIPIF 1 0 上的任意一

3、点当点 SKIPIF 1 0 异于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 是否为定值？请说明理由；【解答】解：由椭圆的方程及题意可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ，所以由题意可得 SKIPIF 1 0 是为定值，且定值为 SKIPIF 1 0

4、；3椭圆 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的离心率 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）直线 SKIPIF 1 0 不过原点 SKIPIF 1 0 且不平行于坐标轴， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 有两个交点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，线段 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 证明：直线 SKIPIF 1 0 的斜率与 SKIPIF 1 0 的斜率的乘积为定值【解答】（1）解：椭圆 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

5、 的离心率 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所求椭圆 SKIPIF 1 0 方程为： SKIPIF 1 0 （2）证明：设直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，把直线 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF

6、1 0 ， SKIPIF 1 0 ，于是在 SKIPIF 1 0 的斜率为： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的斜率与 SKIPIF 1 0 的斜率的乘积为定值4已知抛物线 SKIPIF 1 0 与双曲线 SKIPIF 1 0 有相同的焦点 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的方程，并求其准线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）过 SKIPIF 1 0 且斜率存在的直线与 SKIPIF 1 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

7、0 ，证明： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为定值【解答】（1）解： SKIPIF 1 0 双曲线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，可得双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，其准线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）证明：由题意直线 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 且斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，整理

8、得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为定值，则 SKIPIF 1 0 为定值5已知椭圆 SKIPIF 1 0 的焦点与双曲线 SKIPIF 1 0 的焦点相同，且 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的方程；（2）若 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且直线 SKIPIF 1

9、 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率都存在求 SKIPIF 1 0 的取值范围；试问两直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）因为 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 的焦点与 SKIPIF 1 0 的焦点相同，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2）联立

10、 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 又直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率都存在，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率之积不是定值6设点 SKIPIF 1 0 为双曲线 SKIPIF 1 0 上任

11、意一点，双曲线 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，右焦点与椭圆 SKIPIF 1 0 的右焦点重合（1）求双曲线 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求证：平行四边形 SKIPIF 1 0 的面积为定值，并求出此定值【解答】解：（1）由双曲线 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，右焦点与椭圆 SKIPIF 1 0 的右焦点重合，得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

12、PIF 1 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 点坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 与渐近线平行的直线分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，方程分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，同理联立 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，又渐近线方程为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又点 SKIPIF 1 0 在双曲线

13、上，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以平行四边形 SKIPIF 1 0 的面积为定值，且定值为 SKIPIF 1 0 7已知椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在椭圆 SKIPIF 1 0 上（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设动直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 SKIPIF 1 0 为圆心的圆，满足此圆与 SKIPIF 1 0 相交两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （两点均不在坐标轴上），且使得直线 SKIPIF

14、 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 0 ；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为： SKIPIF 1 0 ，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为 SKIPIF 1 0 ，当直线的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，因为直线 SKIPIF 1 0 与椭圆有且仅有一个公共点

15、，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由方程组 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线的斜率为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，将 SKIPIF 1 0 ，代入上式得 SKIPIF 1 0 ，要使得以 SKIPIF 1 0 为

16、定值，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以当圆的方程为 SKIPIF 1 0 时，圆与 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，由题意知 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，此时圆与 SKIPIF 1 0 的交点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 也满足以 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 ，综上，当圆的方程为 SKIPIF 1 0 时，圆与 SKIPIF 1 0 的交点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 定值 SKIPIF 1 0 8已知抛物线 SKIPIF 1 0 的准线过点

17、 SKIPIF 1 0 （1）求抛物线 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 作直线 SKIPIF 1 0 交抛物线 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，证明： SKIPIF 1 0 为定值【解答】（1）解：由题意可得，抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故抛物线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）证明：当直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

18、0 ；当直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 9已知平面上的动点 SKIPIF 1 0 及两定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SK

19、IPIF 1 0 （1）求动点 SKIPIF 1 0 的轨迹 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设直线 SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 为坐标原点），证明点 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离为定值，并求出这个定值若直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率都存在并满足 SKIPIF 1 0 ，证明直线 SKIPIF 1 0 过定点，并求出这个定点【解答】解：（1）由题意得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF

20、1 0 SKIPIF 1 0 动点 SKIPIF 1 0 的轨迹 SKIPIF 1 0 的方程是 SKIPIF 1 0 （2）设点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，化为 SKIP

21、IF 1 0 ，此时点 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，代入化为 SKIPIF 1 0 ，化简得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 恒过原点；当 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 恒过点 SKIPIF 1 0 ，此时直线 SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 最多有一

22、个公共点，不符合题意，综上可知：直线 SKIPIF 1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 10如图，已知椭圆 SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ，离心率为 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 经过椭圆 SKIPIF 1 0 的右焦点 SKIPIF 1 0 ，交椭圆于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点（）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程（）若直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 轴于点 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当直线 SKIPIF 1 0 的倾斜角变化时， SKIPI

