实验04向量组的线性相关性及线

1、数 学 实 验 空间解析几何与线性代数(向量组的线性相关性及线性方程组) 计算科学系1实验目的1、熟悉用MATLAB软件求矩阵的秩及矩阵的行简化阶梯形的命令2、学会用MATLAB软件求线性方程组2 一、向量组的秩及相关性 （1）两个命令 rank（A） 求矩阵A的秩 rref （A）将A化为行简化阶梯形，其中 单位向量对应的列向量即为极大无关组所含向量，且其它列向量的各分量是用极大无关向量组线性表示的组合系数。3 例1 设向量组A：（1）求A的秩，判断向量组A是否线性相关；（2）求A的一个极大无关组；（3）将其余向量用极大无关组线性表示。 4解： A1=2 1 4 3 -1 1 -6 6 -1

2、 -2 2 -9 1 1 -2 7 2 4 4 9; A=A1； r=rank（A） r= 3A2=rref（A）A2= 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 05 答：（1）r=3，向量组A线性相关； （2）它的一个极大线性无关组是： a1，a2，a4； （3）a3= -a1-a2，a5=4a1+3a2 -3a4 。 二、解线性方程组： 1、Ax=b ，当det（A）0时，求解方法（1）逆矩阵求解：X=inv（A）*b或 X =A b ;（2）克莱姆法则求解：6例2. 解线性方程组 解法1： A=1 -1 1 -2 2 0 -1 4 3 2 1 0

3、 -1 2 -1 2 ；7 b=2；4；-1；-4； x=inv（A）*b x= 1 -2 0 1/2 或: x=A b x= 1 -2 0 1/28 解法2： D=det（A）； n=size（A）； D1=ones (n(1)，1)； for i=1：n(1) A1=A； A1（：，i）=b； D1（i）=det（A1）； endx=D1/D x= 1 -2 0 1/29 2、一般的线性方程组Ax=b的解法 操作步骤如下： （1）输入系数矩阵A及常数项矩阵b； （2）生成增广矩阵B=A b； （3）计算：A的秩r1及B的秩r2； （4）判断：若r1= r2，则转（5）；否则程 序结束； （

4、5）将B化为行简化阶梯形； （6）确定方程组的解。10 例3 解线性方程组 x1 +5x2 -x3 -x4 = -1 x1 -2x2 +x3+3x4 = 3 3x1+8x2 -x3 +x4 = 1 x1 -9x2 +3x3+7x4 = 7 解： A=1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7 ；11 b=-1；3；1；7； B =A b； r1=rank（A）； r2=rank（B）； if r1=r2 c=rref（B） end12 c= 1.0000 0 0.4286 1.8571 1.8571 0 1.0000 -0.2857 -0.5714 -0.5714

5、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013其通解为：K1，K2R，但K1， K2不同时为0.14 例4 应用型实验：工资问题 现有一个木工、一个电工、一个油漆工、一个装修工，共同合作完成他们各自的住房装修。为了用工分配合理，决定每人工作13天，日工资不超过100元，且每人的总收入与总支出相等，试建立数学模型,以合理确定每人的日工资额。15工作天数分配方案 工种 天数 木工 电工 油漆工 装修工在木工家 2 1 6 3的工作天数 在电工家 4 5 2 4的工作天数在油漆工家 4 4 3 2的工作天数在装修工家 3 3 2 4的工作天数16 解：(1)问题分析与模型建立 木工、电工、油漆工、装修

6、工，装修他们的房子，每人共工作13天，每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等，这是一个投入产出问题。 设木工、电工、油漆工、装修工的日工资分别为：x1，x2，x3，x4。则收支平衡关系式分别为：172x1+x2+6x3+3x4=13x1 4x1+5x2+2x3+4x4=13x24x1+4x2+3x3+2x4=13x3 3x1+3x2+2x3+4x4=13x4得数学模型：18(2) Matlab求解A=-11 1 6 3；2 -4 1 2；2 2 -5 1； 3 3 2 -9；B=rref(A) B= 1.0000 0 0 -0.9912 0 1.0000 0 -1.2719 0 0 1.

7、0000 -1.1053 0 0 0 019C=-B(:,4);C(4)=1;k=70;x=zeros(4,1);X=;while max(x)k=k-1d=X(:,k-70)运行结果k = 78d = 77.3158 99.2105 86.2105 78.000020 齐次线性方程组的通解为： 由xi100得K=78，以确定木工、电工、油漆工及装修工每人每天的日工资： x1=77 x2=99 x3=86 x4=7821上机实验题 一、已知向量组A： （1）求向量组A的秩，并判断向量组A的相关性； （2）求A的一个极大无关组； （3）将其余向量组用极大无关组线性表示。22 x3 100 x6 x4 400 300 200 x2 x5 x7 300 x8 x1 600 500 200 400 300 500 x9 x10 600 700 二、应用型实验：交通流量问题 图中给出某城市部分街道的交通流量（单位：辆/小时），23 假设 （1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量； （2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。 试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量。 1、实验目的 学会应用线性代数中