雍浩浩-南浩张

1、对定位问题的和解决摘要目前如何确定已经成为信息的重要传递载体，数据的分析显得愈发重要。其中，的拍摄地点和拍摄日期是数据分析的重要方面。就是通过分析中物体的变化，确定拍摄的地点和日期的法。以此项技术为背景提出了 4 个问题。整个地球看做直角坐标系并将所有的经纬度转化为直角坐标对四个问题进行了分析计算。针对第一问，通过计算光线的直线方程，再根据确定出直杆所处位置的计算出直杆的直线方程，通过向量计算出两直线的夹角，从而得到高度角的变化，进而计算出长度的变化。在这个过程中采用了时间，以此来确定不同时刻直射点所处的经度。针对第二问，因为每天的高度角都有一个最大值，故会有最短的时刻。根据第一问的结果用给数

2、据进行拟合，从而找到拟合出了变化的曲线，找到拟合的方法后对问题二所长度的最短时刻，而这个时刻正是当地时间的正午时间，根据正午时间的时间即可以确定此地经度。确定经度后，位于不同纬度的地点在某两个时刻的高度角的比值是是确定的，所以画出随纬度变化这个比值的变化曲线，从图像交点得到所求纬度。针对第三问，由于题目中减少了时间这一信息，所以的纬度，从而得到每个日期的可能地点。可以画出不同日期对应针对第四问，主要是从中得到影长的数据。为了便处理中的信息，对原始用 XVID 方式进行了转码，转码后的的帧大小是 856*480。截图后用 PS处理，得出必要的信息，如杆的像素长度，杆和地面接触部分的坐标等。再利用

3、OpenCV 计算机视觉库结合 VC，每两分钟从中算，从而得到影长的数据。一帧，人工点选，然后程序计关键字：坐标系变换向量计算多项式拟合影长比一、问题重述1.1 引言四个问题均与杆在下的投影有关。问题一通过给出已知的日期、地点，从而求出的长度随时刻的变化规律。问题二和三则于问题一相反，已知各个时刻对应的长度及位置，反求杆子所处的地点与日期。至于问题四，则是通过前三问得到的模型和方法，对给出的一段进行分析，得到的拍摄地点。1.2 问题的提出围绕日期、地点、时刻和的长度和位置，本文提出以下 4 个问题：(1)建立长度变化的数学模型，分析长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出 2015 年

4、 10 月 22 日时间 9:00-15:00 之间广场（北长度的变化曲纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的线。(2)根据某固定直杆在水平地面上的顶点坐标数据，建立数学模型确定直顶点坐标数据，给出若干个可能的杆所处的地点。将地点。的模型应用于附件 1 的(3)根据某固定直杆在水平地面上的顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。(4)附件 4 为一根直杆在杆的高度为 2 米。请建立确定下的变化的，并且已通过某种方式估计出直拍摄地点的数学模型，并应用的

5、模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据确定出拍摄地点与日期？二、模型假设1.地球是标准的球体。2.光是平行光。3.杆的长度相对于地球半径可忽略不计（可将地面视为没有弧度的平面）。4.一年有 365 天。5.3 月 21 日为春分，当天直射赤道。6.同一天里直射点所在的纬度不变。7.直杆垂直于地面，及延长线通过球心。三、符号说明四、问题分析4.1 问题一分析题目要求建立长度变化模型。首先，建立坐标系，设出杆所在地点的坐标；然后，推算出直射点位置与日期和时间的关系，得到光与杆的夹角，从而求出的长度；最后，通过得到的各个时刻的长度，绘制出一条曲线，拟合出曲线的方程。题目要求建立长

6、度变化模型。由投影知识知道，光照射在物体上时所形成的长度与光和直杆的夹角大小相关，这个夹角可以看做直杆所在直线的方向向量和光所在直线的方向向量的夹角。直杆所在坐标确定了直杆所在直线的直线方程，所以直杆的坐标是会影响长度的；而直射点的坐标确定的长度，而决定。日期决定了了光线所在直线的方程，所以直射点的坐标也会影响到直射点位置的变量就是时间，所以时间是必不可少的影响直射点的纬度，时刻决定了直射点的经度。所以由时间以及待测点的坐标就可以得到高度角，从而计算出长度。第一步，建立坐标系，设出杆所在地点的坐标。第二步，推算出的方向向量。直射点位置与日期和时间的关系，计算出光线所在直线第三步，由投影关系计算

