《高等数学》(经管类专业适用)教案第二章2.2.3函数的极值与最值

1、m :高歌福画解课题函数的极值与最值教学目标知识目标会用导数求函数的极值、最值；会求经济应用中的利润最大化、成本最小化、 库存管理问题等最优化问题。(1)感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值能力目标是函数的局部性质；(2)掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤；(3)能运用所学的导数知识，正确地解决的经济应用中问题教学重点利用导数知识解决实际问题教学难点函数极值的判断方法教法学法探究式问题教学法、小组学习法、讲练结合法教学反思极值存在的条件？最大值、最小值与极大值、极小值有什么区别和关系？在经济应用中求 最大(小)值问题需要注意什么？教学过程设计意图一、知识回顾函数

2、的单调性与导数值有什么联系呢？如何求单调区间？二、情景引入问题1：观察图2-8,函数y f(x)在点Xi,X2,X3,见附近点的导数符号分别是什么，并且有什么关系？三、合作探究1.学习新知问题2：图2-8中，函数y f (x)在点X1,X2,X3,X5的值与其邻近点的值有什 么关系？设函数f(X)在点Xo的附近有定义，如果对 飞附近的所有的点，都有f (x) f(Xo)(或 f (x) f(Xo),则称f(x0)是函数f(x)的极大值(或极小值)，称X0是函数f(x)的极大值 点(或极小值点).极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.先复习已学知识，为后面的学习做准 备。启发

3、学生思考，边 思考边展开讨论。引导学生给出极值 的概念。给出极值的定义。教学过程设计意图注：(1)极值是一个局部性的概念；(2)函数的极值不是唯一的；(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.问题3:可导函数的极值点处的导数有什么特点？定理1(极值存在的必要条件)如果函数f(x)在点x0处可导，且在X0处取得极值，则f(X0) =0.使f (x) 0的点称为函数f (x)的驻点.问题4:可导函数的极值点必定是它的驻点，那函数的驻点一定是极值点 吗？一、3一 一3函数y x在点x 0处的导数等于零

4、，即 x 0是函数y x的驻点，但x 0不是y x3的极值点.问题5:函数除了在它的驻点处可能取得极值，在其它位置上还可能取得极值吗？函数f (x) |x|在点x 0处/、可导，但 f (x) |x |在点x 0取得极小值.归纳起来，一方面，函数可能取得极值的点是驻点和不可导点；另一方面，驻点和/、可导点却又不一定是极值点.2.学习新知问题6：求函数的极值，有什么判别法 ？定理2(判别极值的第一充分条件)设函数f (x)在点x0左右邻近的点连续且可导(在小处可以不可导)，当x由左至右(由小到大)经过点x0时，如果(1) f (x)由正变负，则函数f (x)在x0取得极大值；进一步分析，加深对极

5、值定义的理解。引导学生得到极值 存在的必要条件。通过例子，让学生引导学生注意到极值点与驻点的关系。通过例子，让学生认识到极值点与驻点、/、可导点的关系。给出判别极值的第 一充分条件。教学过程设计意图f (x)由负变正，则函数 f(x)在X0取得极小值；f (x)保持同号，则函数f(x)在点x0没有极值.根据上述讨论，求函数极值的步骤如下：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f (x),并求出f(x)的驻点及f (x)不存在的点；(3)用步骤(2)中求出的点将函数的定义区间划分为若干个子区间，确定f (x)在各个子区间的符号，确定极值点和极值.当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时，

6、也可以利用下述定理来判定f (x)在驻点处是取得极大值还是极小值.定理3(判别极值的第二充分条件)设函数f (x)在点x0具有二阶导数，且 f x00, f x00 ,则(1)当f xo0时，函数f(x)在点xo取得极小值；(2)当f xo 0时，函数f (x)在点xo取得极大值.问题7:两个定理都是判定极值的充分条件，它们在应用时有什么区别呢？定理冽驻点和导数不存在的点均适用，定理3只对二阶导数存在且不为零的驻点适用，下列两种情形，定理3不适用：(1) f (x0)不存在的点；(2) f (x0) 0,f (x0) 0的点.这时，x0可能是极值点，也可能不是极值点.3.探究例题一 ,一， ，