23、F 1 0 是否为定值？若是，请求出 SKIPIF 1 0 的值；否则，请说明理由【解答】解：（）设椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（）由（）知， SKIPIF 1 0 ，由条件得直线 SKIPIF 1 0 的斜率必存在，设方程为 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPI

24、F 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，同理可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 是定值 SKIPIF 1 0 11已知椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，其右顶点为 SKIPIF 1 0 ，下顶点为 SKIPIF 1 0 ，定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的面积为3，过点 SKIPIF 1 0 作与 SKIPIF 1 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 0 交椭圆 SKIPIF

25、1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别与 SKIPIF 1 0 轴交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）试探究 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由【解答】解：（1）由题意可知：点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的面积为3， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SK

26、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ；（2）由题意可知，直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在，故设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得点 SKIPIF 1 0 的横坐标 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的

27、方程为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得点 SKIPIF 1 0 的横坐标 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，把直线 SKIPIF 1 0 代入椭圆 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，12已知椭圆 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分别是椭圆短轴的上下两个端点； SKIPIF 1 0 是椭圆的左焦点， SKIPIF 1 0 是椭圆上异于点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1

28、0 的点， SKIPIF 1 0 是边长为4的等边三角形（）写出椭圆的标准方程；（）设点 SKIPIF 1 0 满足： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 求证： SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的面积之比为定值【解答】解：（）因为 SKIPIF 1 0 是边长为4的等边三角形，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 所以，椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 （）设直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 由

29、SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 将 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 是椭圆上异于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的点，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 13给定椭圆 SKIPIF 1 0 ，称圆心在原点 SKIPIF 1 0 ，半径为 SKIPIF 1 0

30、 的圆是椭圆 SKIPIF 1 0 的“卫星圆”若椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程和其“卫星圆”方程；（）点 SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 的“卫星圆”上的一个动点，过点 SKIPIF 1 0 作直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 0 都只有一个交点，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，分别交其“卫星圆”于点 SKIPIF 1 0 ， S

31、KIPIF 1 0 ，证明：弦长 SKIPIF 1 0 为定值【解答】解：（）由条件可得： SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （3分）卫星圆的方程为 SKIPIF 1 0 （4分） SKIPIF 1 0 证明：当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 中有一条无斜率时，不妨设 SKIPIF 1 0 无斜率，因为 SKIPIF 1 0 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 时，此时 SKIPIF 1 0

32、与“卫星圆”交于点 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，此时经过点 SKIPIF 1 0 且与椭圆只有一个公共点的直线是 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以线段 SKIPIF 1 0 应为“卫星圆”的直径，所以 SKIPIF 1 0 （7分）当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 都有斜率时，设点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，设经过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与椭圆

33、只有一个公共点的直线为 SKIPIF 1 0 ，则，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，消去 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （9分）所以 SKIPIF 1 0 （10分）所以 SKIPIF 1 0 （11分）所以 SKIPIF 1 0 ，满足条件的两直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 垂直所以线段 SKIPIF 1 0 应为“卫星圆”的直径，所以 SKIPIF 1 0 综合知：因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又分别交其“卫星圆”于点 SKIPIF

34、1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 垂直，所以线段 SKIPIF 1 0 为“卫星圆” SKIPIF 1 0 的直径，所以 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 （12分）14已知椭圆 SKIPIF 1 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，离心率 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点， SKIPIF 1 0 的周长为16（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）已知 SKIPIF 1 0 为原点，圆 S

35、KIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点，点 SKIPIF 1 0 为椭圆 SKIPIF 1 0 上一动点，若直线 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴分别交于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点，求证： SKIPIF 1 0 为定值【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0

36、 ；（2）证明：由条件可知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点关于 SKIPIF 1 0 轴对称，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由题可知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 又直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 得点 SKIPIF 1 0 的横坐标 SKIPIF 1 0 ，同理可得 SKIPIF 1 0 点的横坐标 SKIPI

37、F 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 为定值15已知椭圆 SKIPIF 1 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 SKIPIF 1 0 （1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点，设点 SKIPIF 1 0 ，记直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别

38、为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，问： SKIPIF 1 0 是否为定值？并证明你的结论【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 椭圆 SKIPIF 1 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 是定值证明如下：设过 SKIPI

39、F 1 0 的直线： SKIPIF 1 0 或者 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 时，代入椭圆， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 代入椭圆， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

40、0 ， SKIPIF 1 0 16如图，椭圆 SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 0 （）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（）经过点 SKIPIF 1 0 ，且斜率为 SKIPIF 1 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 0 交于不同两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （均异于点 SKIPIF 1 0 ，问直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【解答】解：（）由题意知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，结合 SKIPIF 1 0 ，

41、解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 椭圆的方程为 SKIPIF 1 0 ；（）由题设知，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，由已知 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，从而直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的斜率之和： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

42、0 17已知直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点， SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 上一点（）当 SKIPIF 1 0 时，求 SKIPIF 1 0 面积的最大值；（）设直线 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴分别相交于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为原点证明： SKIPIF 1 0 为定值【解答】解：（）当 SKIPIF 1 0 时，将 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 ，解得： SKI

