线性微分方程一般理论

1、关于线性微分方程的一般理论第一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月2 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且还因为线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，同时它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用。所以，本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数线性微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶变系数线性微分方程的幂级数解法也作适当地介绍。第二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月3主要内容 线性微分方程的一般理论 常系数线性微分方程的解法 高阶微分方程的降阶和幂级数解法重点 线性微分方程的基本理论

2、常系数线性微分方程的解法 第三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月44.1 线性微分方程的一般理论 第四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月5一、解的存在唯一性定理1 n阶线性微分方程定义1第五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月6第六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月72 解的存在唯一性定理定理1第七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月8二、齐线性方程的解的性质和结构定理21 叠加原理容易看出，齐次线性方程恒有零解。第八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月9证明:故有第九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月10例1的解.解:第十张，PPT共三十七页

3、，创作于2022年6月112、函数的线性相关性考虑定义在区间 上的函数 ，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式对于所有 都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在区间a,b上是线性无关的。问题： 在什么样的条件下，表达式（4.4）能够构成为n阶齐次线性方程（4.2）的通解？第十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月12例2 考虑函数组的线性相关性解： 第十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月13例3 函数组线性无关。此恒等式如果成立，也就是a,b中的每一个t都是这个方程的根，因此有无穷多个根。另一方面，如果有一个系数不为0，则是一个不超过n次的代数方程，最多有n个根。分

4、析：我们假设存在第十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月14定义23 伏朗斯基(Wronsky)行列式第十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月154 函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系(1)定理3证明:使得第十五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月16由线性代数理论知要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,第十六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月17注定理3的逆不成立.如函数事实上,若有恒等式则第十七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月18推论(2)定理4证明:“反证”第十八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月19现以这组常数构造函数

5、,由定理2知,又因为第十九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月20由解的唯一性定理知第二十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月21 注释：根据定理3和定理4知道，由n 阶齐次线性方程（4.2）的n个解构成的伏朗斯基行列式，或恒等于零，或在方程的系数为连续的区间内处处不等于零。并根据定理1，构造一组初始条件：满足这组初始条件的解 一定存在，且又因为 , 由定理3知道，这n个解一定是线性无关的。于是有5、通解结构定理第二十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月22定理5 n阶齐次线性方程（4.2）一定存在n个线性无关的解。定理6（通解结构定理） 如果 是方程（4.2）的n个线性无

6、关的解，则方程（4.2）的通解可表为 （4.11）其中 是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。第二十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月23推论：方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n。n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。定义 把方程（4.2）的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组。显然,基本解组不唯一。特别地，当 时称其为标准基本解组。例1 已知方程 ，证明cost及sint为它的基本解组, 并写出它的通解。分析：按定义证明即可。第二十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月24补充结论：齐次方程（4.2）的解与它的系数之间有如下关系：

7、上述关系称为刘维尔（Liouville）公式。第二十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月n级行列式函数的求导：引理：设函数f ij ( x) ( i , j = 1 ,2 , , n) 在区间I 内可导,则行列式函数在区间I 内也可导，且有第二十五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月26由刘维尔公式可以看出齐次方程（4.2）的伏朗斯基行列式的重要性质：1.W(t)在区间a, b上某一点为零，则在整个区间上恒为零。2.W(t)在区间a, b上某一点不等于零，则在整个区间上恒不为零。重要定理：第二十六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月27性质2 方程（4.1）的任意两个解之差

8、必为方程(4.2)的解。其中 为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。4.1.3 非齐次线性方程与常数变易法性质1 如果 是方程（4.1）的解，而 是方程（4.2）的解， 则 也是方程（4.1）的解。定理7 设 为方程（4.2）的基本解组，而 是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为1、基本性质和定理第二十七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月28回想一阶线性非齐次微分方程的解法-常数变易法第二十八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月293 常数变易法则为方程(4.2)的通解.此时(4.15)变为将它代入(4.1),第二十九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月30 在理论上,这些另加条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令得第三十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月31和表达式继续上面做法,直到获得第n-1个条件和表达式第三十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月32第三十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月33因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得积分得第三十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月34第三十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月35例3解:利用常数变易法,