7、、一、,一1 32【例1】求函数f (x) -xx 3x 3的极值.3解 (1)函数的定义域为(，)；(2) f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3),令 f(x) 0,得驻点：x 1 , x 3 ；(3)列表讨论如下：归纳出求函数极值的步骤。给出判别极值的第一充分条件。帮助学生理清两个 判定法的适用条 件。通过例子，讲解使用第TU别法求极值的步骤。教学过程设计意图x(,1)1(1,3)3(3,)通过例子，讲解使 用第二判别法求极 值的步骤。引导学生正确区分 极值和最值两个概 念的差别和联系。分析总结，给出求 最值的步骤。f (x)0-0f (x)极大值极小值一 .-4所以，函数的极大

8、值为 f( 1) 一,极小值为f(3)12.3【例2】求函数f (x) x3 6x2 9x 3的极值.解 (1) f(x)的定义域为(，)；，一、一2(2) f (x) 3x 12x 9 ,令f (x) 0求得驻点x, 1 , x2 3.f (x) x 12;(3)因为f (1)6 0所以f(1) 1为极大值；因为f (3) 6 0所以f (3)3为极小值.学习新知问题8:在实际应用中，我们经常考虑函数的最大(小)值，最大值(小)与极大(小)值用什么小何？如何求最大(小)值？函数的极值是函数在局部范围内的最大值或最小值，从第一章我们知道,如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，则f (x)在a

9、,b上必有最大值与最小值.从图2-8可知，函数的最值只能在驻点、/、可导点、端点取得因此，求函数f(x)在闭区间上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f (x)的定义域；(2)求f (x),求出函数的驻点以及/、可导点；(3)计算f(x)在驻点、/、可导点以及端点的函数值，比较大小，即可得函数的最大值与最小值.探究例题教学过程设计意图【例3】 求函数f(x) x4 2x3在1,2上的最大值和最小值.解 (1)指定的区间为 1,2 ;f (x) 4x3 6x22x2(2x 3)一.一，,3令f (x) 0 ,得驻点为x1 0 (舍去)，x2 ；2f(3)27, f(1)1, f(2) 0,2

10、16一一.,_ ,_ , ,327所以，函数在1,2上的最大值为f(2) 0,最小值为f (-)。.216注：实际应用中，如果函数f(x)在某个连续区间内只有唯一的极值点小,可以断定，f(x0)就是函数f (x)在该区间上的最大(小)值.问题9:我们是否也可以利用数学软件MATLA球极值呢？灵活的运用数学软件 MATLAB勺计算功能，可以很容易地求得函数的极值.解法思路：(1)先用diff命令求函数y的导数；(2)再用solve命令求导函数为0的点，即驻点；(3)再用fplot命令绘函数曲线，判断驻点是否为极值点.7.探究例题【例4】求函数y x3 2x2 5x 1的极值.解输入卜列命令：y=

11、xA3+2*xA2-5*x+1;dy=diff(y)(求一阶导数)x=solve(dy)(求导函数为零的点，即求驻点)x=double(x)(将x显小为双精度数值)y1=x.A3+2*x.A2-5*x+1运行Z果：dy =3*xA2 + 4*x - 5通过具体例子，掌 握求最值的方法。介绍数学软件 MATLAB极值的思 路。通过具体例子，让学生了解MATLA球极值的命令格式。高翌OKK教学过程设计意图x =-19A(1/2)/3 - 2/319A(1/2)/3 - 2/3 x =y1 =作函数曲线：fplot(xA3+2*xA2-5*x+1 , -4,2).学习新知问题10:如何利用数学软件

12、MATLABt函数在给定区间上的最值？求函数在给定区间上的最小值的MATLAB勺命令格式为：x= fminbnd ( 函数 y, a, b)说明：命令fminbnd仅用于求国数在指定区间a,b的最小值点.若要求函数的最大值点，可先将所求函数变号，求得最小值点，即为所求函数 的最大值点.探究例题 -，一，、一 ，x .、2【例5】求函数y e (x 1)仕区间-3,3上的最小值.解输入卜列命令：x=fminbnd(exp(-x)+(x+1)A2,-3,3) &求函数在区间-3,3上的最小值点x =y= exp(-x)+(x+1)A2&求相应的 y 值y =&函数在区间-3,3 上10.学习新知介

13、绍数学软件MATLAB最值的命令格式。通过具体例子，让学生了解MATLAB最值的命令格式。教学过程设计意图问题11:在经济管理决策中，经常遇到利润最大化问题，如何利用导数解决经济管理中的利润最大化问题呢？在经济学中，总收益 R和总成本C都可以表示为产量 Q的函数，则总利润函数为L(Q) R(Q) C(Q)为了使总利润取最大值，根据极值的必要条件知L(Q) R(Q) C (Q) 0因此得到R(Q) C (Q)这个等式表明：最大利润在使边际收益等于边际成本的产量水平处达到.但是，使L(Q) 0得产量水平未必就是利润最大化的产出水平，也可能是利润最小时的产量水平.因此，还需要满足 L (Q) 0 ,