7、4.2 问题二分析长度。与第一问相反，第二问题目给出了长度的数据以及测量的时间。要求给出测杆所在地点的纬度(北纬为正，南纬为负)杆所在地点的经度(东经为正，西经为负)(x0,y0,z0)杆所在地点的坐标直射点的纬度直射点的经度(x1,y1,z1)直射点的坐标l杆长d影长影长比得的地理位置。从日出到日落的长度变化规律为先变短，再变长，所以只需要找出最短的时间即为当地的正午时间。所以找出一个可以找到最短的方法就可以找到当地的正午时间，再与时间进行对比得到该地的经度。对第一问中时间和长度的数据进行四阶多项式拟合，所以对问题二给出的数据依然进行四阶多项式拟合，得到最低点从而计算出经度。针对纬度，由于题

8、目中未给出杆长，所以无法计算高度角的大小。当固高度角的正切值和定经度时，在同一纬度的同一天里，某一时刻（当地时间）的另一时刻（也为当地时间）高度角的正切值的比值是确定的，如下午三点与中午十二点的高度角正切值的比值。而这个比值恰恰就是长度的比值。在该经度上取点作出纬度与这个比值的函数关系，再画出测量地点的比值，得出交点即为所求解。4.3 问题三分析由于题目中减少了时间这一信息，所以无法根据日期来确定纬度。一年中的天数是有限的，所以可以用画出每天的影长比随纬度的变化曲线，再与测量地点的数据算出的影长比求图像交点，从而得出不同时期对应的纬度信息。4.4 问题四分析这一问给出的是信息，所以主要的难点是

9、从中得到影长的数据。为了便处理中的信息，选择了对原始用 XVID 方式进行了转码，转码后的的帧大小是 856*480。截图后用 PS 处理，得出必要的信息，如杆的像素长度，杆和地面接触部分的坐标等。再利用 OpenCV 计算机视觉库结合 VC，每两分钟从视频中一帧，人工点选，然后程序计算，从而得到影长的数据。再结合前面的分析进行求解。五、模型的建立与解决问题一的模型建立和解决模型的准备（1）符号说明：杆所在地点的纬度(北纬为正，南纬为负)：杆所在地点的经度(东经为正，西经为负)(x0,y0,z0)：杆所在地点的坐标：直射点的纬度：直射点的经度(x1,y1,z1)：杆长：l影长：d(2)资料查找

10、直射点的坐标北回归线纬度为 232621”。时间是指东经 120上的当地时间，并非当地时间。处于+8 时区，即时间比时间(0经线的当地时间)超前 8 小时。5.1.2 模型的建立以地心为原点，地心到 0经线与 0纬线交点为x方向，地心到东经 90经线方向建立空间直角坐标系，由于与 0纬线交点为y方向，地心到北极点为 z计算的均为角度，地球半径不会产生干扰，所以假设地球半径为1。已知杆所在的位置 = 395426”, = 1162329”，转化到该坐标系内，得到杆所在的位置的坐标：x0=cos cos，y0= cos sin，z0= sin.再考虑直射点的位置，它由日期和当天的时刻所决定。其期决

11、定纬度，当天的时刻决定经度。根据假设 3 月 21 日直射赤道，之后直射点向北移，又已知北回归线纬度为0 =232621”，设经过 n 天后，直射点的纬度为，那么有： = sin (2 ).0365从 3 月 21 日到 10 月 22 日，总共经历了 214 天，得 = 12546”.直射点的经度由当天时刻决定。设时间为x 时 y 分 z 秒，则直射点经度应为360 = 180 3600 24 3600 + 60 + 时间 9 时和 15 时时，= 75.时间为 1 时和 7 时，带入得到1 = 165，2由 、转化到直角坐标系内，得到直射点的位置的坐标：x1=cos cos，y1= cos

