《高等数学下》期中试题参考答案

1、2.3.4.5.6.7.高等数学下期中试题参考答案图等数学下期中试题参考答案嘉善光彪学院.填空题(每小题lim : sin2 岫 _3分，共21分)1-1专业本科2005年级2006.40 x4x2+sinx2-dx =1+x+0dx-oox2+2x+2空间曲线z=lim 2xsin2x . lim sin2x = 1x 0 4x3x 0 2x22x2-11+x2dx +1 sinx _ 1 x2_ 11_1_-11+x2dx = 2 01+x2dx +0=2 0(1-1+x2)dx=2-2arctanx|0=2- /2+8 d(x+1),+00-8(x+1)2+1 = arctan(x+1)

2、| -oo/2 - (-/2)=:.2-x -y :x2+y21设 z = ln(x+lny),则 y42交换 0 dy y f(x,y)dx设f(x)是连续函数，且在XOY平面上的投影为x2+y2=1 z=0=1?.y x+lny1/y = 0 x+lny积分次序得2x20 dx 0f(x,y)dxx3-10 f (t)dt =x,则 f (7)二两边求导得到f(x3-1)3x2=1 ,将x=2代入得到f(7)=1/12二。单项选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。每小题8.下列等式正确的是d bA、dx af(x)dx=f(x)3分，共18分

3、。)dB、dx f(t)dt=f(x)d xC、dx af(t)dt=f(x)(CD、 f (x)dx=f(x)正确的关系式为:d bA、dxaf(x)dx=0B、ddx fdt=0C、ddxxaf(t)dt=f(x)D、f (x)dx=f(x)+Cx9.设 0f(t)dt =12f(x)-12且 f(0)=1 ,则f(x)=A、e 2x1 xB、2e xC、xe21 2xD、2e2x两边求导得到f(x)= 1f(x),只有f(x)= e 2x10.已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y2 ,则f(x,y)+ xf(x,y)yB)A、2x+2yB、 2x 2C、2x - 2yD、2x

4、 + 2f (x+y, xy) = (x+y) 2- 2xy , f(u,v)=u 2-2v,所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y2f(x,y)f(x,y)y=2x-211.二元函数 z = x2 +y2+4（x-y）的极小值为A、8B、-12C、16D、-8x=2x+4,y=2y-4, z12.下列广义积分收敛的是的极小值点为(-2,2), z = x2 +y2+4(x-y)的极小值为A+8_dx1 4x3B、+8|nx eTdxr1 dx03-x+00 dxD、 e xInx利用常用广义积分的指数判别法1 dx0 -x收敛13. f(x,y)=ln ：.-x2 -y2x2 2、(x

5、2-y2)2x y2 x2(C )、(x2-y2)2r 2xy c、(x2-y2)22xyD、- (x2-y2)2因为f(x,y)x寸 x2 -y2xx2-y2所以2 f(x,y)2xyxy =(x2-y2)2。计算题（每小题6分，共36分）14.计算定积分42x+10 evdx解:原积分I-：-2x+1 = t 3=(=2-=21 te t dt3 te%31 et dt =3e-e - (e-e) =2e15.计算定积分3 .arctanJx 1 .1x(1+x)dx解:原积分I/x = t=,31arctant t(1+t2)2tdt = 2,31 arctant d(arctant)=

6、(arctant)T：=与-(7) = 72/14416.已知 z = f(x 2y, x - 2y),求解:z = f1 x2z=(f 11x y=2x3y fn17. z=z(x,y)解:x=1,y=12xy+ f 2-2f2x2 -2f 12 )2xy+2xf 1+f21+ (x 2-4xy) f 12-2f22 +2xf 1由方程 2xz - 2xyz + ln(xyz) = 0 z=1x2 -2f22确定，求（1,1）点处的全微分。Fy|(1,1,1)= 2z - 2yz +yz/xyz|(1,1,1) = 1|(1,1,1)= 2x - 2xy +xy/xyz|(1,1,1) =

7、1|(1,1,1)= - 2xz +xz/xyz| (1,1,1) = -10(ex-1)dx = (ex-x)|o= e-1-1= e-2/4 r3 2cosrdr = 0 sin30 d-3 0 cos3dcosX轴所围平面图V。x2 121万。=(3 - 2)=石zFxzFy-Xl(i,i)= -|(i,i)= -1, -y|(i,i)= - |(i,i)= 1dz= -zdx + -zdy = -dx+dy x y18.计算二重积分D xexydxdyD: 0 x 1,0 y 1解:原积分 I= odx 0 xexydy = oexy10dx =19.计算二重积分 D y dxdy ,

8、D: x2+y2=2x, y=x, X轴所围成的区域。11+-j1-y2解一:原积分 I = 0dyy ydx TOC o 1-5 h z 1,=0y(1+ .1-y2 - y)dy1 212 3/21 3 1=2 - 3(1-y)- 3y 0_111 _ 1=2 - 3 + 3 = 2/4 2cos解二:原积分 I = 0 d 0 rsin-8 .cos4 , /41=3 -4 0=2四、应用题(每小题9分，共18分。)20.求由曲线y=4x与此曲线在点(1,1)处的切线及 形面积S及此图形绕X轴旋转而成的旋转体体积 解:y|(1,1) =1/2近|(1,1) =1/2切线方程：y-1=(1

9、/2)(x-1)2y-1=x交点 A(-1,0),B(1,1)11S= 0(y2-2y+1)dy = y 3/3-y2+y0= 1/31 x+1 21；2(x+1)3 1V= -1(-2-)2dx -0( .x)2dx = - 3 -1 -.投入原料A, B各x, y单位，生产数量 z =0.01x2y 。A,B原料的单价分别为10元，20 元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大。解:目标函数：z =0.01x2y约束条件：10 x+20y=300设 F(x,y, )= 0.01x2y+ (10 x+20y-300)F x=0.02xy+10 =0F y=0.01x2+20 =0 消去 得至ij 0.04xy - 0.01x 2=0 x(4y-x)=0 x=4y10 x+20y-300=0解得x=200, y=50 ,当A原料购买200单位，B原料购买50单位时，生