43、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 为椭圆 SKIPIF 1 0 的顶点 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离取得最大值3， SKIPIF 1 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 0 （）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点坐标分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0

44、 的方程为 SKIPIF 1 0 ， 令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （10分） SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为定值 18如图，已知点 SKIPIF 1 0 是抛物线 SKIPIF 1 0 上一点，过点 SKIPIF 1 0 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于 SKIPIF 1

45、0 、 SKIPIF 1 0 两点，直线 SKIPIF 1 0 的斜率为 SKIPIF 1 0 （）若直线 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 恰好为圆 SKIPIF 1 0 的切线，求直线 SKIPIF 1 0 的斜率；（）求证：直线 SKIPIF 1 0 的斜率为定值并求出当 SKIPIF 1 0 为直角三角形时， SKIPIF 1 0 的面积【解答】解：（）依题意， SKIPIF 1 0 ，由直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 相切，可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

46、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立直线 SKIPIF 1 0 与抛物线方程 SKIPIF 1 0 ，消去 SKIPIF 1 0 可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 用 SKIPIF 1 0 代替 SKIPIF 1 0 可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因此， SKIPIF 1 0 ，即直线 SKIPIF 1 0 的斜率为定值 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，由 SKIPIF 1

47、 0 得 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，可得 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，无解综上所述，当 SKIPIF 1 0 为直角三角形时， SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPI

48、F 1 0 或1219已知椭圆 SKIPIF 1 0 的两个焦点是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在椭圆 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 （）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（）设点 SKIPIF 1 0 关于 SKIPIF 1 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 上一点，直线 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴分别相交于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

49、 为原点证明： SKIPIF 1 0 为定值【解答】解：（）由椭圆的定义，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （2分） SKIPIF 1 0 将点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的坐标代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （4分） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 椭圆 SKIPIF 1 0 的方程是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （5分） SKIPIF 1 0 （）证明：由 SKIPIF 1 0 关于 SKIPIF 1 0 轴于 SKIPI

50、F 1 0 对称，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （6分） SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （7分） SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （8分） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （

51、9分） SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （10分） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （12分） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 （14分） SKIPIF 1 0 20椭圆 SKIPIF 1 0 焦点在 SKIPIF 1 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 0 ，上焦点到上顶点距离为 SKIPIF 1 0 （）求椭圆 SKIPIF 1 0 的标准方程；（）直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPI

52、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点， SKIPIF 1 0 为坐标原点， SKIPIF 1 0 的面积 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由【解答】解：（）由题意可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即有椭圆 SKIPIF 1 0 的标准方程为： SKIPIF 1 0 ；（）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）当 SKIPIF 1 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点关于

53、 SKIPIF 1 0 轴对称， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2）当直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，由题意知 SKIPIF 1 0 ，将其代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 到 SKIPIF 1 0 距离 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1

54、0 ，即有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，综上可得 SKIPIF 1 0 为定值521已知圆 SKIPIF 1 0 和点 SKIPIF 1 0 是圆 SKIPIF 1 0 上任意一点，线段 SKIPIF 1 0 的垂直平分线和 SKIPIF 1 0 相交于点 SKIPIF 1 0 ，记 SKIPIF 1 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 0 （1）求曲线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）点 SKIPIF 1 0 是曲线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴正半轴的交点，过点 SKIPIF 1 0 的直线交 SKIPIF 1 0 于 SK

55、IPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，试探索 SKIPIF 1 0 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】（1）圆 SKIPIF 1 0 的圆心为 SKIPIF 1 0 ，半径为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在圆 SKIPIF 1 0 内， SKIPIF 1 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为焦点，长轴长为 SKIPIF 1 0 的椭圆，由 SKIPIF 1 0 ，得

56、SKIPIF 1 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由已知直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （定值）22如图，已知动圆 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 ，且与圆 SKIPIF 1 0 内切，设动圆圆心 SKIPIF

57、1 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 0 （1）求曲线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）过圆心 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 交曲线 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，问：在 SKIPIF 1 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 0 ，使当直线 SKIPIF 1 0 绕点 SKIPIF 1 0 任意转动时， SKIPIF 1 0 为定值？若存在，求出点 SKIPIF 1 0 的坐标和 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由圆 SKIPIF 1 0 的方程知，圆心为 SKIPIF 1 0

58、，半径为 SKIPIF 1 0 设圆 SKIPIF 1 0 和圆 SKIPIF 1 0 内切于点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三点共线，且 SKIPIF 1 0 因为圆 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为焦点的椭圆因为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以曲线 SKIPIF 1

59、0 的方程： SKIPIF 1 0 （2）当直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴不重合时，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 设点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 设点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 为

60、定值，则 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 为定值当直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴重合时，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 对于点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 综上分析，存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 为定值23已知椭圆 SKIPIF 1 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，离心率为 SKIPIF 1 0 设过点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与