12、 sin，z1= sin.这样得到了两个坐标点(x0,y0,z0) (x1,y2,z3)，亦即原点到这两点的向量。现在我们只需求出这两个向量的夹角，然后用杆长 l 乘以的正切值便能得出阴影的长度 d。由余弦定理，01 + 01+01cos =02 + 02 + 02 12 + 12 + 12从而得到1 2tan =进一步有d= .5.1.3 问题的解决在 9 时到 15 时之间等间隔取 61 个点，根据上述的方法，利用分别计算出这 61 个时间点的的长度，并画出曲线。问题二的模型建立和解决模型的准备杆的长度公式 = 1 2= 01 + 01+011 ()202 + 02 + 02 12 + 1

13、2 + 1201 + 01+01= 02 + 02 + 02 12 + 12 + 120 cos cos + 0 cos sin+0 sin1 ()202 + 02 + 02 (cos cos)2 + (cos sin)2 + sin20 cos cos + 0 cos sin+0 sin= 02 + 02 + 02 (cos cos)2 + (cos sin)2 + sin2其中，x0,y0,z0 均为已知常量，在一天中也为常量，为时间的变量，且随时间线性变化。由于该式过于复杂，不便于处理，决定用相对简单的多项式并利用来进行拟合。(1)二次曲线f(x) = p1*x2 + p2*x + p3

14、系数(95%置信区间)：p1=0.3415 (0.3319, 0.3511)p2=-8.38 (-8.61, -8.149)p3 =55.2 (53.84, 56.56)误差项平方和: 0.6245R2: 0.9899(2)三次曲线f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4系数(95%置信区间)：p1=-0.01342 (-0.01858, -0.008261)p2=0.8246 (0.6387, 1.011)p3=-14.1 (-16.31, -11.89)p4=77.49 (68.85, 86.14)误差项平方和: 0.4231R2: 0.9931(3)四次曲线f(x

15、) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5系数(95%置信区间)：p1 = 0.01251 (0.01196, 0.01307)p2 = -0.614 (-0.6407, -0.5873)p3 = 11.54 (11.06, 12.01)p4 = -98.19 (-101.9, -94.43)p5 = 322.7 (311.7, 333.7)误差项平方和: 0.01137R2: 0.9998(4)五次曲线f (x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6系数(95%置信区间)：p1 = -0.0009598 (-0

16、.001221, -0.0006991)p2 = 0.0701 (0.05445, 0.08575)p3 = -1.986 (-2.36, -1.613)p4 = 27.76 (23.34, 32.19)p5 = -193.4 (-219.5, -167.4)p6 = 544.6 (483.8, 605.5)误差项平方和: 0.005715R2: 0.9999根据拟合结果，可以看出，二阶和三阶多项式拟合效果一般，四阶和五阶效果较好，故排除前两者。而五阶多项式中五次项系数过小，意义不大，故阶多项式进行拟合。5.2.2 模型的建立决定选择四知道，某地在当地时间 12 时时，光与杆的夹角最小，杆的影

17、长最短。故可以通过杆的影长最短的时刻，与时间进行比较，从而推算出该地的经度。将给出的数据进行拟合，得出一条四次曲线，设该曲线的极点的横坐标为 x 时 y 分z 秒，那么该地经度应为 = 120 15 |x + 60 + 3600 12|下面计算纬度。首先说明不同时刻的影长之比和杆长无关。设杆在两个时刻的影长为d1 和 d2，比值为1 11 = = 222与杆长无关。同一日期，设某地 12 时的影长与 15 时的影长比为，则有1 = 2在第一问中知道1 和2 是纬度的函数，故亦为纬度的函数，又由地球的对称性可知，在同一纬度的各个经度上，的照射规律是一样的，故与经度无关。现在， 从南纬 60到北纬

18、 60每隔 0.1取一点，计算出当地 12 时与 15 时的影长之比，得到了与的一个关系曲线。这时用之前拟合出的曲线，读出 12 时和 15时的影长，得到该地的影长之比，再对应到与的关系曲线中，最终得到，即该地的纬度。5.2.3 模型的解决(1)拟合曲线通过附件 1 的数据，计算出各个时刻的长度：然后拟合出时间与影长的四次曲线：f(x) = 0.013874 0.80243+17.512 170.1x + 620该曲线的极点所对应的横坐标为 12 时 39 分，可以得到该点经度39 = 120 15 60 = 110.25通过曲线得到 12 时与 15 时影长的比值(12) = (15) =