14、即R (Q) C (Q).由上面的讨论，我们可以得到如下结论：当边际收益等于边际成本且边际收益的变化率小于边际成本的变化率时，可获得最大利润11.探究例题【例6】 某公司生产某产品 Q件，总成本函数为 C(Q) -Q2 6Q 7(千元)，需求规律为 Q 30 P ,求产量为多少时总利润最大？解由Q 30 P得出P 30 Q ,则R(Q) P Q (30 Q)Q 30Q Q2,于是 _ 21-2人L(Q) R(Q) C(Q) (30Q Q ) (一Q 6Q 7)221230Q Q2 -Q2 6Q 72-Q2 24Q 72L (Q) 3Q 24 ,令 L (Q) 0 ,得 Q 8又因为 L (Q)

15、3 0 ,即 L (8)3 0,与学生共同探究， 利用极值的理论解 决实际问题。总结归纳，得到结 论。仔细讲解解题的步 骤和认知过程，突 出重点，培养学生 分析问题和解决问 题的能力。教学过程设计意图所以，当产量 Q 8 (件)时，总利润达到最大 .12.学习新知问题12：在生产管理中，经常遇到这样的问题，即在稳定的生产规模条件下，如何生广能使成本最小，从而利润最大？设生产某种产品的总成本为 C(Q), Q为产量，则产量为Q时的边际成本为C (Q),生产每单位产品的平均成本为一C(Q)C(Q) *Q由极值存在的必要条件知道，使平均成本最小的产量Q应满足C (Q) 0又因Q C(Q) C(Q)C

16、 (Q)Q2产量Q等于零时，讨论平均成本没有意义，即 Q 0 ,故得Q C (Q) C(Q)从而得到C(Q)竿 C(Q) Q即当边际成本等于平均成本时，平均成本最小.13.探究例题【例7】某产品生产Q单位的总成本函数为C(Q) -Q2 18Q 36,4试求平均成本最小的产量水平.解平均成本为三 C(Q) 136C(Q) ) Q 18Q4Q令与学生共同探究， 利用极值的理论解决实际问题。总结归纳，得到结 论。仔细讲解解题的步 骤和认知过程，突 出重点，培养学生 分析问题和解决问教学过程设计意图一136C (Q) 1 04 Q2解得Q 12 .由于-_72-C (Q) 0y 0 (Q 0)所以Q

17、12是平均成本 C(Q)的极小值点，也是平均成本最小的产量 水平.再看当Q 12时，C(Q)与C(Q)的关系：因 C(Q) 1q 18,故得 C(12) (1q 18)24,h k1 八36-而 C(12) -Q 18 24.4Qq12于是有C (12) C(12),即Q 12时，边际成本等于平均成本，此时平均成 本最小.学习新知问题13:企业为了完成一定的生产或销售任务，必须保持生产或销售正 常进行所必需的材料或货物.在总需要量一定的条件下，多长时间订一次货， 每次订货多少才能使总存货成本最小呢？我们来研究整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，它是指某种物资的库存量下降到零时，随机订货进货，库

18、存量由零恢复到最高库存量 Q ,然后开始 下一个存储周期，因此，平均库存为 Q (即订货批量Q的一半).探究例题【例8】某种产品年需求量为 16000件，库存一件该产品一年的费用是10元，为再订购，需付 50元的固定成本及每件产品另加10元.为总存货成本最小，每年应分几次订购？每次批量是多少？解 设批重为Q ,则持有成本为10 Q,订购成本为(50 10Q)2Q题的能力。与学生共同探究，利用极值的理论解 决实际问题。教学过程设计意图故总存货成本 C(Q) 10 Q (50 lOQ)16000, (Q 0) 2QLC 8000005Q 160000Q人800000星 /口令C (Q) 5 l 0 ,解得Q 400Q21600000,又 C (Q)3 0 ,故 C (400)0.所以为了总存货成本最小，每次订购批量为400件，每年订购40次.在经济学中，把总存货成本最小的iT货批量称为经济订购批量.在经济订购批量处，持有成本与订购成本相等，并使两者之和最小 四、课堂练习32.求函数f (x) x 3x 9x 5的极值.求函