19、0.3827再通过与的关系曲线，令=0.3827，得到的值，读图得=-14.77或 33.01，因为-14.77所在地点为海域，故舍去，所以得出测量地点为东经 110.25，北纬 33.01。5.3 问题三的模型建立和解决5.3.1 模型的建立问题三和问题二类似，但没有告诉日期，因此需将问题二的模型稍作改动。首先，用附件二、三给的数据拟合出时间与影长的四次曲线。设该曲线的极点的横坐标为x 时 y 分 z 秒，那么该地经度应为 = 120 15 |x + 60 + 3600 12|同时可以算出 12 时与 15 时的影长比。然后由第二问可知，在同一天中杆子在 12 时和 15 时的影长之比为纬度

20、的函数，可以做出 关系曲线。那么不同的日期就会有不同的曲线。将计算出的分别带入各个日期所对应的曲线，可以得到交点，即为该地的纬度。5.3.2 模型的解决通过附件 2 的数据，计算出各个时刻的长度：然后拟合出时间与影长的四次曲线：f(x) = 0.0042214 0.21613+4.2412 38.25x + 135.7解出最低点的横坐标 14 时 45 分 45 秒，得到经度为东经78.56。通过同时算出影长比(12) = (15) = 0.1487然后画出各个日期的 关系曲线。由于一年有 365 天，无法每天都画出，这里仅选出具有代表性的几天画出。以夏至日为例， = 0.1487与其有 3

21、个交点，考虑最左端的交点，从下降的趋势来看，没有实际意义，故舍掉。取右边两点，纬度为北纬 15.48和北纬 31.38。即得到附件二数据的拍摄地点有可能是6 月22 日（夏至）的东经78.56，北纬15.48或31.38。取多组日期，用所示：分别计算杆所在的纬度，得到了日期和纬度的关系如下图此曲线能够清晰准确地反应测量地点的时空关系。附件三的数据同理附件二，进行操作，得到如下结果：f(x) = 0.011224 0.58413+11.672 105.6x + 367.9极点所在横坐标为 12 时 27 分 24 秒，得到经度为东经 113.15。然后画出各个日期的 关系曲线。从图上可以得到，附

22、件三的拍摄的时间、地点可能 3 月 21 日（春分）的南纬 50，或 6 月 22 日（夏至）的北纬 58。问题四的解决问题分析问题的直接获得在于如何提取中的长短的信息。由于拍摄角度刁钻，无法的长度，这就需要用到、图像处理的技术。得到的长度数据后，就可以用前面构造的模型进行求解。5.4.2 问题解决为了便处理中的信息，对原始用 XVID 方式进行了转码，转码后的视频的帧大小是 856*480。截图后用 PS 处理（见示意图中分析），得出必要的信息，如杆的像素长度，杆和地面接触部分的坐标等。再利用 OpenCV 计算机视觉库结合 VC，每两分钟从中一帧，人工点选，然出来。后程序计算出影长（以杆长

23、为），把时间、xy 坐标、影长，进行四阶拟合，得到：接着把数据导入f(x) = 1.2454 + 46.013637.62 3592x 9052极点 9 时 51 分 9 秒，可计算出经度为东经 1521245”。再根据当地时间正午影长，算出光线和杆的夹角，然后纬度 = ，从而算出纬度。为北纬 841751“或南纬 40586“对于第四问的最后一个问题，经度的计算方法不变。对于纬度， 与纬度就是那天的那么它的正午所以纬度不应该在比不能算出。注意到。此地影长比是 0.0089，接近 0，也就是说该地可能的时期直射点所在纬度，高度角是 90 度，投影是 0，而计算出的正午影长离 0 较远，直射点纬度附近。所以，不能计算它的日期和地点，至少用影长六、模型评价与改进6.1 建立时间与长度的函数模型，即运用四阶多项式进行拟合，运用最低点有效说明了经度，模型假设大胆合理，且理论严谨。6.2 通过拟合时间-影长关系得到经度，通过定义影长比来确定测量地点的纬度，方法具有一定的创新性且根据分析影长比确实是纬度的函数，而且在是 0，符合实际情况。直射点的纬度影长比6.3 由于日期是离散的，对于每天可以得出影长随纬